Mudanças entre as edições de "PSD29007-Engtelecom(2020-2) - Prof. Marcos Moecke"
(→ATUAL) |
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(62 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas) | |||
Linha 1: | Linha 1: | ||
− | ===Unidade 1=== | + | ===Unidade 1 - Introdução=== |
− | {{collapse top | Unidade 1}} | + | {{collapse top | Unidade 1 - Introdução}} |
;Aula 1 (10 nov): | ;Aula 1 (10 nov): | ||
*[[PSD-EngTel (Plano de Ensino) | APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA]] | *[[PSD-EngTel (Plano de Ensino) | APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA]] | ||
Linha 386: | Linha 386: | ||
===Unidade 2 - Filtros IIR=== | ===Unidade 2 - Filtros IIR=== | ||
− | {{collapse top | + | {{collapse top | Unidade 2 - Filtros IIR}} |
;Aula 8 (3 dez): | ;Aula 8 (3 dez): | ||
;Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos: | ;Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos: | ||
Linha 636: | Linha 636: | ||
:*Ver pag. 186 a 204 de <ref name="SHENOI2006"> SHENOI, B. A. '''Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design'''. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822 </ref> | :*Ver pag. 186 a 204 de <ref name="SHENOI2006"> SHENOI, B. A. '''Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design'''. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822 </ref> | ||
− | |||
;Aula 12 (17 dez): | ;Aula 12 (17 dez): | ||
Linha 715: | Linha 714: | ||
::<math>\left | H( 1 ) \right | ^2 = \frac {1}{1+\epsilon^2} </math>, onde <math> 20 log10 (\left | H( 1 ) \right |) = A_p (dB) </math> | ::<math>\left | H( 1 ) \right | ^2 = \frac {1}{1+\epsilon^2} </math>, onde <math> 20 log10 (\left | H( 1 ) \right |) = A_p (dB) </math> | ||
+ | |||
+ | ;Aula 13 (22 dez): | ||
; Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS: | ; Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS: | ||
Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP. | Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP. | ||
Linha 727: | Linha 728: | ||
:*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-faixa (<math> \omega_0 </math> e <math> B </math>) | :*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-faixa (<math> \omega_0 </math> e <math> B </math>) | ||
− | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg|\frac{-\omega_s^2 + \omega_0^2} {B \omega_s}\Bigg|</math> | + | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg|\frac{-\omega_s^2 + \omega_0^2} {B \ \omega_s}\Bigg|</math> |
− | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac{s^2 + \omega_0^2} {B s}</math> | + | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac{s^2 + \omega_0^2} {B \ s}</math> |
:: onde <math> B = \omega_{p2} - \omega_{p1}</math> e <math> \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}</math> | :: onde <math> B = \omega_{p2} - \omega_{p1}</math> e <math> \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}</math> | ||
:*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> rejeita-faixa (<math> \omega_0 </math> e <math> B </math>) | :*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> rejeita-faixa (<math> \omega_0 </math> e <math> B </math>) | ||
− | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg| \frac {B \omega_s} {-\omega_s^2 + \omega_0^2}\Bigg|</math> | + | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg| \frac {B \ \omega_s} {-\omega_s^2 + \omega_0^2}\Bigg|</math> |
− | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac {B s} {s^2 + \omega_0^2}</math> | + | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac {B \ s} {s^2 + \omega_0^2}</math> |
:: onde <math> B = \omega_{p2} - \omega_{p1}</math> e <math> \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}</math> | :: onde <math> B = \omega_{p2} - \omega_{p1}</math> e <math> \omega_0 = \sqrt{\omega_{p2} \omega_{p1}}</math> | ||
Linha 772: | Linha 773: | ||
*Plote o gráfico de <math> |Hp(p)| </math> e <math> |Hs(s)| </math>, indicando a máscara de especificação do filtro. | *Plote o gráfico de <math> |Hp(p)| </math> e <math> |Hs(s)| </math>, indicando a máscara de especificação do filtro. | ||
{{collapse bottom}} | {{collapse bottom}} | ||
+ | ;Recesso de Natal, Ano Novo e férias: | ||
+ | *Retorno as aulas em 02/02/2021 | ||
− | + | ;Aula 14 (2 fev) | |
− | ;Aula | ||
− | |||
* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/buttord.html buttord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/butter.html butter], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb1ord.html cheb1ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby1.html cheby1], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb2ord.html cheb2ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby2.html cheby2], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellipord.html ellipord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellip.html ellip] para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro ''''s''''). | * Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/buttord.html buttord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/butter.html butter], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb1ord.html cheb1ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby1.html cheby1], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb2ord.html cheb2ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby2.html cheby2], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellipord.html ellipord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellip.html ellip] para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro ''''s''''). | ||
