Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

O sinal $\mathrm {x(t)}$ é contínuo no tempo, e o sinal $\mathrm {X(j\Omega )}$ é contínuo na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(j\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(j\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega }

A transformada de Fourier

\mathrm {X(j\Omega )}

, por simplificação é muitas vezes representada apenas por

\mathrm {X(\Omega )}

ou

\mathrm {X(\omega )}

, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.

Figura 1 - Sinal

\mathrm {x(t)}

e sua transformada de Fourier

\mathrm {X(\Omega )}

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG

Introdução a Transformada de Fourier	Existência da Transformada Fourier	Transformada de Fourier: Propriedades 1	Transformada de Fourier: Propriedades 2	Transformada de Fourier para Sinais Periodicos

Transformada Z

A transformada Z de um sinal de tempo discreto $x(n)\,$ é a função $X(z)\,$ definida como

X(z)=Z\{x(n)\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}\

onde

n\,

é um inteiro;

z=Ae^{j\phi }\

é um número complexo, com

A\,

sendo sua magnitude, e

\phi \,

sua frequência angular (em radianos por amostra).

A transformada Z inversa é

x(n)=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\

onde $C\$ é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de $X(z)\,$ .

Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

O sinal $\mathrm {x(n)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm {X(\Omega )}$ é contínuo e periódico em $\mathrm {2\pi }$ .

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ frequência contínua periódica.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ de frequência contínua periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)}$ continua.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }

Como a transformada de Fourier $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ é periódica com período $\mathrm {2\pi }$ , pois $\mathrm {X(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega +2\pi k)})}$ , para $\mathrm {k\in \mathbb {Z} }$ , ela pode ser calculada em qualquer faixa de $\mathrm {2\pi }$ , por exemplo $\mathrm {\omega \in [-\pi ,\pi )}$ .

\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }

Figura 2 - Sinal discreto

\mathrm {x(n)}

e sua TFDT

\mathrm {X(e^{j\omega })}

Fonte: Elaborado pelo autor.

Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

O sinal $\mathrm {x(t)}$ é contínuo e periódico no tempo (com período $T$ ) , e o sinal $\mathrm {X(k)}$ é discreto na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(k)}$ de frequência discreta.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

X(k)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-j(2\pi /T)kt)}\mathrm {d} t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(k)}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)e^{j(2\pi /T)kt)}

A série de Fourier

\mathrm {X(k)}

, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas

e^{-j\omega t}

, onde

\omega =(2\pi /T)k

. Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.

Figura 3 - Sinal

\mathrm {x(t)}

periódico e sua série de Fourier

\mathrm {X(\Omega )}

800 px Fonte: Elaborado pelo autor.

Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

Discrete Fourier Transform (DFT).

Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $\mathrm {2\pi }$ de $\mathrm {\omega }$ :

\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $\mathrm {\omega }$ em N amostras entre 0 e $\mathrm {2\pi }$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ com $k\in \mathbb {Z} \$ , and $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$ , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

\mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)}

.

\mathrm {X'(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j{\frac {2\pi }{N}}kn}}

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

\mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)}

.

O que mostra que o sinal Esse sinal $\mathrm {x'(n)} \$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $\mathrm {x(n)} \$ original.

Note que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $\mathrm {X(e^{j\omega })} \$ original.
Se o comprimento L o sinal do $\mathrm {x(n)} \$ for maior que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$ , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
Por outro lado, se $\mathrm {L\leq N} \$ então $\mathrm {x'(n)} \$ é a repetição periódica exata de $\mathrm {x(n)} \$ .

\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)}

, para

\mathrm {0\leq n\leq N-1} \

ou

\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} [u(n)-u(n-N)\

.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $\mathrm {x(n)} \$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

TDF e TDFI

O sinal $\mathrm {x(n)} \$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ ou $X(k)\$ discreto e periódico em $\mathrm {2\pi } \$ .

