Polinômio de Chebyshev

A equação trigonométrica do Polinômio de Chebyshev (ou Tchebyshev) de primeira ordem é dada por $C_{n}(\Omega )=cos(ncos^{-1}(\Omega ))$. Dessa equação é possível obter a equação recursiva para a determinação dos polinômios de qualquer grau. Considere que:

$cos(\phi )=\Omega \Rightarrow$ $cos^{-1}(\Omega )=\phi$

Então

$C_{n}(\Omega )=cos(ncos^{-1}(\Omega ))=cos(n\phi )$

Para determinar o $C_{n+1}(\Omega )$

$cos((n+1)\phi )=cos(n\phi +\phi )$, mas sabe-se que $cos(\alpha +\beta )=cos(\alpha )cos(\beta ))-sin(\alpha )sin(\beta )$

Portanto:

$cos((n+1)\phi )=cos(n\phi )cos(\phi ))-\underbrace {sin(n\phi )sin(\phi )} _{\text{2º termo}}$

O segundo termo da equação acima pode ser convertido em cossenos usando as fórmulas de Euler $sin(\alpha )={\frac {e^{j\alpha }-e^{-j\alpha }}{2j}}$:

${\begin{aligned}sin(n\phi )sin(\phi )&={\frac {e^{jn\phi }-e^{-jn\phi }}{2j}}{\frac {e^{j\phi }-e^{-j\phi }}{2j}}\\&={\frac {(e^{jn\phi }-e^{-jn\phi })(e^{j\phi }-e^{-j\phi })}{-4}}\\&=-{\frac {1}{2}}{\bigg (}\underbrace {\frac {e^{j(n+1)\phi }+e^{-j(n+1)\phi }}{2}} _{cos((n+1)\phi )}-\underbrace {\frac {e^{j(n-1)\phi }+e^{-j(n-1)\phi }}{2}} _{cos((n-1)\phi )}{\bigg )}\end{aligned}}$

Assim, rearranjando os termos podemos obter:

$cos((n+1)\phi )=cos(k\phi )cos(\phi ))+{\frac {1}{2}}cos((n+1)\phi )-{\frac {1}{2}}cos((n-1)\phi ))$

$cos((n+1)\phi )=2cos(n\phi )cos(\phi ))-cos((n-1)\phi ))$

E substituindo $cos(n\phi )=C_{n}(\Omega )$ e $cos(\phi )=\Omega$ obtemos a equação recursiva.

$C_{n+1}(\Omega )=2\Omega C_{n}(\Omega )-C_{n-1}(\Omega )$

Portanto os polinômios de Chebyshev de grau 0 a 9 podem ser obtidos como:

Calculados os dois primeiros polinômios a partir da equação trigonométrica:

$C_{0}(\Omega )=cos(0\cdot cos^{-1}(\Omega ))=cos(0)=1$

$C_{1}(\Omega )=cos(1\cdot cos^{-1}(\Omega ))=\Omega$

E os demais de forma recursiva a partir dos dois graus anteriores

$C_{0}(\Omega )=1$

$C_{1}(\Omega )=\Omega$

$C_{2}(\Omega )=2\Omega ^{2}-1$

$C_{3}(\Omega )=4\Omega ^{3}-3\Omega$

$C_{4}(\Omega )=8\Omega ^{4}-8\Omega ^{2}+1$

$C_{5}(\Omega )=16\Omega ^{5}-20\Omega ^{3}+5\Omega \,$

$C_{6}(\Omega )=32\Omega ^{6}-48\Omega ^{4}+18\Omega ^{2}-1$

$C_{7}(\Omega )=64\Omega ^{7}-112\Omega ^{5}+56\Omega ^{3}-7\Omega$

$C_{8}(\Omega )=128\Omega ^{8}-256\Omega ^{6}+160\Omega ^{4}-32\Omega ^{2}+1$

$C_{9}(\Omega )=256\Omega ^{9}-576\Omega ^{7}+432\Omega ^{5}-120\Omega ^{3}+9\Omega$

Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre $-1<\Omega <1$.

Figura: Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio $-1<\Omega <1$

FONTE: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia

FONTES:

• Trigonometric Addition Formulas Wolfram Mathworld.
• Chebyshev Polynomial of the First Kind Wolfram Mathworld.

Cálculo dos polinômios de Chebyshev com Matlab

O Matlab dispõe da função chebyshevT(n,x), que permite calcular o polinômio de qualquer grau. Assim

syms x;
C2(x) = chebyshevT(2,x);
pretty(C2(x));

   2
2 x  - 1

C9(x) = chebyshevT(9,x);
pretty(C9(x));

     9        7        5        3
256 x  - 576 x  + 432 x  - 120 x  + 9 x

Calculo dos polinômios de Chebyshev no Wolfram Alpha.

chebyshevT[9,x]

256 x^9 - 576 x^7 + 432 x^5 - 120 x^3 + 9 x