Linha 812: | Linha 813: | ||
*'''[n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'''') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite. | *'''[n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'''') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite. | ||
− | *'''[b,a] = ellip(n,Rp,Rs, | + | *'''[b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype, 's'''') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog elliptic filter with passband edge angular frequency Wp, Rp decibels of passband ripple, and Rs decibels of stopband attenuation. |
*Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n. | *Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n. | ||
Linha 819: | Linha 820: | ||
:* Ver também [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/comparison-of-analog-iir-lowpass-filters.html Comparison of Analog IIR Lowpass Filters]. | :* Ver também [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/comparison-of-analog-iir-lowpass-filters.html Comparison of Analog IIR Lowpass Filters]. | ||
:* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/freqs.html freqs], [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/zplane.html zplane] na análise da resposta em frequência de filtros analógicos. | :* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/freqs.html freqs], [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/zplane.html zplane] na análise da resposta em frequência de filtros analógicos. | ||
− | : | + | |
− | * Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab. | + | :* Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab. |
<syntaxhighlight lang=matlab> | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab | %% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab | ||
Linha 844: | Linha 845: | ||
</syntaxhighlight> | </syntaxhighlight> | ||
:*Ver pag. 204 a 208 de <ref name="SHENOI2006"/> | :*Ver pag. 204 a 208 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
− | |||
− | |||
*Exemplos de Filtros Analógicos: | *Exemplos de Filtros Analógicos: | ||
Linha 862: | Linha 861: | ||
:*Ver em [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/iir-filter-design.html IIR Filter Design], [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/special-topics-in-iir-filter-design.html Special Topics in IIR Filter Design]. | :*Ver em [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/iir-filter-design.html IIR Filter Design], [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/special-topics-in-iir-filter-design.html Special Topics in IIR Filter Design]. | ||
:*Ver pag. 208 a 218 de <ref name="SHENOI2006"/> | :*Ver pag. 208 a 218 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
− | + | ||
− | ;Aula | + | ;Aula 15 e 16 (4 e 9 fev): |
*Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto | *Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto | ||
Linha 880: | Linha 879: | ||
:*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-faixa (<math> \lambda_0 </math> e <math> B </math>) | :*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-faixa (<math> \lambda_0 </math> e <math> B </math>) | ||
− | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac{s^2 + \lambda_0^2} {B s}</math> | + | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac{s^2 + \lambda_0^2} {B \ s}</math> |
− | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg|\frac{-\lambda_s^2 + \lambda_0^2} {B \lambda_s}\Bigg|</math> | + | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg|\frac{-\lambda_s^2 + \lambda_0^2} {B \ \lambda_s}\Bigg|</math> |
:: onde <math> B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}</math> e <math> \lambda_0 = \sqrt{\lambda_{p2} \lambda_{p1}}</math> | :: onde <math> B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}</math> e <math> \lambda_0 = \sqrt{\lambda_{p2} \lambda_{p1}}</math> | ||
:*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> rejeita-faixa (<math> \lambda_0 </math> e <math> B </math>) | :*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> rejeita-faixa (<math> \lambda_0 </math> e <math> B </math>) | ||
− | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac {B s} {s^2 + \lambda_0^2}</math> | + | ::*Substituição de variáveis <math> p = \frac {B \ s} {s^2 + \lambda_0^2}</math> |
− | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg| \frac {B \lambda_s} {-\lambda_s^2 + \lambda_0^2}\Bigg|</math> | + | ::*Cálculo do protótipo com <math> \Omega_s = \Bigg| \frac {B \ \lambda_s} {-\lambda_s^2 + \lambda_0^2}\Bigg|</math> |
:: onde <math> B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}</math> e <math> \lambda_0 = \sqrt{\lambda_{p2} \lambda_{p1}}</math> | :: onde <math> B = \lambda_{p2} - \lambda_{p1}</math> e <math> \lambda_0 = \sqrt{\lambda_{p2} \lambda_{p1}}</math> | ||
::*Ver as funções de discretização usadas no Matlab: [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/bilinear.html bilinear], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/impinvar.html impinvar] | ::*Ver as funções de discretização usadas no Matlab: [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/bilinear.html bilinear], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/impinvar.html impinvar] | ||
Linha 950: | Linha 949: | ||
