PSD29007-Engtelecom(2020-1) - Prof. Marcos Moecke

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Registro on-line das aulas

Unidade 1

Unidade 1
Aula 1 (10 fev)
Aula 2 (13 fev)
  • Revisão de transformada de Laplace e Z
Aula 3 e 4 (17 e 20 fev)
Aula 5 (27 fev)
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
  • Explorar a interface do Matlab.
  • Funções de visualização das variáveis no workspace.
  • Execução de instruções passo a passo.
  • Escrita de script .m
  • Uso da execução das seções de um script.
  • Incremento de valor e execução.
EXEMPLOS:
  • Leia com atenção e execute o exemplo (Moving-Avarage Filter) na página de help da função filter.
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
  • Leia com atenção o help Using FFT, abra o script clicando no botão [Open this Example]. Execute o script seção após seção. Note o uso da fft para determinar a frequência das manchas solares.
  • Para melhorar o desempenho no Matlab recomendo que leiam a pagina do Help, . Também gostaria de lembra-los que a tecla F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m.
  • Leia sobre manchas solares para entender o que são os dados do segundo exemplo.
Sinais no dominio do tempo e dominio da frequencia. Uso da função fft
Exemplo de uso da FFT
%% Signal in Time Domain 
% Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried in noise.
% Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and a signal duration of 1.5 seconds
Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
T = 1/Fs;             % Sampling period       
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector

% Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz sinusoid of amplitude 1.
S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);

% Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4.
X = S + 2*randn(size(t));

% Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify the frequency components by looking at the signal X(t).
subplot(311);
plot(1000*t(1:200),X(1:200), 'b')
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('t (milliseconds)')
ylabel('X(t)')
hold on
plot(1000*t(1:200),S(1:200),'r')
hold off

% Signal in Frequency Domain
% Compute the Fourier transform of the signal.
Y = fft(X);

% Compute the two-sided spectrum P2. Then compute the single-sided spectrum P1 based on P2 and the even-valued signal length L.
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

A2 = angle(Y);
A1 = A2(1:L/2+1);

% Define the frequency domain f and plot the single-sided amplitude spectrum P1. 
% The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1, as expected, because of the added noise. 
% On average, longer signals produce better frequency approximations.
f = Fs*(0:(L/2))/L;
subplot(3,1,2);
plot(f,P1, 'b')

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
hold on
% Now, take the Fourier transform of the original, uncorrupted signal and retrieve the exact amplitudes, 0.7 and 1.0.
Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1, 'r') 

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
hold off

% Angulo  / fase 
subplot(3,1,3);
plot(f,A1)
%ylim([0 1.05]) 
title('Single-Sided Phase Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('phase(f)')
  • Amostragem de Sinais (Experimento 1.2)
  • Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing.
  • Notar que as amostras de um sinal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_1(t) = cos (2\pi \times 3 t)} (3 Hz) e um sinal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_2(t) = cos (2\pi \times 7 t)} (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz.
Experimento 1.2
%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.2
fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais
Ts = 1/fs; fase = 0;
time = 0:Ts:(1-Ts);
f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1
f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2
s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase);
s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase);
fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais
Tsa = 1/fsa;
time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa);
figure(1);
stem(time,s_1,'ob');
hold on;
plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k');
stem(time,s_2,'+r');
plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m');
hold off;
legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo')
DICAS:
  • No help on-line da Mathworks, usando o botão [Try This Example > Try in your browser], permite executar o código no próprio browser sem ter nenhuma instalação do Matlab. Para verificar que o código realmente é executado mude a amplitude do ruído randômico para 0.1 ou 0.5, insira o comando close all antes da primeira linha, e execute todo o código [Run All]
  • No help do Matlab, usando o botão [Open this Example], é possível executar o código seção a seção.
Aula 7 (5 mar)
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
Variação do Experimento 2.2
%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 2.2
% Resposta em frequencia usando a função freqz
N = 1;
num = [1 0 0 0];
den = poly([0.8 0.2])
%den = [1 0.6 -0.16];
% modo 1
%[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]);
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 2
%[H,w]=freqz(num,den);
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 3
%[H,w]=freqz(num, den, 'whole');
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 4
freqz(num, den, 'whole');
figure(2);
zplane(num,den);

%% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw)
syms z
Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z);
pretty(Hf)
latex(Hf)
N = 1;
w = [0:pi/100:N*pi-pi/100];
plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w))))
%title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex')
text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex')
xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex')
  1. Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código.
  2. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8].
  3. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1]
  4. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i]
  5. verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado
Aula 8 (9 mar)
  • A filtragem de sinais digitais pode ser realizada de diferentes formas:
  • convolução (y = conv(x,h)), onde x(n) é o sinal de entrada e h(n) é a resposta ao impulso do filtro (sistema linear invariante no tempo),
  • filtragem no domínio do tempo (y = a1.x(n)+ a2.x(n-1)+ .. ak.x(n-k));
  • no domínio da frequência (y = ifft(fft(x)fft(h))
Variação do Experimento 3.1
%% Variação do Experimento 3.1 do livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
% FILE: Ex3_1.m
% Exemplificando as possiveis formas de realizar a filtragem de um sinal x(n)

clc; clear all; close all;
%% Definindo valores iniciais
Nh = 10; Nx = 20;
%Nh = 400; Nx = 10000;
x = ones(1,Nx);
% A resposta ao impulso de um sistema h(n) 
% no filtro FIR aos coeficientes b(n) = h(n) 
h = [1:Nh]; b = h;
%% Filtrando o sinal e medindo tempos

% OPÇÃO 1 - Filtragem utilizando a convolução
% NOTE: length(y) = length(x) + length(h) -1

tic;  % iniciar a contagem do tempo
y1 = conv(x,h); 
t(1) = toc; % terminar a contagem e mostrar tempo no console

% OPÇÃO 2 - filtragem utilizando a equação recursiva
% NOTE: length(y) = length(x)

tic;
y2 = filter(b,1,x);
t(2) = toc;

% OPÇÃO 3 - filtragem utilizando a equação recursiva 
% aumentando o tamanho de x para que length(y3) = length(y1)
x3 = [x zeros(1,length(h)-1)];

tic;
y3 = filter(h,1,x3); 
t(3) = toc;

length_y = length(x) + length(h) - 1;

% OPÇÃO 4 - filtragem utilizando a FFT 
% a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h))

tic;
X = fft(x,length_y);
H = fft(h,length_y);
Y4 = X.*H;
y4 = ifft(Y4);
t(4) = toc;

% OPÇÃO 5 - filtragem utilizando a função fftfilt
% a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h))

tic
y5 = fftfilt(h,x3);
t(5) = toc;

disp('Comprimento do vetor de saída length(y)')
disp(['    ' num2str([length(y1) length(y2) length(y3) length(y4) length(y5)])])
disp('Tempo usado na filtragem em micro segundos')
disp(['    ' num2str(t*1e6) ' us'])

%%  Plotando o gráfico
subplot(411);stem(y1);
hold on;
stem(y2,'xr');
stem(y3,'+m');
legend('y1', 'y2', 'y3')
hold off
subplot(412);stem(y1, 'ob');legend('y1')
subplot(413);stem(y2, 'xr'); hold on; stem(zeros(size(y1)),'.w');hold off; legend('y2')
subplot(414);stem(y3, '+m');legend('y3')
  • Verificar as funções tic e toc
  • Notar a diferença de tempo de processamento entre os processos de filtragem.
  • A situação pode ser muito diferente conforme muda o tamanho do sinal e ordem do filtro (h(n)). Modifique a resposta ao impulso e o sinal de entrada modificando os valores das variáveis de tamanho: Nh = 10, 100, 1000; Nx = 20, 1000, 10000;
  • Em função do sistema operacional e reserva de memória para as variáveis é importante desprezar a primeira medida de tempo. Realize 3 medidas de tempo para cada uma das 5 opções de filtragem, com pelo menos duas combinações de comprimento Nh e Nx.
  • Verifique o tempo de processamento usando a instrução profile
profile on
  • Após ativar o profiler, execute o programa e veja o tempo total do script e de cada função chamada.
profile viewer  

Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).

Variação do Experimento 2.3
%% Experimento 2.3 - Filtros Digitais
% Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
% FILE: Exp2_3.m
 
%% 1º filtro
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 ]'; P = [p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 2º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p1 p1' p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 3º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.99*exp(1j*pi/4);
p2 = 0.9*exp(1j*pi/4 - 1j*pi/30);
p3 = 0.9*exp(1j*pi/4 + 1j*pi/30);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p2 p2' p3 p3']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);

Unidade 2

Unidade 2 - Filtros IIR
Aula 9 (12 mar)
Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos
  • Função de transferência
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) = \frac {c_0 + c_1 s + c_2 s^2 + ... + c_m s^m} {d_0 + d_1 s + d_2 s^2 + ... + d_n s^n}, m \le n}
  • Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(j\omega) = H(s)\left|\begin{matrix}\\ s=j\omega \end{matrix}\right.}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(j \omega) = \left | H(j \omega) \right | e^{j \phi(\omega)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left | H(j \omega) \right |^2 = H(j \omega) H(-j \omega)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{j 2 \phi(\omega)} = \frac {H(j \omega)} {H(-j \omega)}}
  • O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:
  1. projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p) } com frequência de passagem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = 1 }
  2. transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) = H(p)\left|\begin{matrix}\\ p=g(s) \end{matrix}\right. }

Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.

  • No entanto, antes de projetar filtros, vejamos a análise básica de filtros analógicos utilizando o Matlab.
Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) } , obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase).
%%Definição do filtro

% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1];       % Numerador 
a = [1 1 5];     % Denominador

% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a) 
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);

%% Obtendo a resposta em frequência 
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);

% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s  w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
  • Para aproximação de magnitude de filtros analógicos o projeto pode usar as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) ou Cauer, mostradas na figura abaixo.

TiposFiltrosHs.png

Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth

Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(s) = 1/B_n(s)} utilizam os polinômios de Butterworth Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_n(s)} mostrados na tabela a seguir:

n Fatores Polinomiais de
1 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s+1)}
2 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s^2+1.4142s+1)}
3 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s+1)(s^2+s+1)}
4
5 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1)}
6 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s^2+0.5176s+1)(s^2+1.4142s+1)(s^2+1.9319s+1)}
7
8
9
10 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s^2+0.3129s+1)(s^2+0.9080s+1)(s^2+1.4142s+1)(s^2+1.7820s+1)(s^2+1.9754s+1)}
Proposta de exercício
  • Use os polinômios de Butterworth com ordens de 1 a 10 mostrados na tabela abaixo para obter os filtros .
  • Escolha uma ordem n (entre 5 e 10)
  • Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi).
  • Qual é o ganho do filtro na banda passante?
  • Qual é a frequência de corte (-3dB) do filtro.
  • Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências?
  • Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte?
  • Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro.
  • Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro.
  • Calcule o valor do módulo dos pólos.

INÌCIO DAS AULAS REMOTAS

Aula 10 e 11 (26 e 30 mar)
Projeto de filtros analógicos LP protótipo
  • Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p } é a frequência de passagem, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 3 dB } é a atenuação em dB na frequência de passagem, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s } é a frequência de stopband, é a atenuação em dB na frequência de stopband.

