1 Base teórica

A função de transferência do filtro analógico

H_{a} (s) = \frac{c_{0} + c_{1} s + c_{2} s^{2} + . . . + c_{m} s^{m}}{d_{0} + d_{1} s + d_{2} s^{2} + . . . + d_{n} s^{n}}

onde

m \leq n

pode ser expandida em frações parciais, considerando $p_{k}$ os polos não múltiplos de $H_{a} (s)$ :

H_{a} (s) = \sum_{k = 1}^{K} (\frac{r_{k}}{s - p_{k}})

dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente

\frac{1}{s - α} ⟷ e^{α t} \cdot u (t)

a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:

$\frac{r_{k}}{s - p_{k}} ⟷ r_{k} e^{p_{k} t} \cdot u (t)$

e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por

h_{a} (t) = \sum_{k = 1}^{K} (r_{k} e^{p_{k} t} \cdot) u (t)

Amostrando $h_{a} (t)$ periodicamente em um período $T$ , é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.

h_{d} (n) = h_{a} (n T) = \sum_{k = 1}^{K} (r_{k} e^{p_{k} n T} \cdot) u (n T)

Considerando o par de transformada Z

a^{n} \cdot u [n] ⟷ \frac{1}{1 - a z^{- 1}}

ou

a^{n} \cdot u [n] ⟷ \frac{z}{z - a}

considerando

a = e^{p_{k} T}

obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de : $z = e^{s T}$

H_{d} (z) = \sum_{k = 1}^{K} r_{k} \frac{1}{1 - e^{p_{k} T} z^{- 1}}

ou

H_{d} (z) = \sum_{k = 1}^{K} r_{k} \frac{z}{z - e^{p_{k} T}}

Portanto cada polo $p_{k}$ do filtro analógico é transformado em um polo $a = e^{p_{k} T}$ no filtro digital

2 Método de transformação digital

O método de transformação do filtro analógico em digital consiste básica de:

1) fazer a expansão em frações parciais da função de transferência

H_{a} (s)

2) calcular os polos

e^{p_{k} T}

da função de transferência

H_{d} (z)

3) obter a divisão de polinômios para

H_{d} (z) = \frac{n u m (z)}{d e n (z)}

, para obter os coeficientes do filtro digital.

Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing de frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.
A dedução acima considerou apenas polos não múltiplos, e necessita de pequenos ajustes no caso da existência de polos múltiplos (situação raramente encontrada em filtros analógicos).