*Obtida a função de transferência <math> Hs(s) = N(s)/D(s)</math> obtenha a resposta em frequência, substituindo <math>s=j*\omega</math> | *Obtida a função de transferência <math> Hs(s) = N(s)/D(s)</math> obtenha a resposta em frequência, substituindo <math>s=j*\omega</math> | ||
− | *Determinação de <math> Hz(z) </math> substituindo <math>s=2\frac{ | + | *Determinação de <math> Hz(z) </math> substituindo <math>s=2\frac{z - 1}{z + 1}</math>, onde <math> fa = 1 </math> |
*Plote o gráfico de <math> |Hp(p)| </math>, <math> |Hs(s)| </math> e <math> |Hz(z)| </math>, indicando a máscara de especificação do filtro. | *Plote o gráfico de <math> |Hp(p)| </math>, <math> |Hs(s)| </math> e <math> |Hz(z)| </math>, indicando a máscara de especificação do filtro. | ||
Linha 956: | Linha 955: | ||
{{collapse bottom}} | {{collapse bottom}} | ||
− | + | ;Aula 17 (11 fev): | |
− | ;Aula | ||
:* Ver em [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/iir-filter-design.html IIR Filter Design] | :* Ver em [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/iir-filter-design.html IIR Filter Design] | ||
:* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/buttord.html buttord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/butter.html butter], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb1ord.html cheb1ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby1.html cheby1], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb2ord.html cheb2ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby2.html cheby2], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellipord.html ellipord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellip.html ellip] para o projeto de filtros IIR digitais (sem o parâmetro ''''s''''). | :* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/buttord.html buttord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/butter.html butter], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb1ord.html cheb1ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby1.html cheby1], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheb2ord.html cheb2ord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cheby2.html cheby2], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellipord.html ellipord], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/ellip.html ellip] para o projeto de filtros IIR digitais (sem o parâmetro ''''s''''). | ||
Linha 1 002: | Linha 1 000: | ||
pretty(vpa(H(z),3)) | pretty(vpa(H(z),3)) | ||
</syntaxhighlight> | </syntaxhighlight> | ||
− | --> | + | |
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ===Unidade 3 - Filtros FIR=== | ||
+ | {{collapse_top | Unidade 3 - Filtros FIR}} | ||
+ | ;Aula 18 (18 fev): | ||
+ | *FIR - Conceitos gerais | ||
+ | |||
+ | A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + ... + b_N z^N \\ | ||
+ | &= \sum_{i=0}^{N} b_i \cdot z^i | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z^{-1}) &= b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + ... + b_N z^{-N} \\ | ||
+ | &= \sum_{i=0}^{N} b_i \cdot z^{-i} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | filtro FIR causal de ordem n mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | y[n] &= b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_N x[n-N] \\ | ||
+ | &= \sum_{i=0}^{N} b_i\cdot x[n-i], | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Pode-se notar que a saída <math> y[n] </math> do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas <math> x[n] </math> | ||
+ | |||
+ | A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo a estrutura: | ||
+ | |||
+ | <center>[[Arquivo:FIR_Filter.svg| 600px]] </center> | ||
+ | |||
+ | A determinação da resposta ao impulso <math> h[n] </math> do filtro pode ser feita substituindo a entrada <math> x[n] </math> por <math>\delta[n] </math>. O resultado é <math> h[n] = b[n] </math>, e portanto a resposta ao impulso tem duração igual ao número de coeficientes N+1 (onde N é a ordem do filtro). Esse é o motivo pelo qual o filtro tem o nome de filtro de resposta ao impulso finita (FIR - Finite Impulse Response). O filtro também recebe nomes como filtro transversal, Filtro não recursivo, filtro de média móvel, e tapped delay filter (torneira com atrasos?). | ||
+ | |||
+ | A função de transferência também pode ser descrita como: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z^{-1}) &= h_0 + h_1 z^{-1} + h_2 z^{-2} + ... + h_N z^{-N} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Algumas vantagens que os filtros FIR tem sobre os IIR: | ||
+ | |||
+ | 1. É possível projetar FIR com '''fase linear''', ou seja '''atraso de grupo constante'''. Esses filtros são desejáveis na transmissão de sinais digitais. | ||
+ | ::O atraso de grupo é definido como as <math> \tau =-\frac{d\theta}{dw} </math>, onde <math> \theta </math> é a resposta de fase do filtro. | ||
+ | |||
+ | 2. As amostras da resposta ao impulso <math> h[n] </math> são os coeficientes do filtros <math> b[n] </math>, e portanto não precisam ser calculadas. | ||
+ | |||
+ | 3. Os FIR '''são sempre estáveis''' pois tem todos os polos na origem. Também é consequência de não ter realimentação. Por isso também não tem ciclo limite que surge nos filtros IIR como resultado da resposta ao impulso de duração infinita associada a representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits. | ||
+ | |||
+ | 4. O efeito da '''representação dos coeficientes''' e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits, na resposta de frequência e resposta no domínio do tempo é menor que nos IIR. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Os filtro FIR podem ter fase linear ou não ter fase linear. | ||