MascaraFiltroLP.png

  • Escalando as frequências em relação a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\omega_p} } , teremos que , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 } são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p) } , que tem ganho unitário e frequência de passagem 1.
Casos em que o ganho na banda de passagem é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 3 dB }
  • Considerando o caso de filtro Butterworth com frequência de passagem e frequência de stopband (rejeição) de , com ganho unitário em
  • Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_p = 1/\sqrt{2} = 0,707 } , que corresponde a um ganho (em escala log) Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_p = - 3 dB } , ou atenuação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 3 dB } .
  • Obtemos o fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon^2 = {10^{0.1A_p}-1}} , ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}} , para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 3 dB } temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = 1 } . Esse fator no caso dos filtros com essa atenuação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 3 dB } acaba desaparecendo das equação de projeto. Para atenuações diferentes de 3 dB, ele ajusta a magnitude dos pólos, e afeta a ordem do filtro.
  • Os passos para projetar um filtro analógico Hs(s) são:
0) fazer a normalização da frequência e do ganho.
, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} } para o caso de filtros LP.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = -(G_p - G_0) } , .
1) determinar a ordem do filtro utilizando a equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge \frac {\log(10^{0.1A_s}-1)} {2 \log \Omega_s} }
2) e em seguida obter os polos do filtro:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k = e^{\left[ j \frac{(2 k + n - 1)} {2 n} \pi \right]}, k = 1, 2, 3, ... n}
3) Com os pólos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k } botem-se o denominador da função de transferência do filtro.
4) E assim obtém-se a função de transferência do filtro protótipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p)= \frac{1}{D(p)} }
5) Para obter a função de transferência do filtro analógico LP é necessário fazer uma transformação de frequência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p) -> H(s) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. }
6) Se o ganho na frequência não for unitário G0, é ainda necessário ajustar o ganho do filtro do fator de ganho. Considerando que o valor do Ganho G0 seja dado em dB, teremos que , ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{0(linear)} = 10^{G_{0(dB)}/20} }
Exemplo Filtro LP Butterworth

Projete um filtro Butterworth LP com ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = 0 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} = 5 dB } , frequência de passagem com ganho no mínimo de , frequência de rejeição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s = 5000 rad/s } , na qual o ganho deve ser inferior a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_s = -25 dB } dB.

  • Dados de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs(s) } , passa-baixas (lowpass-LP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{p(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{s(dB)} = }
  • Especificações de , passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{0(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{p(dB)} = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p) = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs1(s) } substituindo e corrigindo o ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} }
  • Obtida a função de transferência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs(s) = N(s)/D(s)} obtenha a resposta em frequência, substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=j*\omega}
  • Obtenha a resposta em frequência, para
  • Plote o gráfico de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hp(p)| } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hs(s)| } , indicando a máscara de especificação do filtro.


Aula 12 (2 abr)
Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } qualquer
  • Teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}} , ou
  • Para projetar o filtro é necessário:
1) determinar a ordem do filtro:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge \frac {\log[(10^{0.1A_s}-1)/\epsilon^2]} {2 \log \Omega_s} }
2) obter os polos do filtro:
3) obter a função de transferência:
, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\prod_{k=1}^{n} \left (-p_{k} \right ) = \epsilon^{-1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p)=\prod_{k=1}^{n} \left ( p-p_{k} \right ) } .
NOTA: o valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k } também pode ser obtido a partir de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {D(p)} } , pois corresponde ao último termo do polinômio .
4) No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado fazendo a transformação de frequência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p) -> H(s) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. }
Exemplo Filtro LP Butterworth

Projete um filtro Butterworth LP com ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = 0 } , frequência de passagem com atenuação máxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 0.5 dB } , frequência de rejeição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s = 5000 rad/s } com atenuação mínima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s = 30 dB } .

  • Dados de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs(s) } , passa-baixas (lowpass-LP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{p(dB)} = }
  • Especificações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) } , passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{0(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{p(dB)} = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p) = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) = }
  • Determinação de substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{s}{\omega_p}} e corrigindo o ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs2(s) = Hs1(s) \cdot 10^{G_{topo}/20}}
  • Obtida a função de transferência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs(s) = N(s)/D(s)} obtenha a resposta em frequência, substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=j*\omega}
  • Obtenha a resposta em frequência, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = 0, \omega_p , \omega_s, 10\omega_p }
  • Plote o gráfico de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hp(p)| } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hs(s)| } , indicando a máscara de especificação do filtro.
Aula 13 (6 abr)
Polinômios Chebyshev de primeira ordem

Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n(\Omega) = cos (n cos^{-1}(\Omega))}

Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como:

O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}(\Omega) = 2 \times \Omega \times C_{n-1}(\Omega) - C_{n-2}(\Omega)}

Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{2}(\Omega) = 2 \times \Omega \times \Omega - 1 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{2}(\Omega) = 2 \Omega ^2 - 1 }

Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_0(\Omega) = 1 \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_1(\Omega) = \Omega \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_2(\Omega) = 2\Omega^2 - 1 \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_4(\Omega) = 8\Omega^4 - 8\Omega^2 + 1 \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_5(\Omega) = 16\Omega^5 - 20\Omega^3 + 5\Omega \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_6(\Omega) = 32\Omega^6 - 48\Omega^4 + 18\Omega^2 - 1 \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_7(\Omega) = 64\Omega^7 - 112\Omega^5 + 56\Omega^3 - 7\Omega \,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_8(\Omega) = 128\Omega^8 - 256\Omega^6 + 160\Omega^4 - 32\Omega^2 + 1 \,}

Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 < \Omega < 1 } .

ChebyshevGraph.png
Figura: Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio

FONTE: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia

Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I
  • Determine a ordem mínima necessária considerando: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p } é a frequência de passagem do filtro LP, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } é a atenuação em dB na frequência de passagem, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s } é a frequência de stopband do filtro, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } é a atenuação em dB na frequência de stopband, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 } são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge \frac {\cosh^{-1} \sqrt{(10^{0.1A_s}-1)/ \epsilon^2}} {\cosh^{-1} \Omega_s} }
onde ou .
  • Obtenha os polos do filtro:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k = -\sinh(\varphi_2) \sin(\theta_k)+ j \cosh(\varphi_2) \cos(\theta_k) \ \ \ \ \ k = 1, 2, 3, ... n} ,
onde e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_2 = \frac{1}{n} \sinh^{-1}\left (\frac{1}{\epsilon} \right ) }



  • Para obter a função de transferência:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(p)= \frac{H_0}{D(p)} } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p)=\prod_{k-1}^{n} \left ( p-p_{k} \right ) }
onde
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0 = H(0) \times d_0 =\left\{ \begin{matrix} d_0 & \text{para} & n & \text{impar} \\ \frac {d_0}{\sqrt[]{1+\epsilon^2}} & \text{para} & n & \text{par} \end{matrix}\right. }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_0 =\prod_{k-1}^{n} \left (-p_{k} \right ) } é o último termo do denominador Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p) = d_n p^n+ d_{n-1} p^{n-1} + \cdots + d_1 p+ d_0 }


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left | H( 1 ) \right | ^2 = \frac {1}{1+\epsilon^2} } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20 log10 (\left | H( 1 ) \right |) = A_p (dB) }
Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS

Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP.

  • Transformações de frequência de filtros analógicos
  • passa-baixas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p= 1 } ) -> passa-baixas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p} )
  • Cálculo do protótipo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \frac{\omega_s}{\omega_p}}
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{s}{\omega_p}}
  • passa-baixas () -> passa-altas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p} )
  • Cálculo do protótipo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \frac{\omega_p}{\omega_s}}
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{\omega_p} {s}}
  • passa-baixas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p= 1 } ) -> passa-faixa ( e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } )
  • Cálculo do protótipo com
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{s^2 + \omega_0^2} {B s}}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = \omega_{p2} - \omega_{p1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}}
  • passa-baixas () -> rejeita-faixa (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0 } e )
  • Cálculo do protótipo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \Bigg| \frac {B \omega_s} {-\omega_s^2 + \omega_0^2}\Bigg|}
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac {B s} {s^2 + \omega_0^2}}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = \omega_{p2} - \omega_{p1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}}
Aula 14 (9 abr)
Exemplo Filtro HP Chebyshev I

Projete um filtro Chebyshev I HP com ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = 0 } , frequência de rejeição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\omega_s} = 2500 rad/s } com atenuação mínima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s = 30 dB } , frequência de passagem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p = 12500 rad/s } com atenuação máxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p = 0.5 dB } .

  • Dados de , passa-altas (highpass-HP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{p(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{s(dB)} = }
  • Especificações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) } , passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{p(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{s(dB)} = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(p) = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_0 = }
  • Determinação de HP substituindo e corrigindo o ganho em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} }
  • Obtida a função de transferência obtenha a resposta em frequência, substituindo
  • Obtenha a resposta em frequência, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = 0, \omega_p , \omega_s, 10\omega_p }
  • Plote o gráfico de e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hs(s)| } , indicando a máscara de especificação do filtro.
Aula 15 (13 abr)
  • [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') Encontra a menor ordem n é a frequência de corte Wn para um filtro Butterworth analógico, com ripple na banda passante (bandpass) menor que Rp dB e atenuação na banda de rejeição (stopband) pelo menos de Rs dB. As frequências angulares Wp e Ws são dadas em rad/s. Se Wp e Ws são escalares, o filtro será um LP ou HP. Se Wp e Ws forem vetores, o filtro será um BP ou BS.
  • [b,a] = butter(n,Wn,ftype,'s') Projeta o filtro Butterworth analógico LP, HP, BP ou BS com frequência angular de corte Wn, dependendo do valor de ftype e do número de elementos de Wn.
%% Projeto de filtro passa-alta (HP) usando funções do Matlab 
Wp = 150;        % rad/s
Ws = 40;         % rad/s
Rp = 3;          % dB
Rs = 60;         % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
[b,a] = butter(n,Wn,'high','s');
[h,w] = freqs(b,a,logspace(1,3,1000));
semilogx(w,20*log10(abs(h)));grid on;
hold on; plot([Wp Wn Ws],[-Rp -3 -Rs],'x'); hold off;
title(sprintf('Filtro HP Butterworth, n = %d',n))

%% Projeto de filtro passa-faixa (BP) usando funções do Matlab 
Wp = [100 200];  % rad/s
Ws = [50 250];   % rad/s
Rp = 3;          % dB
Rs = 40;         % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a,logspace(1,3,1000))
title(sprintf('Filtro BP Butterworth, n = %d',n))
  • [n,Wp] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with cutoff angular frequencies Wp.
  • [b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with passband edge angular frequency Wp and Rp decibels of passband ripple.
  • [n,Ws] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with cutoff angular frequencies Ws.
  • [b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with stopband edge angular frequency Ws and Rs decibels of stopband attenuation.
  • [n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite.
  • [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wp,ftype, 's') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog elliptic filter with passband edge angular frequency Wp, Rp decibels of passband ripple, and Rs decibels of stopband attenuation.
  • Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n.
  • Note: See Limitations [1] for information about numerical issues that affect forming the transfer function.
  • Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab.
%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab  
%% Especificações do filtro 
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo

%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');

%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');

%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');