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ em:

\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}

\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j(2\pi /N)kn}}

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$ . Assim obtém-se

A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ frequência discreta periódica.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}}

, para

\mathrm {0\leq k\leq N-1} \

A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ de frequência discreta periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ discreta.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j(2\pi /N)k})\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(2\pi /N)k})\ e^{j(2\pi /N)kn}}

, para

\mathrm {0\leq n\leq N-1} \

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $\mathrm {x(n)} \$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $\mathrm {x(n)} \$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

Equação simplificada da TDF e TDFI

Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:

\mathrm {X(k)=X(e^{j(2\pi /N)k})} \

,

definir a frequência fundamental $\omega _{N}\$ como:

\omega _{N}=e^{-j2\pi /N}\

então

e^{-j(2\pi /N)k}=\omega _{N}^{k}\

Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo $z\$ .

Alguns valores de $\omega _{N}\$ que ajudam a lembrar as simplificações:

\omega _{1}=e^{-j2\pi }=+1\

\omega _{-1}=e^{j2\pi }=+1\

\omega _{2}=e^{-j\pi }=-1\

\omega _{-2}=e^{j\pi }=-1\

\omega _{4}=e^{-j\pi /2}=-j\

\omega _{-4}=e^{j\pi /2}=+j\

Também é importante lembrar que se $N\$ é múltiplo de $k\$ então:

\omega _{N}^{k}=e^{-j(2\pi /N)k}=e^{-j2\pi /(N/k)}=\omega _{N/k}\

Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:

Equação de análise: $\mathrm {X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\omega _{N}^{kn}}$ , para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$

Equação de síntese: $\mathrm {x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)\omega _{N}^{-kn}}$ , para $\mathrm {0\leq n\leq N-1} \$

Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a $\mathrm {N^{2}} \$ multiplicações e $\mathrm {N(N-1)} \$ somas, sendo portanto um algoritmo de $\mathrm {O(N^{2})} \$ .

Notação matricial de TDF e TDFI

Em notação matricial cada $X(k)\$ na TDF e $x(k)\$ na TDFI podem ser calculado como:

X(k)={\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0}&\omega _{N}^{k}&\omega _{N}^{2k}&...&\omega _{N}^{(N-1)k}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\x(2)\\\vdots \\x(N-1)\end{bmatrix}}

x(k)={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0}&\omega _{N}^{-k}&\omega _{N}^{-2k}&...&\omega _{N}^{-(N-1)k}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\X(2)\\\vdots \\X(N-1)\end{bmatrix}}

Porém como $\omega _{N}^{0}=1$ as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial:

Equação de análise: ${\begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\X(2)\\\vdots \\X(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&...&1\\1&\omega _{N}^{1}&\omega _{N}^{2}&...&\omega _{N}^{(N-1)}\\1&\omega _{N}^{2}&\omega _{N}^{4}&...&\omega _{N}^{2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega _{N}^{(N-1)}&\omega _{N}^{2(N-1)}&...&\omega _{N}^{(N-1)^{2}}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\x(2)\\\vdots \\x(N-1)\end{bmatrix}}$

Equação de síntese: ${\begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\x(2)\\\vdots \\x(N-1)\end{bmatrix}}={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&1&1&...&1\\1&\omega _{N}^{-1}&\omega _{N}^{-2}&...&\omega _{N}^{-(N-1)}\\1&\omega _{N}^{-2}&\omega _{N}^{-4}&...&\omega _{N}^{-2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega _{N}^{-(N-1)}&\omega _{N}^{-2(N-1)}&...&\omega _{N}^{-(N-1)^{2}}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\X(2)\\\vdots \\X(N-1)\end{bmatrix}}$

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento $N\$ necessita de $N^{2}\$ multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas. Em 1965, Cooley e Tukey propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de $\mathrm {O(N\times log_{2}N)} \$ . Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10. Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes.

Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo $x(n)\$ ou as frequencia $X(k)\$ .

Ver este e-book The DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis em OpenStax CNX, e também a wikipedia que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto.

Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington

The Discrete Fourier Transform (DFT)	Computing the DFT Matrix	The Fast Fourier Transform (FFT)	The Fast Fourier Transform Algorithm	What is a Fast Fourier Transform (FFT)?