+ | :*Filtros de fase linear: simétricos e antissimétricos (Tipo 1, 2, 3 e 4) | ||
+ | :*Filtros de fase não linear: são todos que não se enquadram em um dos 4 tipos acima. | ||
+ | |||
+ | Os filtros de fase linear possuem algumas propriedades (respostas em frequência possíveis, distribuição dos zeros em simetria quadrantal), conforme é mostrado a seguir. | ||
+ | |||
+ | * Inicialmente observe em exemplos as propriedades dos FIR tipo 1, 2, 3 e 4. Observe a resposta de frequência, fase, atraso de grupo, coeficientes e a simetria dos zeros em relação ao circulo unitário no diagrama de polos e zeros dos filtros abaixo. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | N = 10; | ||
+ | bi = 2*(rand(1,N)-0.5) | ||
+ | %% Tipo I - LP, HP, BS, BP | ||
+ | b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)]; | ||
+ | fvtool(b,1); | ||
+ | %% Tipo II - LP, BP | ||
+ | % tem um zero em -1 | ||
+ | b = [bi flip(bi)]; | ||
+ | fvtool(b,1); | ||
+ | |||
+ | %% Tipo III - BP | ||
+ | % tem um zero em 1 e -1 | ||
+ | b = [bi 0 -flip(bi)]; | ||
+ | fvtool(b,1); | ||
+ | |||
+ | %% Tipo IV - BP, HP | ||
+ | % tem um zero em 1 | ||
+ | b = [bi -flip(bi)]; | ||
+ | fvtool(b,1); | ||
+ | |||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:FIR_tipo1.png | 800px]] | ||
+ | <br> | ||
+ | Figura 1 - Propriedades do filtro FIR de fase linear (Tipo 1) | ||
+ | </center> | ||
+ | *Ver também [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/fvtool.html fvtool], [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/Controlling-FVTool-from-the-command-line.html Controlling FVTool from the MATLAB Command Line] e [https://www.mathworks.com/help/signal/examples/filter-analysis-using-fvtool.html Filter Analysis using FVTool]. | ||
+ | |||
+ | ;Aula 19 (23 fev): | ||
+ | FIR - Filtros de fase linear | ||
+ | |||
+ | *'''FIR tipo I:''' | ||
+ | Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem par (N=6) | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} + h_6z^{-6} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Se ele apresenta simetria dos coeficientes <math>h_0 = h_6</math>, <math>h_1 = h_5</math> e <math>h_2 = h_4</math>, temos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_2z^{-4}+ h_1z^{-5} + h_0z^{-6} \\ | ||
+ | &= h_0(1+z^{-6}) + h_1(z^{-1}+z^{-5}) + h_2(z^{-2} + z^{-4}) + h_3z^{-3} \\ | ||
+ | &= (h_0(z^{+3}+z^{-3}) + h_1(z^{+2}+z^{-2}) + h_2(z^{+1} + z^{-1}) + h_3)z^{-3} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Para obter a resposta em frequência <math> H (e^{-jw}) </math>, substituímos <math> z = e^{jw} </math>. | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+3jw}+e^{-3jw}) + h_1(e^{+2jw}+e^{-2jw}) + h_2(e^{+1jw} + e^{-1jw}) + h_3)e^{-3jw} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Aplicando a identidade <math> 2 cos(nw) = e^{+jnw}+e^{-jnw} </math>, obtemos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (h_0 2 cos(3w) + h_1 2 cos(2w) + h_2 2 cos(1w) + h_3)e^{-3jw}\\ | ||
+ | &= H_R(w) e^{j \theta (w)} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real <math> H_R(w)</math>, e uma fase linear igual a <math> \theta (w) = -3w </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 3 </math>, que é a metade da ordem N do filtro. | ||
+ | Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem par: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= \left [ 2 \sum_{n=1}^{N/2} h \left ( \frac{N}{2}-n \right ) cos(nw)+ h\left ( \frac{N}{2} \right ) \right ]e^{-j(N/2)w} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | Na qual se percebe que a fase linear é igual a <math> \theta (w) = -\frac{N}{2} w </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} </math>, '''metade da ordem N do filtro'''. | ||
+ | |||
+ | *'''FIR tipo II:''' | ||
+ | |||
+ | Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem impar (N=5) | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Se ele apresenta simetria dos coeficientes <math>h_0 = h_5</math>, <math>h_1 = h_4</math> e <math>h_2 = h_3</math>, temos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_2z^{-3} + h_1z^{-4}+ h_0z^{-5} \\ | ||
+ | &= h_0(1+z^{-5}) + h_1(z^{-1}+z^{-4}) + h_2(z^{-2} + z^{-3}) \\ | ||
+ | &= (h_0(z^{+2.5}+z^{-2.5}) + h_1(z^{+1.5}+z^{-1.5}) + h_2(z^{+0.5} + z^{-0.5}))z^{-2.5} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Para obter a resposta em frequência: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+2.5jw}+e^{-2.5jw}) + h_1(e^{+1.5jw}+e^{-1.5jw}) + h_2(e^{+0.5jw} + e^{-0.5jw}))e^{-2.5jw} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Aplicando a identidade <math> 2 cos(nw) = e^{+jnw}+e^{-jnw} </math>, obtemos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (2 h_0 cos(2.5w) + 2 h_1 cos(1.5w) + 2 h_2 cos(0.5w))e^{-2.5jw}\\ | ||
+ | &= H_R(w) e^{j \theta (w)} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real <math> H_R(w)</math>, e uma fase linear igual a <math> \theta (w) = -2.5w </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 2.5 </math>, que é a metade da ordem N do filtro. | ||
+ | Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem impar: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= \left [ 2 \sum_{n=1}^{(N+1)/2} h \left ( \frac{N+1}{2}-n \right ) cos \left ( \left ( n- \frac{1}{2} \right ) w \right ) \right ]e^{-j(N/2)w} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Na qual se percebe que a fase linear é igual a <math> \theta (w) = -\frac{N}{2} w </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} </math>, '''metade da ordem N do filtro'''. | ||