%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');
  • Ver pag. 204 a 208 de [2]
Aula 16 (16 abr)
  • Exemplos de Filtros Analógicos:
  • Exemplo 1: Filtro passa-baixas ( = 941Hz, = 1209 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 20 dB)
  • Exemplo 2: Filtro passa-altas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p } = 1209 Hz, = 941Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 20 dB)
  • Exemplo 3: Filtro passa-faixa ( = 770 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p1} } = 811 Hz, = 895,5 Hz, = 1209 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB).
  • Exemplo 4: Filtro rejeita-faixa (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p1} } = 53 Hz, = 58 Hz, = 62 Hz = 67 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 2 dB, = 25 dB)
NOTA:
  • No calculo do filtro lembre-se de usar as frequências angulares para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_p } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\omega } , .
  • onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p } () é a frequência de passagem em Hz (rad/s), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s } (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_s } ) é a frequência de rejeição em Hz (rad/s), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_0 } (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0 } ) é a frequência central em Hz (rad/s), (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\omega } ) é a largura de banda em Hz (rad/s).
  • Confira os projetos dos filtros plotando as respostas em frequência dos filtros protótipo H(p) e filtro final H(s) de cada um dos exemplos.
Aula 17 e 18 (23 e 28 abr)
  • Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto
  • Transformação Invariante ao Impulso (pode ser usada apenas para filtros com forte atenuação em frequência altas, ex: passa-baixas e passa-faixa)
  • Transformação Bilinear (pode ser usada para todos tipos de filtro) Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = 2fa \frac {z-1}{z+1} }
  • Obter a especificação do filtro em angulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta } entre 0 e 1, onde 1 corresponde a metade da frequência de amostragem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (fa/2) } , ou também o angulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi }
  • Obter o valor desse angulo predistorcido Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda } para compensar a distorção na frequência causada pela transformação bilinear , onde
  • passa-baixas () -> passa-baixas ()
  • Substituição de variáveis
  • Cálculo do protótipo com
  • passa-baixas () -> passa-altas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_p} )
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{\lambda_p} {s}}
  • Cálculo do protótipo com
  • passa-baixas () -> passa-faixa (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } )
  • Substituição de variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{s^2 + \lambda_0^2} {B s}}
  • Cálculo do protótipo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \Bigg|\frac{-\lambda_s^2 + \lambda_0^2} {B \lambda_s}\Bigg|}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_0 = \sqrt{\lambda_{p2} \lambda_{p1}}}
  • passa-baixas (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_p= 1 } ) -> rejeita-faixa ( e )
  • Substituição de variáveis
  • Cálculo do protótipo com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_s = \Bigg| \frac {B \lambda_s} {-\lambda_s^2 + \lambda_0^2}\Bigg|}
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}} e
  • Realizar os projetos dos exemplos anteriores, considerando uma frequência de amostragem de 8 kHz.
  • Ver pag. 219 a 229 de [2]
  • Ver pag. 403 a 415 e 434 a 435 de [1]
  • Ver também a ferramenta fvtool, que facilita a análise dos filtros digitais.
Exemplo filtro digital BP IIR - transformação bilinear

Projete um filtro digital passa-banda IIR com , frequências de passagem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p1} = 811 Hz } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p2} = 895,5 Hz } com ganho no mínimo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_p = 2 dB } , frequências de rejeição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s1} = 770 Hz } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s1} = 1209 Hz } , na qual o ganho deve ser inferior a dB. Considere dois projetos para uma frequência de amostragem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{a1} = 4000 Hz } e também para .

  • Dados de especificação do filtro passa-banda (band-pass - BP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{a} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s2} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo(dB)} = }
  • Dados do filtro digital Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hz(z) } , passa-banda (band-pass - BP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{s1} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{p1} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{p2} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{s2} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{s(dB)} = }
  • Dados do filtro analógico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs(s) } , passa-banda (band-pass - BP)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{s1} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{p1} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{p2} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\lambda = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{p(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{s(dB)} = }
  • Especificações de , passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{0(dB)} = 0 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{p(dB)} = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{s(dB)} = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_k = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Dp(p) = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Np(p) = }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hp(p) = }
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs1(s) } substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\frac{s}{\omega_p}} e corrigindo o ganho em
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hs2(s) = Hs1(s) \cdot 10^{G_{topo}/20}}
  • Obtida a função de transferência obtenha a resposta em frequência, substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=j*\omega}
  • Determinação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Hz(z) } substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=2\frac{s - 1}{s + 1}}
  • Plote o gráfico de , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hs(s)| } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Hz(z)| } , indicando a máscara de especificação do filtro.
IIRCheb2BP.png


Aula 19 (30 abr)
O projeto dos filtros digitais IIR baseados na transformada bilinear no Matlab é realizada em dois passos: (1) Determinação da ordem do filtro; (2) Determinação dos coeficientes do numerador Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(n) } e denominador de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(z) } .
fa = 200;
fN = fa/2;
wo = 60/fN;  bw = 10/fN;
[b,a] = iirnotch(wo,bw);
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
fa = 8000;
fN = fa/2;
wo = 941/fN;  bw = 100/fN;
[b,a] = iirpeak(wo,bw);
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
fa = 8000; fN = fa/2;
fo = 1000;  bw = 20/fN;
[b,a] = iircomb(fa/fo,bw,'peak');  % ou use a flag 'notch'
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
Dias 4, 7, 11 e 14 mai
  • Parada Pedagógica sem aulas de acordo com a resolução do colegiado do campus de São José.
Dia 18 mai
  • Retorno às ANPs, porém sem aula de acordo com mensagem recebida do chefe do DEPE.
  • Foi solicitado que todos alunos se cadastram no workspace da disciplina no SLACK.
  • Foi solicitado que todos alunos respondam a uma sondagem sobre as ANPs Volta às aulas não presenciais em tempo de pandemia.
  • Resultado das outras enquetes:
Você gostaria que a UC de PSD29007 tivesse continuidade através de ANPs durante a pandemia do corona virus?
sim
█████████████████████████ | 100% (11)
não
A que horas começar as aulas?
7:30
████████ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ | 33% (3)
7:45
██████████████ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ | 56% (5)
8:00
██ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ | 11% (1)
8:15
⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ ⁢ | 0% (0)

Unidade 3

Unidade 3 - Filtros FIR
Aula 20 (21 mai)
Filtros digitais: Filtros FIR
  • A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + ... + b_N z^N \\ &= \sum_{i=0}^{N} b_i \cdot z^i \end{align}}


  • O filtro FIR causal de ordem n mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} y[n] &= b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_N x[n-N] \\ &= \sum_{i=0}^{N} b_i\cdot x[n-i], \end{align}}
  • Pode-se notar que a saída Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y[n] } do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x[n] }
  • A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo a estrutura:
FIR Filter.svg

A determinação da resposta ao impulso do filtro pode ser feita substituindo a entrada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x[n] } por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n] } . O resultado é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h[n] = b[n] } , e portanto a resposta ao impulso tem duração igual ao número de coeficientes N+1 (onde N é a ordem do filtro). Esse é o motivo pelo qual o filtro tem o nome de filtro de resposta ao impulso finita (FIR - Finite Impulse Response). O filtro também recebe nomes como filtro transversal, Filtro não recursivo, filtro de média móvel, e tapped delay filter (torneira com atrasos?).

A função de transferência também pode ser descrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z^{-1}) &= h_0 + h_1 z^{-1} + h_2 z^{-2} + ... + h_N z^{-N} \end{align}}

Algumas vantagens que os filtros FIR tem sobre os IIR: 1. É possível projetar FIR com fase linear, ou seja atraso de grupo constante. Esses filtros são desejáveis na transmissão de sinais digitais.

O atraso de grupo é definido como as Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau =-\frac{d\theta}{dw} } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta } é a resposta de fase do filtro.

2. As amostras da resposta ao impulso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h[n] } são os coeficientes do filtros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b[n] } , e portanto não precisam ser calculadas.

3. Os FIR são sempre estáveis pois tem todos os polos na origem. Também é consequência de não ter realimentação. Por isso também não tem ciclo limite que surge nos filtros IIR como resultado da resposta ao impulso de duração infinita associada a representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits.

4. O efeito da representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits, na resposta de frequência e resposta no domínio do tempo é menor que nos IIR.


Os filtro FIR podem ter fase linear ou não ter fase linear.

  • Filtros de fase linear: simétricos e antissimétricos (Tipo 1, 2, 3 e 4)
  • Filtros de fase não linear: são todos que não se enquadram em um dos 4 tipos acima.

Os filtros de fase linear possuem algumas propriedades (respostas em frequência possíveis, distribuição dos zeros em simetria quadrantal), conforme é mostrado a seguir.

  • Inicialmente observe em exemplos as propriedades dos FIR tipo 1, 2, 3 e 4. Observe a resposta de frequência, fase, atraso de grupo, coeficientes e a simetria dos zeros em relação ao circulo unitário no diagrama de polos e zeros dos filtros abaixo.
N = 10;
bi = 2*(rand(1,N)-0.5)
%% Tipo I - LP, HP, BS, BP
b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)];
fvtool(b,1);
%% Tipo II - LP, BP
% tem um zero em -1 
b = [bi  flip(bi)];
fvtool(b,1);

%% Tipo III - BP
% tem um zero em 1  e -1 
b = [bi  0 -flip(bi)];
fvtool(b,1);

%% Tipo IV - BP, HP
% tem um zero em 1   
b = [bi  -flip(bi)];
fvtool(b,1);

FIR tipo1.png
Figura 1 - Propriedades do filtro FIR de fase linear (Tipo 1)

Aula 21 (28 mai)
Filtros digitais: Filtros FIR

FIR tipo I

Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem par (N=6)

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} + h_6z^{-6} \end{align}}

Se ele apresenta simetria dos coeficientes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_0 = h_6} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_1 = h_5} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_2 = h_4} , temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_2z^{-4}+ h_1z^{-5} + h_0z^{-6} \\ &= h_0(1+z^{-6}) + h_1(z^{-1}+z^{-5}) + h_2(z^{-2} + z^{-4}) + h_3z^{-3} \\ &= (h_0(z^{+3}+z^{-3}) + h_1(z^{+2}+z^{-2}) + h_2(z^{+1} + z^{-1}) + h_3)z^{-3} \end{align}}

Para obter a resposta em frequência , substituímos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = e^{jw} } .

Aplicando a identidade , obtemos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= (h_0 2 cos(3w) + h_1 2 cos(2w) + h_2 2 cos(1w) + h_3)e^{-3jw}\\ &= H_R(w) e^{j \theta (w)} \end{align}}

Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_R(w)} , e uma fase linear igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta (w) = -3w } , e portanto o atraso de grupo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 3 } , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem par:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= \left [ 2 \sum_{n=1}^{N/2} h \left ( \frac{N}{2}-n \right ) cos(nw)+ h\left ( \frac{N}{2} \right ) \right ]e^{-j(N/2)w} \end{align}}

Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} } , metade da ordem N do filtro.

FIR tipo II

Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem impar (N=5)

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} \end{align}}

Se ele apresenta simetria dos coeficientes , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_2 = h_3} , temos que:

Para obter a resposta em frequência:

Aplicando a identidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 cos(nw) = e^{+jnw}+e^{-jnw} } , obtemos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= (2 h_0 cos(2.5w) + 2 h_1 cos(1.5w) + 2 h_2 cos(0.5w))e^{-2.5jw}\\ &= H_R(w) e^{j \theta (w)} \end{align}}

Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_R(w)} , e uma fase linear igual a , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem impar:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= \left [ 2 \sum_{n=1}^{(N+1)/2} h \left ( \frac{N+1}{2}-n \right ) cos \left ( \left ( n- \frac{1}{2} \right ) w \right ) \right ]e^{-j(N/2)w} \end{align}}

Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é , metade da ordem N do filtro.

FIR tipo III

Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem par (N=6)

Se ele apresenta simetria dos coeficientes , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_1 = -h_5} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_2 = -h_4} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_3 = 0} , temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} - h_2z^{-4} - h_1z^{-5} - h_0z^{-6} \\ &= h_0(1-z^{-6}) + h_1(z^{-1}-z^{-5}) + h_2(z^{-2}-z^{-4}) \\ &= (h_0(z^{+3}-z^{-3}) + h_1(z^{+2}-z^{-2}) + h_2(z^{+1}-z^{-1}))z^{-3} \end{align}}

Para obter a resposta em frequência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H (e^{-jw}) } , substituímos .

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+3jw}-e^{-3jw}) + h_1(e^{+2jw}-e^{-2jw}) + h_2(e^{+1jw}-e^{-1jw}))e^{-3jw} \end{align}}

Aplicando a identidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2j sin(nw) = e^{+jnw}-e^{-jnw} } , e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j = e^{j\pi/2} } obtemos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= 2j (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-3jw}\\ &= 2 (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-j3w} e^{j\pi/2}\\ &= 2 (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-j(3w - \pi/2)} \\ &= H_R(w) e^{j (\theta (w))} \end{align}}

Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_R(w)} , e uma fase linear igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta (w) = -(3w - \pi/2) } , e portanto o atraso de grupo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 3 } , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem par:

Na qual se percebe que a fase linear é igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta (w) = -\frac{N}{2} w + \pi /2 } , e portanto o atraso de grupo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} } , metade da ordem N do filtro.

