Transformação Bilinear

1 Discretização de filtros analógicos

A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por

$s\leftarrow \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}.$

O mapeamento inverso $H_d(z)$ em $H_a(s)$ é feita por

é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência

$\ln (z)=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{2k+1}.$

Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de $z=e^{sT}$

Demonstração
$\begin{array}{rl}s& =\frac{1}{T}\ln (z)\\ & =\frac{2}{T}[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\frac{1}{7}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^7+\cdots ]\\ & \approx \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\\ & \approx \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\end{array}$

Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) $H_a(s)$ em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) $H_d(z)$, e vice-versa. O mapeamento da função $H_a(s)$ em $H_d(z)$ é feita por:

$H_d(z)=H_a(s){|}_{s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}=H_a\left(\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\right).$

O mapeamento inverso $H_d(z)$ em $H_a(s)$ é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição

$\begin{array}{rl}z& =e^{sT}\\ & \approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2}\end{array}$

Demonstração
$\begin{array}{rl}& z=e^{sT}\\ \text{foi visto que}\\ & s\approx \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\\ \text{então rearranjando z}\\ & sT/2(z+1)\approx (z-1)\\ & (sT/2)z+sT/2\approx z-1\\ & 1+sT/2\approx z(1-sT/2)\\ \text{portanto}\\ & z\approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2}\end{array}$

2 Empenamento de frequência (frequency warping)

Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência $H_a(s)$ é avaliada em $s=j{\omega }_a$, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário $j\omega$. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência $H_d(z)$ é avaliada em $z=e^{j{\omega }_{d}T}$, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois $z=e^{j{\omega }_{d}T}$ possui magnitude constante $|z|=1$.

A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado ${\omega }_d$ deve ser projetada no filtro analógico ${\omega }_a$. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de $z=e^{j{\omega }_{d}T}$ na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.

$H_d(z)=H_a\left(\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\right)$

$H_d(e^{j{\omega }_{d}T})=H_a(j\frac{2}{T}\cdot \tan ({\omega }_{d}T/2))=H_a(j{\omega }_a)$

Demonstração

Considere que: $\begin{array}{r}2\cos \omega =e^{j\omega }+e^{-j\omega },\\ 2j\sin \omega =e^{j\omega }-e^{-j\omega }.\end{array}$ e que $\tan \omega =\frac{\sin \omega }{\cos \omega }$, e $1=e^{\omega }{e}^{-\omega }$ É possível mostrar que: $H_d(e^{j{\omega }_{d}T})$ $=H_a\left(\frac{2}{T}\frac{e^{j{\omega }_{d}T}-1}{e^{j{\omega }_{d}T}+1}\right)$ $H_d(e^{j{\omega }_{d}T})$ $=H_a\left(\frac{2}{T}\frac{e^{j{\omega }_{d}T/2}{e}^{j{\omega }_{d}T/2}-e^{j{\omega }_{d}T/2}{e}^{-j{\omega }_{d}T/2}}{e^{j{\omega }_{d}T/2}{e}^{j{\omega }_{d}T/2}+e^{j{\omega }_{d}T/2}{e}^{-j{\omega }_{d}T/2}}\right)$ $=H_a(\frac{2}{T}\cdot \frac{e^{j{\omega }_{d}T/2}(e^{j{\omega }_{d}T/2}-e^{-j{\omega }_{d}T/2})}{e^{j{\omega }_{d}T/2}(e^{j{\omega }_{d}T/2}+e^{-j{\omega }_{d}T/2})})$ $=H_a(\frac{2}{T}\cdot \frac{(e^{j{\omega }_{d}T/2}-e^{-j{\omega }_{d}T/2})}{(e^{j{\omega }_{d}T/2}+e^{-j{\omega }_{d}T/2})})$ $=H_a(\frac{2}{T}\cdot \frac{2j\sin ({\omega }_{d}T/2)}{2\cos ({\omega }_{d}T/2)})$ $=H_a(j\frac{2}{T}\cdot \tan ({\omega }_{d}T/2))$ $=H_a(j{\omega }_a)$, onde ${\omega }_a=\frac{2}{T}\tan \left({\omega }_d\frac{T}{2}\right)$

Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:

${\omega }_a=\frac{2}{T}\tan \left({\omega }_d\frac{T}{2}\right)$

Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico

$-\mathrm{\infty }<{\omega }_a<+\mathrm{\infty }$

é mapeada no filtro digital no intervalo limitado

$-\frac{\pi }{T}<{\omega }_d<+\frac{\pi }{T}.$

Figura - Empenamento de frequencia resultado da transformada Bilinear, para T = 1

3 FONTES

• Continuous-Discrete Conversion Methods Tustin Approximation Mathworks