+ | |||
+ | *'''FIR tipo III:''' | ||
+ | |||
+ | Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem par (N=6) | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} + h_6z^{-6} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Se ele apresenta simetria dos coeficientes <math>h_0 = -h_6</math>, <math>h_1 = -h_5</math>, <math>h_2 = -h_4</math> e <math>h_3 = 0</math>, temos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} - h_2z^{-4} - h_1z^{-5} - h_0z^{-6} \\ | ||
+ | &= h_0(1-z^{-6}) + h_1(z^{-1}-z^{-5}) + h_2(z^{-2}-z^{-4}) \\ | ||
+ | &= (h_0(z^{+3}-z^{-3}) + h_1(z^{+2}-z^{-2}) + h_2(z^{+1}-z^{-1}))z^{-3} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Para obter a resposta em frequência <math> H (e^{-jw}) </math>, substituímos <math> z = e^{jw} </math>. | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+3jw}-e^{-3jw}) + h_1(e^{+2jw}-e^{-2jw}) + h_2(e^{+1jw}-e^{-1jw}))e^{-3jw} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Aplicando a identidade <math> 2j sin(nw) = e^{+jnw}-e^{-jnw} </math>, e que <math> j = e^{j\pi/2} </math> obtemos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= 2j (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-3jw}\\ | ||
+ | &= 2 (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-j3w} e^{j\pi/2}\\ | ||
+ | &= 2 (h_0 sin(3w) + h_1 sin(2w) + h_2 sin(1w))e^{-j(3w - \pi/2)} \\ | ||
+ | &= H_R(w) e^{j (\theta (w))} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real <math> H_R(w)</math>, e uma fase linear igual a <math> \theta (w) = -(3w - \pi/2) </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 3 </math>, que é a metade da ordem N do filtro. | ||
+ | Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem par: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) = \left [ 2 \sum_{n=1}^{N/2} h \left ( \frac{N}{2}-n \right ) sin(nw) \right ]e^{-j(Nw - \pi)/2} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Na qual se percebe que a fase linear é igual a <math> \theta (w) = -\frac{N}{2} w + \pi /2 </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} </math>, '''metade da ordem N do filtro'''. | ||
+ | |||
+ | *'''FIR tipo IV:''' | ||
+ | |||
+ | Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem impar (N=5) | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} + h_3z^{-3} + h_4z^{-4}+ h_5z^{-5} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Se ele apresenta simetria dos coeficientes <math>h_0 = -h_5</math>, <math>h_1 = -h_4</math> e <math>h_2 = -h_3</math>, temos que: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (z^{-1}) &= h_0 + h_1z^{-1} + h_2z^{-2} - h_2z^{-3} - h_1z^{-4} - h_0z^{-5} \\ | ||
+ | &= h_0(1-z^{-5}) + h_1(z^{-1}-z^{-4}) + h_2(z^{-2}-z^{-3}) \\ | ||
+ | &= (h_0(z^{+2.5}-z^{-2.5}) + h_1(z^{+1.5}-z^{-1.5}) + h_2(z^{+0.5}-z^{-0.5}))z^{-2.5} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Para obter a resposta em frequência: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= (h_0(e^{+2.5jw}-e^{-2.5jw}) + h_1(e^{+1.5jw}-e^{-1.5jw}) + h_2(e^{+0.5jw}-e^{-0.5jw}))e^{-2.5jw} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | E portanto | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= 2 j (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-2.5jw}\\ | ||
+ | &= 2 (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-2.5jw} e^{j\pi / 2}\\ | ||
+ | &= 2 (h_0 sin(2.5w) + h_1 sin(1.5w) + h_2 sin(0.5w))e^{-j(2.5w - \pi / 2)}\\ | ||
+ | &= H_R(w) e^{j \theta (w) } | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real <math> H_R(w)</math>, e uma fase linear igual a <math> \theta (w) = -(2.5w - \pi / 2) </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = 2.5 </math>, que é a metade da ordem N do filtro. | ||
+ | Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem impar: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H (e^{-jw}) &= \left [ 2 \sum_{n=1}^{(N+1)/2} h \left ( \frac{N+1}{2}-n \right ) sin \left ( \left ( n- \frac{1}{2} \right ) w \right ) \right ]e^{-j(Nw- \pi)/2)} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Na qual se percebe que a fase linear é igual a <math> \theta (w) = -(Nw- \pi)/2 </math>, e portanto o atraso de grupo é <math> \tau = -\frac{d \theta}{d w} = \frac{N}{2} </math>, '''metade da ordem N do filtro'''. | ||
+ | |||
+ | *'''Propriedades dos filtros FIR de fase linear''' | ||
+ | |||
+ | Como mostrado acima, os filtros que exibem simetria ou antissimetria em seus coeficientes (ou resposta ao impulso), apresentam fase linear (ou atraso de grupo constante). Também foi mostrado que o atraso de grupo é igual a N/2 onde N é a ordem do filtro. Foi demonstrado por Rabiner *** que apenas esses quatro tipos de filtro FIR possuem essa característica, portanto pode-se afirma que "Se e somente se o filtro FIR possui coeficientes simétrico ou antisimétricos ele possui fase linear". | ||
+ | |||
+ | Em relação a posição dos zeros, é possível verificar que cada zero sobre o circulo unitário produz uma resposta de magnitude nula na frequencia angular correspondente e um salto de fase de <math> \pi </math>. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | N = 5; | ||
+ | bi = 2*(rand(1,N)-0.5) | ||
+ | b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)]; | ||
+ | [h,w] = freqz(b,1,'whole'); | ||
+ | figure(1); | ||
+ | subplot(421); | ||
+ | plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid on; | ||
+ | xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('magnitude - dB'); | ||
+ | subplot(423); | ||
+ | plot(w/pi,angle(h)/pi); grid on; | ||
+ | xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi'); | ||
+ | subplot(425); | ||
+ | plot(w/pi,unwrap(angle(h))/pi); grid on; | ||
+ | xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi'); | ||
+ | subplot(427); grpdelay(b,1); | ||
+ | xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('atraso de grupo - amostras'); | ||
+ | subplot(4,2,[2,4,6,8]); zplane(b,1); | ||
+ | xlabel('real'); ylabel ('imaginario'); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | ;Aula 20 (25 fev): | ||
+ | |||
+ | Também devido a existência (ou não) de zeros em <math> z = 1 \equiv w = 0 </math> e <math> z = -1 \equiv w / \pi = 1 </math>, que corresponde a frequência de Nyquist <math> f_N = f_a/2 </math>, mostramos que a resposta de magnitude nessas frequencias é nula (ou não). Assim os tipos 1, 2, 3 e 4 de filtros FIR resultam em: | ||
+ | *Tipo 1: permite projetar filtros LP, HP, BP e BS. | ||
+ | *Tipo 2: (tem um zero em -1) permite projetar filtros LP e BP. | ||
+ | *Tipo 3: (tem um zero em 1 e -1) permite projetar filtros BP. | ||
+ | *Tipo 4: (tem um zero em 1) permite projetar filtros HP e BP. | ||
+ | |||
+ | Essa característica é importante conhecer antecipadamente pois implicará no número de coeficientes e na escolha do tipo de (anti)simetria. Por exemplo para filtro BS apenas o Tipo 1 pode ser usado. | ||
+ | |||
+ | Outra propriedade a ser destacada é em relação aos zeros do filtro. Em primeiro vamos analisar a consequencia da simetria nos coeficientes <math> h(n) = h(N-n) </math>: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= \sum_{n=0}^{N} h(n) \cdot z^{-n} \\ | ||
+ | &= \sum_{n=0}^{N} h(N-n) \cdot z^{-n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | fazendo na segunda equação N-n = m, temos que os limites n = 0 -> m = N, e n = N -> m = 0. | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= \sum_{m=0}^{N} h(m) \cdot z^{-N+m} \\ | ||
+ | &= z^{-N} \sum_{m=0}^{N} h(m) \cdot z^m | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) = z^{-N} H(z^{-1}) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Com a mesma análise para antissimetria nos coeficientes <math> h(n) = -h(N-n) </math>: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) = -z^{-N} H(z^{-1}) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Nessas duas equações é possível perceber que se <math> z = z_{-1} </math> é um zero então <math> 1/z </math> também será um zero de <math> H(z) </math>. No caso de zeros reais, se temos um zero <math> z = a </math> então <math> z = 1/a </math> também é um zero, exceto se <math> a = 1 </math> ou <math> a = -1 </math>. Por outro lado, se todos os coeficientes b(n) do filtro são reais, então os zeros complexos, aparecem em pares complexos conjugados <math> z_2 = r_2 \cdot e^{j\phi} </math> e <math> z_2^* = r_2 \cdot e^{-j\phi} </math>, e seus reciprocos <math> z_2 = 1/r_2 \cdot e^{j\phi} </math> e <math> z_2^* = 1/r_2 \cdot e^{-j\phi} </math> também são zeros de <math> H(z) </math>. Esse tipo de disposição dos zeros denominamos de '''simetria quadrantal'''. | ||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:QuadrantalSymmetry.png | 600px]] <br> | ||
+ | Figura 2 - Simetria quadrantal de filtros FIR de fase linear | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | FONTE: | ||
+ | :*pag. 251 a 261 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
+ | *[https://www.mathworks.com/help/signal/ref/firtype.html firtype] - Type of linear phase FIR filter - Mathwork | ||
+ | |||
+ | *'''Projeto de filtros FIR pelo método da série de Fourier:''' | ||
+ | |||
+ | Usando a representação dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, com frequências de corte <math> w_{ci} </math> e ganho unitário na banda de passagem e ganho zero na banda de rejeição, e considerando que a magnitude das respostas em frequência é uma função periódica em <math> 2 \pi </math>, e conhecendo as equações de síntese e análise de um sinal (ou sistema) | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(e^{jw}) &= \sum_{n= -\infty }^{\infty}c(n)e^{-jnw} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | onde | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c(n) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H(e^{jw})e^{jnw} \mathrm{d} w | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | É possível coeficientes da série de Fourier de filtros ideais: LP, HP, BP, BS | ||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:MagnitudeResponseIdealFilter.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 3 - Magnitude da resposta em frequência de filtros | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ;Passa-baixas (''Low-pass''): | ||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:LPLinearPhaseFilter.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 4 - Resposta em frequência de filtros LP de fase linear | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{LP}(n) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(e^{jw})e^{jnw} \mathrm{d} w \\ | ||
+ | &= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}e^{jnw} \mathrm{d} w \\ | ||
+ | &= \frac{1}{2\pi} \left ( \frac{e^{jnw}}{jn} \right ) \Biggr|_{-w_c}^{w_c} \\ | ||
+ | &= \frac{e^{jnw_c}-e^{-jnw_c}}{2j\pi n} \\ | ||