FIR tipo IV

Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem impar (N=5)

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} \end{align}}

Se ele apresenta simetria dos coeficientes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_0 = -h_5} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_2 = -h_3} , temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} - h_2z^{-3} - h_1z^{-4} - h_0z^{-5} \\ &= h_0(1-z^{-5}) + h_1(z^{-1}-z^{-4}) + h_2(z^{-2}-z^{-3}) \\ &= (h_0(z^{+2.5}-z^{-2.5}) + h_1(z^{+1.5}-z^{-1.5}) + h_2(z^{+0.5}-z^{-0.5}))z^{-2.5} \end{align}}

Para obter a resposta em frequência:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+2.5jw}-e^{-2.5jw}) + h_1(e^{+1.5jw}-e^{-1.5jw}) + h_2(e^{+0.5jw}-e^{-0.5jw}))e^{-2.5jw} \end{align}}

E portanto

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (e^{-jw}) &= 2 j (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-2.5jw}\\ &= 2 (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-2.5jw} e^{j\pi / 2}\\ &= 2 (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-j(2.5w - \pi / 2)}\\ &= H_R(w) e^{j \theta (w) } \end{align}}

Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_R(w)} , e uma fase linear igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta (w) = -(2.5w - \pi / 2) } , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem impar:

Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} } , metade da ordem N do filtro.

Propriedades dos filtros FIR de fase linear

Como mostrado acima, os filtros que exibem simetria ou antissimetria em seus coeficientes (ou resposta ao impulso), apresentam fase linear (ou atraso de grupo constante). Também foi mostrado que o atraso de grupo é igual a N/2 onde N é a ordem do filtro. Foi demonstrado por Rabiner *** que apenas esses quatro tipos de filtro FIR possuem essa característica, portanto pode-se afirma que "Se e somente se o filtro FIR possui coeficientes simétrico ou antisimétricos ele possui fase linear".

Em relação a posição dos zeros, é possível verificar que cada zero sobre o circulo unitário produz uma resposta de magnitude nula na frequencia angular correspondente e um salto de fase de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi } .

N = 5;
bi = 2*(rand(1,N)-0.5)
b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)];
[h,w] = freqz(b,1,'whole');
figure(1);
subplot(421);
plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('magnitude - dB');
subplot(423);
plot(w/pi,angle(h)/pi); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi');
subplot(425);
plot(w/pi,unwrap(angle(h))/pi); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi');
subplot(427); grpdelay(b,1);
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('atraso de grupo - amostras');
subplot(4,2,[2,4,6,8]); zplane(b,1);
xlabel('real'); ylabel ('imaginario');
Aula 22 (1 jun)

Também devido a existência (ou não) de zeros em e , que corresponde a frequência de Nyquist Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_N = f_a/2 } , mostramos que a resposta de magnitude nessas frequencias é nula (ou não). Assim os tipos 1, 2, 3 e 4 de filtros FIR resultam em:

  • Tipo 1: permite projetar filtros LP, HP, BP e BS.
  • Tipo 2: (tem um zero em -1) permite projetar filtros LP e BP.
  • Tipo 3: (tem um zero em 1 e -1) permite projetar filtros BP.
  • Tipo 4: (tem um zero em 1) permite projetar filtros HP e BP.

Essa característica é importante conhecer antecipadamente pois implicará no número de coeficientes e na escolha do tipo de (anti)simetria. Por exemplo para filtro BS apenas o Tipo 1 pode ser usado.

Outra propriedade a ser destacada é em relação aos zeros do filtro. Em primeiro vamos analisar a consequencia da simetria nos coeficientes :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= \sum_{n=0}^{N} h(n) \cdot z^{-n} \\ &= \sum_{n=0}^{N} h(N-n) \cdot z^{-n} \end{align}}

fazendo na segunda equação N-n = m, temos que os limites n = 0 -> m = N, e n = N -> m = 0.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= \sum_{m=0}^{N} h(m) \cdot z^{-N+m} \\ &= z^{-N} \sum_{m=0}^{N} h(m) \cdot z^m \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) = z^{-N} H(z^{-1}) \end{align}}

Com a mesma análise para antissimetria nos coeficientes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(n) = -h(N-n) } :

Nessas duas equações é possível perceber que se é um zero então também será um zero de . No caso de zeros reais, se temos um zero Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = a } então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = 1/a } também é um zero, exceto se ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = -1 } . Por outro lado, se todos os coeficientes b(n) do filtro são reais, então os zeros complexos, aparecem em pares complexos conjugados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_2 = r_2 \cdot e^{j\phi} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_2^* = r_2 \cdot e^{-j\phi} } , e seus reciprocos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_2^* = 1/r_2 \cdot e^{-j\phi} } também são zeros de . Esse tipo de disposição dos zeros denominamos de simetria quadrantal.

QuadrantalSymmetry.png
Figura 2 - Simetria quadrantal de filtros FIR de fase linear

FONTE:

  • pag. 251 a 261 de [2]
  • firtype - Type of linear phase FIR filter - Mathwork

Projeto de filtros FIR pelo método da série de Fourier

Usando a representação dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, com frequências de corte Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{ci} } e ganho unitário na banda de passagem e ganho zero na banda de rejeição, e considerando que a magnitude das respostas em frequência é uma função periódica em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \pi } , e conhecendo as equações de síntese e análise de um sinal (ou sistema)

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(e^{jw}) &= \sum_{n= -\infty }^{\infty}c(n)e^{-jnw} \end{align}}

onde

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c(n) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H(e^{jw})e^{jnw} \mathrm{d} w \end{align}}

É possível coeficientes da série de Fourier de filtros ideais: LP, HP, BP, BS

MagnitudeResponseIdealFilter.png
Figura 3 - Magnitude da resposta em frequência de filtros

Passa-baixas (Low-pass)

LPLinearPhaseFilter.png
Figura 4 - Resposta em frequência de filtros LP de fase linear

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{LP}(n) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(e^{jw})e^{jnw} \mathrm{d} w \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}e^{jnw} \mathrm{d} w \\ &= \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{e^{jnw}}{jn} \right ) \Biggr|_{-w_c}^{w_c} \\ &= \frac{e^{jnw_c}-e^{-jnw_c}}{2j\pi n} \\ &= \frac{sin(nw_c)}{\pi n} \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{LP}(n) &= \left \{ \begin{matrix} \frac{\omega_c}{\pi}; & \qquad n = 0 \\ \frac {\sin (\omega_c n)}{\pi n}; & \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. \end{align}}

De modo semelhante é possível obter os coeficientes dos filtros HP, BP e BS.

Passa-altas (High-pass)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{HP}(n) &= sinc(n)- \frac{w_c}{\pi}sinc(w_cn) \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{HP}(n) &= \left \{ \begin{matrix} 1-\frac{\omega_c}{\pi}; \qquad n = 0 \\ -\frac {\sin (\omega_c n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. \end{align}}
Passa-faixa (Band-pass)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{BP}(n) &= \frac{1}{\pi}(w_{c2} sinc(w_{c2} n) - w_{c1} sinc(w_{c1} n)) \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{BP}(n) = \left \{ \begin{matrix} \frac{\omega_{c2}-\omega_{c1}}{\pi}; \qquad n = 0 \\ \frac {\sin (\omega_{c2} n)- \sin (\omega_{c1} n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. \end{align}}
Rejeita-banda (Band-stop)
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{BS}(n) &= sinc(n)- \frac{1}{\pi}(w_{c2} sinc(w_{c2} n) - w_{c1} sinc(w_{c1} n)) \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} c_\text{BS}(n) = \left \{ \begin{matrix} 1-\frac{\omega_{c2}-\omega_{c1}}{\pi}; \qquad n = 0 \\ -\frac {\sin (\omega_{c2} n)- \sin (\omega_{c1} n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. \end{align}}

onde sabe-se que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sinc(n) = \delta(n) } , ou seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sinc(n) = 1 } para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sinc(n) = 0 } para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \neq 0 } .

  • Ver pag. 249 a 256 de [2]


Aula 23 (4 jun)
  • O uso da janela retangular no "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier, resulta no fenômeno de Gibbs na magnitude da resposta em frequência, conforme mostrado a seguir.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} w(n) & = 1; \qquad -M \le n \le M \\ & = 0; \qquad \left | n \right | \ge M \end{align}}

Aplicando a equação de síntese da série obtemos:

Note que esta função tem um máximo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2M+1) } em , e cruza o zero em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2M+1)w/2] = \pm \pi } , portanto a lagura do lóbulo central é de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\pi/(2M+1) } . Além disso percebe-se que se aumentamos o tamanho da janela retangular (2M+1), a largura do lóbulo central é reduzida proporcionalmente.

FuntionPsi.png
Figura 5 - função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi(e^{jw}) }

Ao fazer o "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier da resposta em frequência do filtro ideal, estamos multiplicando a série de coeficientes pelo janela retangular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(n) = w(n) \times C_{LP} } , conforme mostra a figura a seguir.

JanelaTemporalCLP.png
Figura 6 - Janelamento temporal (rectwin) dos coeficientes

Essa multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma convolução no domínio da frequência.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H_M(e^{j\omega}) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(e^{j\theta})\Psi(e^{j(\omega-\theta})\mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(\theta)\Psi(\omega-\theta)\mathrm{d}\theta \end{align}}

A qual é mostrada graficamente na figura a seguir.

ConvoluçãoJanelaTemporalCLP.png
Figura 7 - Convolução da resposta do filtro ideal H_{LP} com a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi(e^{jw}) }

HwJanelaTemporalCLP.png
Figura 8 - Aproximação da resposta de magnitude com janela retangular


  • Para reduzir o ripple devido ao corte dos coeficientes, são usadas as funções de janelamento temporal no projeto de filtros digitais.
  • Tipos de janelas temporais usadas no projeto de filtros digitais.
  • Retangular
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(n)=1; \qquad -M \le n \le M }
  • Bartlett
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(n)= 1 - \frac{\left | n \right |}{M+1}; \qquad -M \le n \le M }
  • Hanning
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(n) = 0.5 + 0.5 \cos \left( \frac{2\pi n}{2M+1} \right), -M \le n \le M}
  • Hamming
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(n) = 0.54 + 0.46 \cos\left(\frac{2\pi n}{2M+1}\right); \qquad -M \le n \le M}
  • Blackman


Aula 24 (8 jun)
  • em todas as janelas quando
onde é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N/2} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} par e para impar
ver também apodization function
L = 64; 
wvtool(rectwin(L), triang(L), bartlett(L), hann(L), hamming(L), blackman(L), blackmanharris(L), nuttallwin(L));

Use o código abaixo e verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso, posição dos zeros no plano z, etc.

No código o wc é a frequência de corte do filtro LP, N é a ordem do filtro, CLP é são os coeficientes da série de Fourier do filtro LP ideal multiplicados pela janela retangular, bRET, bHAM e bBLACK são os coeficientes dos filtros usando respectivamente as janelas retangular, Hamming e Blackman.
Note que:
1) O número de coeficientes sempre será igual a (N+1)=(2M+1).
2) A função ylim([-0.1 0.1]) foi usada para destacar o ripple na banda passante.
3) O ripple na banda de rejeição é sempre proporcional ao ripple na banda passante (visualizar com a escala linear de magnitude).
4) A banda de transição aumenta a medida que o ripple diminui.
5) O aumento da ordem do filtro reduz a banda de transição, mas "quase" não afeta a amplitude do ripple.
N = 32;
wc = 0.5; M = N/2;
CLP = wc*sinc(wc*(-M:M));
bRET = CLP;
bHAM = CLP.*hamming(2*M+1)';
bBLACK = CLP.*blackman(2*M+1)';
fvtool(bRET,1,bHAM,1,bBLACK,1);
legend('rectwin', 'Hamming', 'Blackman');
ylim([-0.1 0.1])


  • Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais fixas.
  • Exemplos de projeto
  • Projetar um filtro LP usando uma janela temporal fixa (verificar a janela que atende a especificação)
wp = 0.2*pi; Ap = 1 dB; Gp = 0 dB
ws = 0.4*pi; As = 40 dB;
  • Para o projeto do filtro, o primeiro passo é escolher uma janela que atenda a atenuação na banda de passagem e na banda de rejeição. Em seguida é necessário determinar a ordem do filtro que atende a especificação de largura de banda de transição. Por último será necessário ajustar o valor de wc para que o filtro esteja dentro das especificações.
  • Ao final do projeto, deverá ser informado o tipo de janela escolhida, a ordem do filtro, se é do tipo 1, 2, 3 ou 4, e o valor de wc.


