Transformação Bilinear

Discretização de filtros analógicos

A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por

$s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.$

O mapeamento inverso $H_{d}(z)\$ em $H_{a}(s)\$ é feita por

é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência

$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$

Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de $z=e^{sT}\$

Demonstração
${\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}$

Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) $H_{a}(s)\$ em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) $H_{d}(z)\$, e vice-versa. O mapeamento da função $H_{a}(s)\$ em $H_{d}(z)\$ é feita por:

$H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\$

O mapeamento inverso $H_{d}(z)\$ em $H_{a}(s)\$ é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição

${\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}$

Demonstração
${\begin{aligned}&z=e^{sT}\\{\text{foi visto que}}\\&s\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\{\text{então rearranjando z}}\\&sT/2(z+1)\approx (z-1)\\&(sT/2)z+sT/2\approx z-1\\&1+sT/2\approx z(1-sT/2)\\{\text{portanto}}\\&z\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}$

Empenamento de frequência (frequency warping)

Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência $H_{a}(s)$ é avaliada em $s=j\omega _{a}$, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário $j\omega$. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência $H_{d}(z)$ é avaliada em $z=e^{j\omega _{d}T}$, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois $z=e^{j\omega _{d}T}$ possui magnitude constante $|z|=1$.

A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado $\omega _{d}$ deve ser projetada no filtro analógico $\omega _{a}$. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de $z=e^{j\omega _{d}T}\$ na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.

$H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)$

$H_{d}(e^{j\omega _{d}T})=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)=H_{a}(j\omega _{a})$

Demonstração

Considere que: ${\begin{aligned}2\cos \omega =e^{j\omega }+e^{-j\omega },\\2j\sin \omega =e^{j\omega }-e^{-j\omega }.\end{aligned}}$ e que $\tan \omega ={\frac {\sin \omega }{\cos \omega }}$, e $1=e^{\omega }e^{-\omega }\$ É possível mostrar que: $H_{d}(e^{j\omega _{d}T})$ $=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega _{d}T}-1}{e^{j\omega _{d}T}+1}}\right)$ $H_{d}(e^{j\omega _{d}T})$ $=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega _{d}T/2}e^{j\omega _{d}T/2}-e^{j\omega _{d}T/2}e^{-j\omega _{d}T/2}}{e^{j\omega _{d}T/2}e^{j\omega _{d}T/2}+e^{j\omega _{d}T/2}e^{-j\omega _{d}T/2}}}\right)$ $=H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)$ $=H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)$ $=H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {2j\sin(\omega _{d}T/2)}{2\cos(\omega _{d}T/2)}}\right)$ $=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)$ $=H_{a}(j\omega _{a})$, onde $\omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)$

Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:

$\omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)$

Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico

$-\infty <\omega _{a}<+\infty \$

é mapeada no filtro digital no intervalo limitado

$-{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.$

Figura - Empenamento de frequencia resultado da transformada Bilinear, para T = 1

FONTES

• Continuous-Discrete Conversion Methods Tustin Approximation Mathworks