+ | &= \frac{sin(nw_c)}{\pi n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{LP}(n) &= \frac{w_c}{\pi}sinc(w_cn) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{LP}(n) &= \left \{ \begin{matrix} \frac{\omega_c}{\pi}; & \qquad n = 0 \\ \frac {\sin (\omega_c n)}{\pi n}; & \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | De modo semelhante é possível obter os coeficientes dos filtros HP, BP e BS. | ||
+ | ;Passa-altas (''High-pass''): | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{HP}(n) &= sinc(n)- \frac{w_c}{\pi}sinc(w_cn) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{HP}(n) &= \left \{ \begin{matrix} 1-\frac{\omega_c}{\pi}; \qquad n = 0 \\ -\frac {\sin (\omega_c n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | ;Passa-faixa (''Band-pass''): | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{BP}(n) &= \frac{1}{\pi}(w_{c2} sinc(w_{c2} n) - w_{c1} sinc(w_{c1} n)) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{BP}(n) = \left \{ \begin{matrix} \frac{\omega_{c2}-\omega_{c1}}{\pi}; \qquad n = 0 \\ \frac {\sin (\omega_{c2} n)- \sin (\omega_{c1} n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | ;Rejeita-banda (''Band-stop''): | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{BS}(n) &= sinc(n)- \frac{1}{\pi}(w_{c2} sinc(w_{c2} n) - w_{c1} sinc(w_{c1} n)) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | c_\text{BS}(n) = \left \{ \begin{matrix} 1-\frac{\omega_{c2}-\omega_{c1}}{\pi}; \qquad n = 0 \\ -\frac {\sin (\omega_{c2} n)- \sin (\omega_{c1} n)}{\pi n}; \qquad \left | n \right | > 0 \end{matrix}\right. | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | onde sabe-se que <math> sinc(n) = \delta(n) </math>, ou seja <math> sinc(n) = 1 </math> para <math> n = 0 </math> e <math> sinc(n) = 0 </math> para <math> n \neq 0 </math>. | ||
+ | |||
+ | :*Ver pag. 249 a 256 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
+ | ;Nota importante sobre o uso do Matlab: | ||
+ | Diferentemente do que se espera, a função '''sinc(x)''' é diferente de '''sin(x)/x''', sendo igual a '''sin(pi*x)/(pi*x)'''. Veja o help do próprio Matlab. | ||
+ | <pre> | ||
+ | |||
+ | sinc Sin(pi*x)/(pi*x) function. | ||
+ | sinc(X) returns a matrix whose elements are the sinc of the elements | ||
+ | of X, i.e. | ||
+ | y = sin(pi*x)/(pi*x) if x ~= 0 | ||
+ | = 1 if x == 0 | ||
+ | where x is an element of the input matrix and y is the resultant | ||
+ | output element. | ||
+ | |||
+ | % Example of a sinc function for a linearly spaced vector: | ||
+ | t = linspace(-5,5); | ||
+ | y = sinc(t); | ||
+ | plot(t,y); | ||
+ | xlabel('Time (sec)');ylabel('Amplitude'); title('Sinc Function') | ||
+ | |||
+ | See also square, sin, cos, chirp, diric, gauspuls, pulstran, rectpuls, | ||
+ | and tripuls. | ||
+ | |||
+ | Reference page in Help browser | ||
+ | doc sinc | ||
+ | </pre> | ||
+ | |||
+ | ;Aula 21 (2 mar): | ||
+ | *Filtros FIR com janelas fixas: | ||
+ | |||
+ | :*O uso da janela retangular no "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier, resulta no fenômeno de Gibbs na magnitude da resposta em frequência, conforme mostrado a seguir. | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | w(n) & = 1; \qquad -M \le n \le M \\ | ||
+ | & = 0; \qquad \left | n \right | \ge M | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Aplicando a equação de síntese da série obtemos: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | \Psi(e^{jw}) &= \sum_{n= -M }^{M}e^{-jnw} \\ | ||
+ | &= \frac{e^{-jMw}(e^{j(2M+1)w}-1)}{e^{jw}-1} \\ | ||
+ | &= \frac{e^{-jMw}(e^{j(2M+1)w/2}-e^{-j(2M+1)w/2})e^{j(2M+1)w/2}}{(e^{jw/2}-e^{-jw/2})e^{jw/2}} \\ | ||
+ | &= \frac{sin[(2M+1)w/2]}{sin(w/2)} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | Note que esta função <math> \Psi(e^{jw}) = \frac{sin[(2M+1)w/2]}{sin(w/2)} </math> tem um máximo <math> (2M+1) </math> em <math> w = 0 </math>, e cruza o zero em <math> (2M+1)w/2] = \pm \pi </math>, portanto a lagura do lóbulo central é de <math> 4\pi/(2M+1) </math>. Além disso percebe-se que se aumentamos o tamanho da janela retangular (2M+1), a largura do lóbulo central é reduzida proporcionalmente. | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:FuntionPsi.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 5 - função <math> \Psi(e^{jw}) </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Ao fazer o "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier da resposta em frequência do filtro ideal, estamos multiplicando a série de coeficientes pelo janela retangular <math> h(n) = w(n) \times C_{LP} </math>, conforme mostra a figura a seguir. | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:JanelaTemporalCLP.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 6 - Janelamento temporal (rectwin) dos coeficientes | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Essa multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma convolução no domínio da frequência. | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H_M(e^{j\omega}) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(e^{j\theta})\Psi(e^{j(\omega-\theta})\mathrm{d}\theta \\ | ||
+ | &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_{LP}(\theta)\Psi(\omega-\theta)\mathrm{d}\theta | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | A qual é mostrada graficamente na figura a seguir. | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:ConvoluçãoJanelaTemporalCLP.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 7 - Convolução da resposta do filtro ideal H_{LP} com a função <math> \Psi(e^{jw}) </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Arquivo:HwJanelaTemporalCLP.png | 800px]] <br> | ||