Aula 25 e 26 (15 e 18 jun)
  • Projetar um filtro HP usando uma janela temporal fixa (hamming, bartlett-hanning, hanning).
ws = 0.4*pi; Ap = 0.2 dB; Gp = 0 dB
wp = 0.6*pi; As = 50 dB;
  • Comparar os 3 tipos de janela, a ordem obtida, e o valor de wc em cada projeto.
  • Para o projeto dos filtros LP FIR de janela fixa, uma possível solução para reduzir o número de passos é:
  • PASSO 1 - Escolher o tipo de janela de acordo com a atenuação do lóbulo lateral Asl e As.
  • PASSO 2 - Estimar a ordem N1 do filtro considerando os parâmetros Dw = |ws -wp|
  • PASSO 3 - Calcule os coeficientes clp do filtro LP considerando N1 e wc1 = |ws + wp|/2. Calcule os valores da janela win e obtenha a resposta ao impulso do filtro h = clp * win.
  • PASSO 4 - Verifique o valor medido de Dwm = wsm-wpm, e faça a correção da ordem do filtro em função do desvio constatado. N2 = N1*Dwm/Dw.
  • PASSO 5 - Refaça os cálculos dos coeficientes Clp do filtro ideal, da janela e da resposta ao impulso para a nova ordem N2.
  • Repita o PASSO 3 até 5, até obter um filtro com a menor ordem que atenda as especificações de Dw.
  • PASSO 6 - Desloque a frequência de corte wc de modo a ter a banda de transições posicionada corretamente entre wp e ws. wc2 = wp + (wp-wAp).
Tabela - Estimativa da atenuação do lóbulo lateral Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{sl}} da janela, atenuação do primeiro lóbulo lateral do filtro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{s}} , e largura da banda de transição , para um filtro LP FIR de janela fixa.
Janela Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{s}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \omega}
Retangular 13.3 20.33 0.92Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} /M
Triangular 26.6 27.41
Bartlett 26.5 27.48
Hann 31.5 44.03 3.11Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} /M
Bartlett-Hanning 35.9 40.77
Hamming 42.5 54.08 3.32Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} /M
Bohman 46.0 51.84 7.01Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} /M
Parzen 53.1 56.89
Blackman 58.1 75.25 5.56Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} /M
Flat Top 88.0 106.3
Blackman-Harris 92.1 108.8
Nutfall 93.8 109.7
  • Dados acima obtidos para um filtro passa baixas de ordem N = 64 com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{c} = 0.5 \pi}
  • Ver artigos:
  • Estudo Dirigido. Projetar os filtros LP, HP e BP de acordo com as especificações dadas na Atividade AE2, considerando uma frequência de amostragem fa > que 2 * fmax especificada.


Aula 27 (22 jun)
  • Filtros Digitais: Filtros FIR
  • Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais ajustáveis
L = 64; 
r = 60;    % Chebyshev e Tukey
alpha = 3; % Gauss
betha = 8; % Kaiser
nbar = 10; % Taylor
wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r));

Para a janela de Kaiser, a estimação do fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } e da ordem do filtro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N } são obtidos por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \left \{ \begin{matrix} 0.1102 (\alpha-8.7), & \alpha > 50, \\ 0.5842 (\alpha- 21)^{0.4} + 0.07886 (\alpha- 21) , & 50 \ge \alpha \ge 21, \\ 0, & \alpha < 21. \end{matrix}\right.}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } é a atenuação do lóbulo lateral e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \omega } é a largura da banda de transição em rad/amostra.

A janela de Kaiser é definida por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w(n) = \frac{I_0 \left(\beta \sqrt{1-(\frac{n-\alpha}{\alpha})^2} \right)}{I_0(\beta)} }

onde :Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_0(x) = 1+ \sum_{k=1}^\infty {\left( \frac{(\frac{x}{2})^k}{k!}\right)}^2 } é a função de Bessel de ordem zero [2]

Utilizando o Matlab é possível estimar esses valores utilizando a função kaiserord. Exemplo da obtenção de um filtro passa baixa com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{pass} = 1000 Hz } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{stop} = 1500 Hz } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{amostragem} = 8000 Hz } atenuação de 40 dB na "stopband"

%% Calculo do filtro de kaiser, sem ajustes
% Especificaçao
fsamp = 8000;
fcuts = [1000 1500];
Ap = 1;
As = 40; 
ftype = 'low';

fN = fsamp/2;
wp = fcuts(1)/fN;
ws = fcuts(2)/fN;
Dw = abs(ws-wp);

% Calculo da janela de Kaiser
beta = 0.5842*(As-21)^0.4+0.07886*(As-21); 
n = ceil((As-8)/(2.285*Dw*pi)+1);
Wn = (wp+ws)/2;
wkaiser = kaiser(n+1,beta);

Forma alternativa de projeto usando a função kaiserord

fsamp = 8000;
fcuts = [1000 1500];
Ap = 1;
As = 40; 
mags = [1 0];
devs = [1-10^(-Ap/20) 10^(-As/20)];
[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs,fsamp);
wkaiser = kaiser(n+1,beta);
h_fir = fir1(n,Wn,ftype,wkaiser,'noscale');

A partir das especificações do filtro é possível obter um projeto usando a função fir1. Essa função basicamente aplica o método da janela ao filtro ideal especificado pela(s) frequência(s) de corte .

h_fir = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale');
[Hw,w] =freqz(h_fir);
plot(w*fsamp/2/pi,20*log10(abs(Hw)))
title(['Kaiser filter N = ' num2str(n)])
%fvtool(h_fir,1)

Como resultado do projeto a partir das equações de Kaiser é obtido o filtro abaixo:

Figura 9 - Filtro LP com janela de Kaiser, sem ajustes.

LPkaiser1.png

No entanto realizando ajustes tanto do ganho no topo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } , na largura da banda de transição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \omega } , e na ordem do filtro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } , é possível reduzir essa ordem obtendo o filtro abaixo:

Figura 10 - Filtro LP com janela de Kaiser, com ajustes.

LPkaiser2.png

  • Ver as funções fir1, kaiserord do Matlab.
  • Ver pag. 266 a 273 de [2]
  • Uso das funções window e fir1 do Matlab para projeto de filtro FIR
Aula 28 (25 jun)
L = 64; 
r = 60;    % Chebyshev e Tukey
alpha = 3; % Gauss
betha = 8; % Kaiser
nbar = 10; % Taylor
wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r));
Figura 11 - Filtro LP com janela de Chebyshev, Taylor e Gaussiana.

LPChebywin.png LPTaylor.png LPGauss.png


Aula 29 (29 jun)

Digital Filters with Linear Phase].

  • Exemplo do projeto de um filtro passa-baixas, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequência de passagem de 1000 Hz e frequência de rejeição de 1500 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e o ripple máximo na banda passante é de 1 dB.
fa = 8000;

Ap = 1;          
Ar = 40;          
       
fp = 1000;
fr = 1500;

f = [fp fr];    
a = [1 0];        
dev = [(10^(Ap/20)-1)/(10^(Ap/20)+1)  10^(-Ar/20)]; 
[n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fa);
b = firpm(n,fo,ao,w);
[h,w] = freqz(b,1,1024,fa);
plot(w, 20*log10(abs(h))); hold on;
plot([0 fr fr fa/2], [Ap/2 Ap/2 -Ar -Ar],':m')
plot([0 fp fp], [-Ap/2 -Ap/2 -(Ar+30)],':m');
ylim([-(Ar+30) Ap/2+10])
  • Exemplo do projeto de um filtro passa-faixa, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequências de passagem de 1500 e 1700 Hz e e frequências de rejeição de 1000 e 3000 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na primeira banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e 60 dB na segunda banda de rejeição. O ripple máximo na banda passante é de 1 dB e fa = 8000;


  • Uso do [4] para projeto de filtro IIR, FIR equiripple e FIR com janela.
  • Uso do [5] no Simulink.
  • Exemplo do projeto de um filtro passa-baixas, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequência de passagem de 1000 Hz e frequência de rejeição de 1500 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e o ripple máximo na banda passante é de 0.4 dB.

Unidade 4 - Realização de Filtros

Unidade 4 - Realização de Filtros
Aula 30 (2 jul)
  • Realização de Filtros FIR
  • A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + ... + b_N z^N \\ &= \sum_{i=0}^{N} b_i \cdot z^i \end{align}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + ... + b_N z^{-N} \end{align}}
  • Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(z) = X(z)/Y(z) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} Y(z) &= b_0 X(z) + b_1 z^{-1}X(z) + b_2 z^{-2}X(z) + ... + b_N z^{-N}X(z) \end{align}}
  • Conhecendo a transformada Z inversa de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(z) = Z\{x[n]\} } , e a propriedade do atraso , o filtro FIR causal de ordem mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} y[n] &= b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_N x[n-N] \\ &= \sum_{i=0}^{N} b_i\cdot x[n-i], \end{align}}
  • Pode-se notar que a saída do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x[n] }
  • A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo alguma das estruturas mostradas a seguir.
  • A título de exemplo vamos considerar um filtro FIR de ordem 4, e para permitir uma notação de vetores com os índices do Matlab (maiores que 0), a função de de transferência e sua equação de diferenças são mostradas a seguir:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H(z) &= {b(1) + b(2) z^{-1} + b(3) z^{-2} + b(4) z^{-3} + b(5) z^{-4}} \\ Y(z) &= {b(1) + b(2) z^{-1} + b(3) z^{-2} + b(4) z^{-3} + b(5) z^{-4}} X(z) \\ y[n] &= {b(1) x[n]+ b(2) x[n-1] + b(3) x[n-2] + b(4) x[n-3] + b(5) x[n-4]} \end{align}}
Realização de filtros FIR na Forma Direta

Para exemplificar as diferentes realizações utilizaremos com base um filtro de ordem 4 representado pela função de transferência

  • A implementação direta desse sistema discreto no tempo pode ser representada pelo modelo esquemático a seguir.

Figura 4.1 - Realização de filtros FIR na Forma Direta
FIR FD MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Realização de filtros FIR na Forma Transposta
  • A transposição consiste na inversão do fluxo de todos os sinais, substituição de nós de soma por derivações e as derivações por soma. A entrada e saída também devem ser invertidas. A realização da transposição não altera o sistema implementado.

Figura 4.2 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta
FIR FDT MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura 4.3 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta
FIR FDT2 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Realização de filtros FIR de fase linear

Os filtros FIR de fase linear podem ser com coeficientes simétricos (tipo I e II) ou antissimétricos (tipo III e IV).

Tipo I - Simétrico de ordem par
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} \\ &= h(1)(1+z^{-4}) + h(2)(z^{-1}+z^{-3}) + h(3) z^{-2} \end{align}}

Figura 4.4 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico I
FIR Sym2 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tipo II - Simétrico de ordem impar
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} + h(6) z^{-5} \\ &= h(1)(1+z^{-5}) + h(2)(z^{-1}+z^{-4}) + h(3)(z^{-2}+ z^{-3}) \end{align}}

Figura 4.5 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico II
FIR Sym1 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tipo III - Antissimétrico de ordem par
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} \\ &= h(1)(1-z^{-4}) + h(2)(z^{-1}-z^{-3}) + 0 z^{-2} \\ &= h(1)(1-z^{-4}) + h(2)(z^{-1}-z^{-3}) \end{align}}

Figura 4.6 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico III
FIR AntiSym3 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tipo IV - Antissimétrico de ordem impar
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} + h(6) z^{-5} \\ &= h(1)(1-z^{-5}) + h(2)(z^{-1}-z^{-4}) + h(3)(z^{-2}- z^{-3}) \end{align}}

Figura 4.7 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico IV
FIR AntiSym4 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Uso do Matlab e Simulink
Fs = 30000;              % Sampling Frequency
Fpass = 12000;           % Passband Frequency
Fstop = 13000;           % Stopband Frequency
Dpass = 0.01;            % Passband Ripple
Dstop = 0.01;            % Stopband Attenuation
flag  = 'scale';         % Sampling Flag

% Calculate the order from the parameters using KAISERORD.
[N,Wn,BETA,TYPE] = kaiserord([Fpass Fstop]/(Fs/2), [1 0], [Dstop Dpass]);

% Calculate the coefficients using the FIR1 function.
b  = fir1(N, Wn, TYPE, kaiser(N+1, BETA), flag);

hFIR = dsp.FIRFilter;
hFIR.Numerator = b;

% Para definir diretamente os coeficientes
realizemdl(hFIR)

% Para definir os coeficientes através de uma matriz de entrada
realizemdl(hFIR,'MapCoeffsToPorts','on');


Aula 31 (6 jul)
  • Realização de filtros IIR de 2ª ordem: Forma Direta I e II, e Forma Transposta I e II.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}, H(z) = \frac{b_0 z^2 + b_1 z^1 + b_2}{z^2 + a_1 z^1 + a_2}, H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} }
  • Separando H(z) em dois blocos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(z) = H_1(z) H_2(z) } , e obtendo o sinal intermediário W(z) ou Y(z) dependendo da ordem dos blocos.

Figura 4.8 - Separação do filtro IIR H(z) em H1(z) e H2(z)
H1 H2 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com o ordenamento dos blocos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_1(z) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_2(z) } em ordem direta teremos a Forma Direta I:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1(z) = \frac{W(z)}{X(z)} = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_2(z) = \frac{Y(z)}{W(z)} = \frac{1}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} }
Podemos obter a realização de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_1(z) } na forma direta.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W(z) = (b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})X(z) }
Para obter a realização de , é necessário reescrever a saída Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z) } em função de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W(z) } e das saídas anteriores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z) z^{-1} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z) z^{-2} } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z) = \frac{W(z)}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z)({1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}) = W(z) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(z) = W(z) - a_1 Y(z) z^{-1} - a_2 Y(z) z^{-2} }

Figura 4.9 - Realização de filtros IIR na Forma Direta I
IIR FD1 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com o ordenamento dos blocos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_1(z) } em ordem reversa teremos a Forma Direta II:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_2(z) = \frac{V(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(z) = X(z) - a_1 V(z) z^{-1} - a_2 V(z) z^{-2} }

Figura 4.10 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II
IIR FD2a MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Considerando que os sinais no centro são idênticos podemos simplificar e obter a Forma Direta II (Canônica):

Figura 4.11 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II Canônica
IIR FD2b MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
Considerando as regras de transposição podemos obter a forma transposta I e II. A transposição consiste na inversão do fluxo de todos os sinais, substituição de nós de soma por derivações e as derivações por soma. A entrada e saída também devem ser invertidas. A realização da transposição não altera o sistema implementado.

Figura 4.12 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta I
IIR FT1 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura 4.13 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta II
IIR FT2 MathWorks.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • Realização de filtros IIR de ordem maior que 2: Forma Direta I e II, Transposta I e II, Cascata, Paralela
  • Os filtros IIR de ordem superior a 2 podem ser implementados nas FD I ou II e na FT I ou II. No entanto nessa configuração tendem a ficar instáveis ao terem os coeficientes quantizados, e também terem uma significativa alteração da resposta em frequência. Para reduzir esses problemas uma possível solução é a decomposição em filtros de 2ª ordem para serem associados na forma em Cascata ou Paralela.

Uso do Simulink para processamento de sinais

Aula 32 (9 jul)
Aula 34 (6 ago)

Para aprender o básico do Simulink recomendo assistir a estes vídeos da Mathworks

  • Getting Started with Simulink -(duração 3m26s), ensina como usar a biblioteca de blocos [library browser] e o editor de modelos [model editor]. É mostrado um exemplo inserindo um gerador senoidal, um bloco de ganho e um osciloscópio. Detalhes de como conectar os blocos e uso de vetores nos parâmetros da simulação são também mostrados.
  • Simulink for New Users -(duração 54m07s), esse vídeo ensina a usar o ambiente de simulação de forma mais efetiva, indo desde a criação de um modelo até o compartilhamento do modelo com uma equipe e criação de templates para uso como base de projetos. O uso de dashboard é mostrado de forma resumida.
  • Construa o modelo de simulação mostrado na AE4


Aula XX (13 ago)
  • Agrupar todas as entradas em um subsistema (input_source)
  • Agrupar as saídas (medições) em um subsistema (measuarements)
  • Agrupar todos os blocos do sistema desenvolvido sob um subsistema (DUT).


Aula XX (17 ago)
  • Passos adicionais para converter de Matlab/Simulink para HDL.
edit hdlsetup.m
  • Experimentar com esse circuito contador até M.

Figura 5.1 - Divisão HDL_DUT e testbench
ContadorHDLCoder.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura 5.2 - Subsistema HDL_DUT
DUT ContadorHDLCoder.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • NOTA: Para funcionar a simulação é importante que o solver esteja setado para discreto, pois o contador é um sistema discreto pois utiliza os blocos Delay. Antes de simular aplique o hdlsetup ao modelo.
hdlsetup('nome_modelo')
  • A invés de fixar o [Output data type] dos blocos [Constant] em uint32 conforme mostrado na página da mathworks, escolha um tipo de dado da entrada count_threshold, e deixe os blocos internos como [Inherit: Inherit via back propagation], para que eles se ajustem conforme a necessidade.
  • Verifique os códigos VHDL gerados quando é utilizado double, int8 e uint32.
  • Para gerar o código VHDL pode se digitado makehdl('HDL_DUT'), ou também usar a interface gráfica, com clique-direito sobre o bloco HDL_DUT e selecionando [HDL Code > Generate HDL for Subsystem], ou ainda pelo menu [Code > HDL Code > Generate HDL].
  • Para que o testbench seja separado em arquivos do tipo .dat, em menu [Code > HDL Workflow Advisor], no item 3.1.3 Set Testbench Option, marque [x] Multi-file test bench e [x] Use file I/O for read/write bench data.
  • Para gerar o código VHDL para o testbench usar a interface gráfica pelo menu Code > HDL Code > Generate testbench].
  • Para fazer a simulação do sistema em VHDL, abra o Modelsim e vá para a pasta do projeto.
cd hdl_prj/hdlsrc/hdlcoder_simple_up_counter/
  • Compile os arquivos do projeto
do HDL_DUT_compile.do
  • Compile os arquivos do testbench
do HDL_DUT_tb_compile.do
  • Realize a simulação automática do contador.
do HDL_DUT_tb_sim.do

Figura 5.3 - Subsistema HDL_DUT simulado no Simulink
DUT ContadorSimulink.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura 5.4 - Subsistema HDL_DUT simulado no Modelsim
DUT ContadorModelsim.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • Observe que o sinal simulado em VHDL é identico ao sinal simulado pelo Simulink, além disso observe que a frase abaixo aparece no console confirmando que o sistema HDL_DUT está correto. O próximo passo seria usar o VDHL para implementar o sistema.
** Note: **************TEST COMPLETED (PASSED)**************
Aula XX (20 ago)


 a_sfix = fi(0.1)        % 0.1 representado com signed, 16 bits no total com os bits de fração determinados para representar o sinal
 b_sfix = fi(-0.1)       % 0.1 representado com signed, 16 bits no total com 10 bits de fração
 c_sfix = fi(0.1,1,5,4)  % 0.1 representado com signed, 5 bits no total com 4 bits de fração
 d_sfix = fi(-0.1,1,5,4)  % -0.1 representado com signed, 5 bits no total com 4 bits de fração
 e_sfix = fi(-0.1,0,5,4)  % -0.1 representado com unsigned, 5 bits no total com 4 bits de fração  =>  ERRO
 a_float = 0.1
 b_float = -0.1
 fi(0:0.3:10,0,8,0)

Para observar a precisão da representação mude o formato numérico para

 format long
 format hex
 format short      % formato default

Experimente com outros números como (10.3 3.25 pi e)

  • Caso o dado tem um outro formato, é possível usar o quantizer-quantize para converter o dado para ponto fixo (ou outro formato)
  • Além disso, os números de ponto fixo podem ser representado com sinal (fixed) ou sem sinal (ufixed)
DataMode
Type of arithmetic used in quantization. This property can have the following values:

fixed — Signed fixed-point calculations

float — User-specified floating-point calculations

double — Double-precision floating-point calculations

single — Single-precision floating-point calculations

ufixed — Unsigned fixed-point calculations

The default value of this property is fixed.
v = -2:0.3:2
q = quantizer('fixed', [5 4])
quantize(q,0.1)
quantize(q,pi)
quantize(q,v)
qu = quantizer('ufixed', [16 4])
quantize(qu,-0.1)
quantize(qu,-pi)
quantize(qu,v)

Note neste caso que a quantidade de bits total e número de casas fracionárias limitam a representação dos números.

range(q)


Para observar os bits que representam o número pode ser usada a função num2bin e num2hex. Note que o format hex mostra o valor correspondente no padrão IEEE 754 (floating point)

x=-0.2;
% Word length = 8, fraction length = 7
q=quantizer([8,7])
range(q)
xq=quantize(q,x);
binxq=num2bin(q,xq);
% Word length = 16, fraction length = 10
q1=quantizer([160 150])
range(q1)
xq1 = quantize(q1,x);
binxq1=num2bin(q1,xq1);
hexxq1=num2hex(q1,xq1);
x
xq
xq1
disp(['x=',num2str(x), ',xq=',num2str(xq), ',bin=', binxq, ',xq1=',num2str(xq1),',bin=', binxq1 ])
format hex
xq1
hexxq1

A precisão da representação numérica também varia conforme o numero de bits usados para a parte fracionária. Para saber a precisão (valor correspondente ao bit menos significativo) use a função eps(q).

q=quantizer('ufixed', [4,1]);
%q=quantizer([4,1],'fixed')
% q=quantizer([4,0],'ufixed')
% q=quantizer([4,0],'fixed')
% q=quantizer([4,-1],'ufixed')
% q=quantizer([4,-1],'fixed')
tostring(q)
range(q)
eps(q)
xq=quantize(q,x);
binxq=num2bin(q,xq);
xq
binxq
  • Na quantização um efeito que deve ser controlado é o overflow, no qual o valor a ser representado é superior ao possível para a quantidade de bits escolhida. Existe o modo de saturação e o modo de wrap.
q=quantizer([3 0],'fixed','round','saturate');
quantize(q,0:0.5:16)
q=quantizer([3 0],'ufixed','round','saturate');
quantize(q,0:0.5:16)
q=quantizer([3 0],'fixed','round','wrap');
quantize(q,0:0.5:16)
q=quantizer([3 0],'ufixed','round','wrap');
quantize(q,0:0.5:16)

Note a diferença entre estes 4 quantizadores acima.

Aula XX (24 ago)
  • Como a conversão do tipo de dado de ponto flutuante 64 bits (double) para ponto fixo, resulta na quantização dos coeficientes do filtro, é necessário fazer uma nova análise dos filtros projetados para verificar qual é o comportamento dos mesmos com esses coeficientes, pois dependendo da quantização um filtro pode não atender mais a especificação original. No caso dos IIR pode até se tornar instável.

No caso dos filtros FIR, escolha uma quantidade de bits suficiente para manter a resposta de frequência especificada, ou modifique o filtro visando reduzir o número de bits necessários. No caso dos IIR, utiliza uma estrutura de seções de segunda ordem (SOS) para a implementação dos filtros.

  • Toda a análise acima pode ser feita diretamente com o FDAtool, e os filtros realizados depois de quantizados podem ser exportados para o Simulink, conforme será visto em aula.
Ver também
  • Para interpretar o valor numérico de dados em ponto flutuante use esse conversor IEEE 754.

ATUAL

Aula XX (27 ago)
  • Neste dia foi usado um vídeo gravado mostrando como é feito o passo a passo de um projeto de filtro cujos coeficientes já foram determinados, até a descrição do hardware em HDL.

NEXT

Aula PF (31 ago)
  • Definição dos requisitos e prazos do projeto final a ser realizado em equipes (ou individual).
  • Neste dia todos alunos deverão estar on line com o vídeo ligado (pode ser a partir do celular).
  • Vocês poderão tirar suas dúvidas sobre o projeto neste dia.
  • Depois desse encontro não teremos mais encontros síncronos, apenas o atendimento, que será com hora marcada pelo grupo do SLACK nos dias de atendimento paralelo ou no horário das aulas.

Avaliações

  • Atividades extraclasse
AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8
AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8.
  • Determine a transformada discreta de Fourier X(w) a partir da sequencia discreta x(n) indicada na tabela abaixo.
  • Utilize a equação da DFT
  • Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}}
  • Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ }
  • O algoritmo FFT indicado na tabela, onde dt é decimação no tempo (Fig 3.9) e df é decimação na frequência (Fig 3.13)
  • Use uma folha de papel para anotar os valores dos produtos intermediários tanto da DFT como da FFT.
  • Compare os resultados obtidos para de X(k) obtido com os dois cálculos.
  • Poste no Moodle a folha de cálculos (digitalize usando scanner ou smartphone).
AE2 - Projeto de Filtro Analógico e Filtro Digital IIR (Entrega e prazos ver Moodle)

A primeira parte dessa avaliação visa verificar se você conhece a metodologia de projeto de filtros analógicos: (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s), obtendo o filtro LP, HP conforme o tipo de filtro desejado; Nesta avaliação é solicitado que cada equipe realize o projeto de 2 filtros analógicos. Na segunda parte é solicitado que os filtros BP e BS sejam projetados seguindo as etapas (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s) (c) conversão do filtro analógico H(s) em digital H(z), usando a transformação bilinear. Note que nestes casos a frequência de amostragem do sinal e sistema é fundamental no projeto.

Equipe Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Filtro 4
Equipe 1 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 1000 Hz, = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB, Butterworth) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 1000 Hz, = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB, Chebyshev 1) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 44100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; = 2000 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB, = 5 dB ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 44100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB )
Equipe 2 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 40 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 20 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB, Butterworth) HP - ( = 40 Hz; = 200 Hz, = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 50 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{tTopo} } = 10 dB, Chebyshev 1) BP - ( = 8000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 20 dB ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 8000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; = 2000 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; = 3800 Hz, = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 20 dB )
Equipe 3 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 20 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 100 Hz, = 3 dB, = 25 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 1 dB, Butterworth) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 20 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 100 Hz, = 2 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 60 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -20 dB, Chebyshev 1) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, = 300 Hz; = 380 Hz, = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 1000 Hz; = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB )
Equipe 4 LP - ( = 10 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 60 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -5 dB, Butterworth) HP - ( = 10 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 60 Hz, = 2 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 45 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB, Chebyshev 1) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 0.5 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, = 0 dB ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 0.5 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 0 dB )
Equipe 5 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 100 Hz; = 500 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB, Butterworth) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 500 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 50 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB, Chebyshev 1) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; = 800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 1400 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 1000 Hz; = 1400 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB )
onde:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_N } - são as "N" frequência de especificação do filtro dadas em Hertz (kHz ou MHz);
LP (Low Pass)- Passa Baixa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p = f_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s = f_2 } .
HP (High Pass)- Passa Altas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s = f_1 } e .
BP (Band Pass)- Passa Faixa e , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p2} = f_3 } e .
BS (Band Stop)- Rejeita Faixa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p1} = f_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s1} = f_2 } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s2} = f_3 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p2} = f_4 } .
- frequência de amostragem; - frequência de passagem; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s } - frequência de rejeição (stopband), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } - Atenuação máxima na banda de passagem (dB), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } - Atenuação mínima na banda de rejeição (dB) (stopband), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } - Ganho na banda de passagem (dB).
  • Os filtros LP e HP devem ser realizados utilizando a aproximação de Butterworth ou Chebyshev tipo 1 (devendo ser todos os calculados efetuados a partir das equações).
  • Os filtros BP e BS devem ser realizados utilizando a aproximação de Chebyshev tipo 2 ou Euler (podendo ser calculada a função H(p) a partir das funções do Matlab.
  • Para todos os filtros nos resultados deve ser indicada a ordem do filtro, o valor de polos e zeros, e as equações de H(p), H(s). No caso dos filtros 3 e 4 apresente também os resultados para H(z).
  • Deve ser apresentado de forma gráfica a resposta em frequência dos filtros (ganho em dB e fase) dos filtros (a) protótipo H(p), (b) Filtro analógico H(s). No caso dos filtros 3 e 4 apresente também os resultados para H(z).
  • Utilize uma mascara com as especificações para mostrar que os filtros atendem a especificação original (ver Fazer mascara de um filtro no Matlab).
  • Apresente o diagrama dos pólos e zeros dos filtros H(p), H(s). No caso dos filtros 3 e 4 apresente também o diagrama para H(z).
  • Utilize a mesma escala em dB para os gráficos de cada filtro. Nas abcissas utilize uma escala em Hz (kHz ou MHz). Utilize uma mascara com cor diferenciada para indicar claramente a especificação do filtro, e crie um segundo gráfico mostrando claramente a banda de passagem.
  • Escreva um relatório técnico em PDF mostrando os resultados obtidos e comentando os resultados obtidos. Não é necessário apresentar a teoria utilizado para o projeto, mas todos os cálculos devem estar documentados.
  • Envie o relatório em pdf ou imagem dos cálculos e eventuais arquivos ".m" utilizados na plataforma Moodle.
AE3 - Projeto de Filtro Digital FIR (Entrega e prazos ver Moodle)

Essa avaliação visa verificar se você conhece a metodologia de projeto de filtros digital FIR com janelas fixas, janelas ajustáveis e usando o algoritmo de Park-McCleallan (PM). Nesta avaliação cada equipe deverá realizar o projeto de 2 filtros analógicos usando janela fixa e ajustáveis e todos os 4 filtros usando o PM. Alguns filtros foram modificados em relação a atividade anterior.

Equipe Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Filtro 4
Equipe 1 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 1000 Hz; = 2 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 50 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB ; filtro PM) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 1000 Hz; = 2 dB; = 50 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 44100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; = 3800 Hz; = 1 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM ) BS - ( = 44100 Hz; = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB; = 35 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB; filtro PM )
Equipe 2 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 8000 Hz; = 600 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 45 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 8000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 600 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 45 dB; = 10 dB; filtro PM) BP - ( = 8000 Hz; = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; = 3800 Hz; = 3 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 20 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 8000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, = 20 dB; filtro PM)
Equipe 3 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 500 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 20 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 100 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 1 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 500 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 20 Hz; = 100 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -20 dB; filtro PM) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB, = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, = 1 dB, = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB; filtro PM)
Equipe 4 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 200 Hz; = 10 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 60 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -5 dB; filtro PM) HP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 10 Hz; = 60 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 0.5 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 0 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM ) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 150 Hz; = 200 Hz, = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 0.5 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, = 0 dB; filtro PM)
Equipe 5 LP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 500 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) HP - ( = 2000 Hz; = 100 Hz; = 500 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB; filtro PM) BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; = 800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 1400 Hz, = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB; janela fixa, janela ajustável e filtro PM) BS - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; = 800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 1400 Hz, = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, = -10 dB; filtro PM)
onde:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_x } - são as "x" frequência de especificação do filtro dadas em Hertz (kHz ou MHz);
LP (Low Pass)- Passa Baixa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p = f_1 } e .
HP (High Pass)- Passa Altas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s = f_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p = f_2 } .
BP (Band Pass)- Passa Faixa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s1} = f_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p1} = f_2 } , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s2} = f_4 } .
BS (Band Stop)- Rejeita Faixa e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s1} = f_2 } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{s2} = f_3 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{p2} = f_4 } .
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } - frequência de amostragem; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_p } - frequência de passagem; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_s } - frequência de rejeição (stopband), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } - Atenuação máxima na banda de passagem (dB), - Atenuação mínima na banda de rejeição (dB) (stopband), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } - Ganho na banda de passagem (dB).
  • Os filtros LP, HP, BP e BS devem ser projetados utilizando o algoritmo de Park-McCleallan (PM), podem ser usadas as funções apropriadas do Matlab.
  • A metodologia de janela fixa e ajustável deve ser aplicada também aos filtros indicados na tabela. No caso das janelas fixas o cálculo dos coeficientes deve ser realizado seguindo todos os passos. Para os filtros ajustáveis pode ser usada a função fir1 do Matlab.
  • Para todos os filtros nos resultados deve ser indicada a ordem do filtro, o diagrama dos polos e zeros mostrando o plano z no intervalo [-2 e 2], tanto para o eixo real como imaginário.
  • Para cada filtros LP, HP, BP e BS, as resposta em frequência (ganho em dB e fase) devem ser mostrado em um único gráfico quando houverem 3 projetos de filtro.
  • Utilize uma máscara com as especificações para mostrar que os filtros atendem a especificação original (ver Fazer mascara de um filtro no Matlab).
  • Utilize a mesma escala em dB para os gráficos de cada filtro. Nas abcissas utilize uma escala em Hz (kHz ou MHz). Utilize uma mascara com cor diferenciada e linha tracejada ou pontilha para indicar claramente a especificação do filtro, e crie um segundo gráfico mostrando claramente a banda de passagem, conforme mostrado na figura seguir.
  • Para todos os filtros projetados mostre a resposta ao impulso de forma gráfica.
  • Determine o atraso de grupo para todos os filtros projetados.
  • Para os filtros de fase linear determine o tipo tipo de simetria que apresenta e a classificação deles (tipo 1 a 4).
  • Analise se os filtros projetados possuem a propriedade da simetria quadrantal.
  • Escreva um relatório técnico em PDF mostrando os resultados obtidos e comentando os resultados obtidos. Não é necessário apresentar a teoria utilizado para o projeto, mas todos os cálculos devem estar documentados.
  • Envie o relatório em pdf ou imagem dos cálculos e eventuais arquivos ".m" utilizados na plataforma Moodle.
Exemplos de formatação de figuras

Figura AE3.1 - Resposta ao impulso de um filtro digital FIR
Ex impulseFIR.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura AE3.2 - Resposta em frequência de 3 filtros passa altas do tipo FIR
Ex FiltroFIRHP.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura AE3.3 - Diagrama de polos e zeros de um filtro digital FIR
Ex zplaneFIR.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
AE4 - Simulação de sistemas DSP com Simulink (Entrega e prazos ver Moodle)

Como atividade de estudo realizar a montagem do modelo indicado na figura abaixo e fazer a simulação, usar fa = 8000Hz.

PASSO 1 - Entrar no Simulink
  • Abra o Matlab e crie uma pasta PSD29007
  • Entre no Simulink criando um novo modelo digitando
simulink
  • Em seguida salve o modelo vazio com o nome aula34.slx
PASSO 2 - Criando o modelo slx
  • crie as variáveis de parâmetro para os blocos do simulink. Digite no matlab:
  fa = 8000 % Sampling frequency;  
  Ta = 1/fa % Sample time;  
  spf = 1   % Samples per frame;
  v1 = 0.2  % Sine amplitude;
  f1 = 500  % Sine frequency;
  G = 0.05  % Gain;
PASSO 3 - Construindo o circuito com as fontes (source) de sinal
  • Insira os blocos que deseja utilizar para construir a seleção da fonte (ver o diagrama de blocos)

Figura AE4.1 - Modelagem da seleção das fontes de sinal
SelectSourceSimulink.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • Configure os parâmetros de cada bloco.
Configurar o bloco sinewave
Amplitude — Amplitude of sine waves
v1
Frequency (Hz) — Frequency of each sine wave
f1
Phase offset (rad) — Phase offset
0 (default)
Sample mode — Continuous or discrete sampling mode
Discrete (default)
Output complexity — Real or complex waveform
Real (default)
Computation method — Method for computing discrete-time sinusoids
Trigonometric fcn (default)
Sample time — Sample period
Ta
Samples per frame — Samples per frame
spf
Resetting states when re-enabled — State behavior inside enabled subsystems
Restart at time zero (default)
Configurar o bloco chirp
Frequency sweep — Type of frequency sweep 
Linear (default)
Sweep mode — Sweep mode
Unidirectional (default)
Initial frequency (Hz) — Initial frequency
1
Target frequency (Hz) — Target frequency
fa/2
Target time (s) — Target time of sweep
2
Sweep time (s) — Sweep time
2
Initial phase (rad) — Initial phase of cosine output
0 (default)
Sample time — Output sample period
Ta
Samples per frame — Samples per frame
spf
Output data type — Output data type
Double (default)
Configurar o bloco random source
Source type — Uniform or Gaussian
Uniform (default)
Minimum — Minimum value of uniform distribution
-1
Maximum — Maximum value of uniform distribution
1 (default)
Repeatability — Repeatability of block output
Not repeatable
Inherit output port attributes — Inherit output port parameters from downstream block
off (default)
Sample mode — Discrete or continuous
Discrete (default)
Sample time — Output sample period
Ta
Samples per frame — Samples per output frame
spf
Output data type — Output data type
Double (default)
Complexity — Complexity of output
Real (default)
PASSO 4 - Construindo o circuito com os receptores (sink) de sinal
  • Insira os blocos que deseja utilizar para receptores (ver o diagrama de blocos)

Figura AE4.2 - Modelagem das medições de sinal
SinkSimulink.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • Configure os parâmetros de cada bloco.
Configurar o bloco time scope

Abra a configuração [View > Configuration properties]

  • Na aba [Main]
Open at simulation start — Specify when scope window opens
on (default for Time Scope)
Display the full path — Display block path on scope title bar
off (default)
Number of input ports — Number of input ports on scope block
2
Layout — Number and arrangement of displays
1 coluna 2 linhas
Sample time — Simulation interval between scope updates
-1 (for inherited) (default)
Input processing — Channel or element signal processing
Columns as channels (frame based) (default for Time Scope)
Maximize axes — Maximize size of plots
Auto (default for Time Scope)
  • Na aba [Time]
Time span — Length of x-axis to display
2
Time span overrun action — Display data beyond visible x-axis
Wrap (default)
Time units — x-axis units
Metric (default for Time Scope)
Time display offset — x-axis offset
0 (default) | scalar | vector
Time-axis labels — Display of x-axis labels
All (default for Time Scope)
Show time-axis label — Display or hide x-axis labels
on (default for Time Scope)
  • Na aba [Display]
Active display — Selected display
1 (default)
Title — Display name
 %<SignalLabel> (default)
Show legend — Display signal legend
on
Show grid — Show internal grid lines
on (default)
Plot signals as magnitude and phase — Split display into magnitude and phase plots
off (default)
Y-limits (Minimum) — Minimum y-axis value
-10 (default)
Y-limits (Maximum) — Maximum y-axis value
10 (default)
Y-label — Y-axis label
Amplitude (default for Time Scope)
  • Na aba [Logging]
Limit data points to last — Limit buffered data values
off and 5000 (default)
Decimation — Reduce amount of scope data to display and save
off, 2 (default)
Log data to workspace — Save data to MATLAB workspace
off (default)
Variable name — Name of saved data variable
ScopeData (default)
Save format — MATLAB variable format
Dataset (default)
Configurar o bloco spectrum analyser

Abra a configuração [View > Spectrum Settings]

  • Main option
Type — Type of spectrum to display
Power (default)
View — Spectrum view
Spectrum (default)
Sample rate — Sample rate of the input signal in hertz
Inherited (default)
Full frequency span — Use entire Nyquist frequency interval
on (default)
RBW (Hz) — Resolution bandwidth
Auto (default)
  • Window Options
Overlap (%) — Segment overlap percentage
0 (default)
Window — Windowing method
Hann (default)
NENBW — Normalized effective noise bandwidth
  • Trace Options
Units — Spectrum units
dBm (default)
Averages — Number of spectral averages
1 (default)
Reference load — Reference load
1 (default)
Scale — Scale of frequency axis
Linear (default)
Offset — Constant frequency offset
0 (default)
Normal trace — Normal trace view
off
Max hold trace — Maximum hold trace view
on
Min hold trace — Minimum hold trace view
off (default)
Two-sided spectrum — Enable two-sided spectrum view
off (default)


Criar um Filtro usando o [Digital Filter Design]
  • Use o bloco Digital Filter Design para projetar e implementar um filtro digital FIR ou IIR.
  • De um duplo click sobre o bloco, e escolha as configurações que desejar.
  • Após configurar o filtro ou importar os coeficientes projetados no Matlab, clique em [Design Filter].
  • No menu [Edit > Convert Structure], escolha a implementação desejada.
  • Para melhorar a visualização dos sinais no Simulink, faça os seguintes procedimentos:
  • Ative a visualização das dimensões das portas [Display > Signal & Ports > Signal Dimensions] ou [ALT]+D+S+D+[ENTER]
  • Ative a visualização do tipo de dados das portas [Display > Signal & Ports > Port Data Types] ou [ALT]+D+S+D+D+[ENTER]
  • Ative a visualização da cor para indicar os tempos de amostragem sinais [Display > Sample Time > Colors] ou [ALT]+D+T+C+[ENTER]
  • Velocidade de simulação
  • Note que se for usado um bloco To Audio Device, a velocidade de simulação será determinada pelo tempo real de amostragem do sistema.
  • Para acelerar a simulação é necessário remover ou comentar (comment out) os dispositivos de tempo real como o To Audio Device ou From Audio Device.
  • Conforme já mencionado a simulação usando frames no lugar de samples também acelera a simulação. Experimente utilizar spf = 1, 2, 256, 1024, e perceba a diferença de velocidade de simulação.
  • Tipo de entrada para analisar o filtro.
  • Experimente as entradas senoidais, chirp, random noise e mistura dessas, assim como sinais constantes, e observe os sinais de entrada e saída no DT e DF.


  • Exemplo de modelo de um sistema e resultados da simulação

Figura AE4.3 - Modelagem de um sistema em Simulink
SimulationFilterPSD1.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

DICAS:

  • Fazer a análise no DT e DF para um ruido uniforme (-1 a 1)

Figura AE4.4 - Análise no DT com fonte de ruído randomico
DTnoiseFilterPSD1.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura AE4.5 - Análise no DF com fonte de ruído randomico
DFnoiseFilterPSD1.png
Fonte: Elaborado pelo autor.
  • Fazer a análise no DT e DF para um sinal de chirp (0 a 4000Hz)

Figura AE4.4 - Análise no DT com fonte de chirp
DTchirpFilterPSD1.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura AE4.5 - Análise no DF com fonte de chirp
DFchirpFilterPSD1.png
Fonte: Elaborado pelo autor.

PROJETO FINAL

PF - Projeto, simulação e realização e implementação em VHDL de filtros

Em todos os filtros abaixo a especificação será sempre a mesma. Cada equipe deverá utilizar a especificação do Filtro 3 da AE3. Para o filtro FIR poderá ser utilizada a metodologia de projeto de filtros digital FIR com janelas fixas ou janelas ajustáveis ou usando o algoritmo de Park-McCleallan (PM) (APENAS UM DELES). Para o filtro IIR deverão ser seguidas as etapas (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s) (c) conversão do filtro analógico H(s) em digital H(z), usando a transformação bilinear. A aproximação a ser utilizada neste caso pode ser Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev II ou Eliptico (Cauer).

Equipe Filtro
Equipe 1 BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 44100 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 1 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 35 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 5 dB)
Equipe 2 BP - ( = 8000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 1200 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 2000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 3000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 3800 Hz; = 3 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 20 dB)
Equipe 3 BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 1000 Hz; = 150 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, = 1 dB, = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 10 dB)
Equipe 4 BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 2000 Hz; = 150 Hz; = 200 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 300 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 380 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 0.5 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 30 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = 0 dB)
Equipe 5 BP - (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } = 4000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 } = 400 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2 } = 800 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_3 } = 1000 Hz; Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_4 } = 1400 Hz, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_p } = 3 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_s } = 40 dB, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{topo} } = -10 dB)
1) Filtro FIR com precisão "infinita" (floating point de 64 bits)
  • Converter o filtro para a estrutura simétrica e realizar com elementos básicos
  • Simular o filtro no simulink.
  • Usar o HDL coder para converter para vhdl em double (real).
  • Fazer a simulação do vhdl no Modelsim.
  • Analisar os resultados da simulação no simulink, Modelsim com a resposta de frequencia do filtro (freqz ou fvtool ou fdatool).
2) Filtro FIR com precisão finita (fixed point)
  • Faça a quantização dos coeficientes do filtro para ponto fixo, de modo a reduzir ao máximo o número de bits e o hardware necessário para implementar.
  • Simular o filtro no simulink.
  • Usar o HDL coder para converter para vhdl em sfix (std_logic_vector).
  • Fazer a simulação do vhdl no Modelsim.
  • Analisar os resultados da simulação no simulink, Modelsim com a resposta de frequencia do filtro (freqz ou fvtool ou fdatool).
3) Filtro IIR com precisão "infinita" (floating point de 64 bits)
  • Projetar o mesmo o filtro anterior com IIR (de seu escolha),
  • Converter para seções de segunda ordem e realizar com com elementos básicos
  • Simular o filtro no simulink.
  • Usar o HDL coder para converter para vhdl em double (real).
  • Fazer a simulação do vhdl no Modelsim.
  • Analisar os resultados da simulação no simulink, Modelsim com a resposta de frequencia do filtro (freqz ou fvtool ou fdatool).
4) Filtro IIR com precisão finita (fixed point)
  • Faça a quantização dos coeficientes do filtro para ponto fixo, de modo a reduzir ao máximo o número de bits e o hardware necessário para implementar.
  • Simular o filtro no simulink.
  • Usar o HDL coder para converter para vhdl em sfix (std_logic_vector).
  • Fazer a simulação do vhdl no Modelsim.
  • Analisar os resultados da simulação no simulink, Modelsim com a resposta de frequencia do filtro (freqz ou fvtool ou fdatool).
5) Comparação dos filtros IIR e FIR
  • Comparar as respostas de frequência (ganho e fase) dos filtros IIR e FIR.
  • Comparar a estabilidade dos filtros IIR e FIR a medida que os coeficientes são representados com menos bits. (use o FDAtool)
  • Comparar os atrasos de grupo dos filtros IIR e FIR, mantendo eles em paralelo no simulink. (use o time scope).
  • Analise o número de elementos do filtro IIR e do FIR, considere que o número de elementos logicos é proporcional a: (Use o relatório do FDAtool ou do HDL coder)
 (S) Somador = B,  (M) Multiplicador = 2B, (D) Delay = B.  
 O número de elementos lógicos o hardware será EL_Hw = N_S x B + N_M x 2B + N_D x B.  
 Multiplicadores por 1, -1, 0, e 2^N não necessitam de hardware para implementação. 
6) A entrega do Projeto Final será até dia 18/set/2020. O projeto é avaliado nos quesitos
PFp - Implementação do projeto;
PFq - Qualidade das medidas realizadas;
PFr - Relatório do projeto;
Notas

Referências Bibliográficas

  1. 1,0 1,1 1,2 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822


Curso de Engenharia de Telecomunicações