+ | Figura 8 - Aproximação da resposta de magnitude com janela retangular | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <math> </math> | ||
+ | |||
+ | :*Para reduzir o ripple devido ao corte dos coeficientes, são usadas as funções de janelamento temporal no projeto de filtros digitais. | ||
+ | |||
+ | :*Tipos de janelas temporais usadas no projeto de filtros digitais. | ||
+ | ::*Retangular | ||
+ | ::<math>w(n)=1; \qquad -M \le n \le M </math> | ||
+ | |||
+ | ::*Triangular | ||
+ | ::<math>w(n)= 1 - \frac{\left | n \right |}{M+1}; \qquad -M \le n \le M </math> | ||
+ | |||
+ | ::*Bartlett | ||
+ | ::<math>w(n)= 1 - \frac{\left | n \right |}{M}; \qquad -M \le n \le M </math> | ||
+ | |||
+ | ::*Hann | ||
+ | ::<math>w(n) = 0.5 + 0.5 \cos \left( \frac{2\pi n}{2M+1} \right), -M \le n \le M</math> | ||
+ | |||
+ | ::*Hamming | ||
+ | ::<math>w(n) = 0.54 + 0.46 \cos\left(\frac{2\pi n}{2M+1}\right); \qquad -M \le n \le M</math> | ||
+ | |||
+ | ::*Blackman | ||
+ | ::<math>w(n) = 0.42 + 0.5 \cos\left(\frac{2\pi n}{2M+1}\right) + 0.08\cos\left(\frac{4\pi n}{2M+1}\right); \qquad -M \le n \le M</math> | ||
+ | |||
+ | * em todas as janelas <math>w\left ( n \right ) = 0 </math> quando <math> \left | n \right | \ge M</math> | ||
+ | ::onde <math>M </math> é <math>N/2</math> para <math>N</math> par e <math>(N+1)/2</math> para <math>N</math> impar | ||
+ | *Uso de janelas fixas no Matlab : [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/rectwin.html rect], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/triang.html triang], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/bartlett.html bartlett], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/hann.html hann], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/hamming.html hamming], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/blackman.html blackman], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/blackmanharris.html blackmanharris], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/nuttallwin.html nuttall]. | ||
+ | ::ver também [http://mathworld.wolfram.com/ApodizationFunction.html apodization function] | ||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | L = 64; | ||
+ | wvtool(rectwin(L), triang(L), bartlett(L), hann(L), hamming(L), blackman(L), blackmanharris(L), nuttallwin(L)); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | {{collapse top| Exercício: Efeito do uso das janelas no filtro FIR}} | ||
+ | Escreva um código que implemente o cálculo dos coeficientes da série de Fourier dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, e aplique as janelas temporal '''Retangular''', '''Bartlett''', '''Hann''', '''Hamming''' e '''Blackman''', conforme equações acima. Verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude e fase da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso e a posição dos zeros no plano z. | ||
+ | * Use ''wc'' como a frequência de corte do filtro LP e HP, e ''wc1'' e ''wc2'' como frequências de corte dos filtros BS e BP | ||
+ | * Escolha uma ordem N para o filtro (valores entre 10 e 100 são normais) e depois verifique as mudanças que ocorrem com a variação de N. | ||
+ | * A resposta ao impulso ''h(n)'' dos filtros é dada pela multiplicação dos coeficientes da série de Fourier "C" pela janela temporal "w". Os coeficientes do filtro são obtidos fazendo ''b(n) = h(n) = C(n).*w(n)''. | ||
+ | * Dicas: | ||
+ | # Use multiplicação elemento a elemento do Matlab (.*), ver [https://www.mathworks.com/help/matlab/matlab_prog/array-vs-matrix-operations.html Array vs. Matrix Operations]. | ||
+ | # O número de coeficientes sempre será igual a (N+1)=(2M+1). | ||
+ | # O ''ripple'' na banda de rejeição é sempre proporcional ao ''ripple'' na banda passante (visualizar com a escala linear de magnitude). | ||
+ | # Use [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/fvtool.html fvtool] para visualizar os gráficos de um filtro digital H(z). Essa ferramenta não serve para filtros analógicos pois utiliza freqz e não freqs. | ||
+ | # Note que a banda de transição aumenta a medida que o ''ripple'' diminui. | ||
+ | # Note que o aumento da ordem do filtro reduz a banda de transição, mas "quase" não afeta a amplitude do ''ripple''. | ||
+ | # Varie o ''wc'' e veja o efeito no filtro. | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ;Aula 22 (4 mar) | ||
+ | |||
+ | Use o código abaixo e verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso, posição dos zeros no plano z, etc. | ||
+ | : No código o wc é a frequência de corte do filtro LP, N é a ordem do filtro, CLP é são os coeficientes da série de Fourier do filtro LP ideal multiplicados pela janela retangular, bRET, bHAM e bBLACK são os coeficientes dos filtros usando respectivamente as janelas retangular, Hamming e Blackman. | ||
+ | :Note que: | ||
+ | :1) O número de coeficientes sempre será igual a (N+1)=(2M+1). | ||
+ | :2) A função ylim([-0.1 0.1]) foi usada para destacar o ripple na banda passante. | ||
+ | :3) O ''ripple'' na banda de rejeição é sempre proporcional ao ''ripple'' na banda passante (visualizar com a escala linear de magnitude). | ||
+ | :4) A banda de transição aumenta a medida que o ''ripple'' diminui. | ||
+ | :5) O aumento da ordem do filtro reduz a banda de transição, mas "quase" não afeta a amplitude do ''ripple''. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | N = 32; | ||
+ | wc = 0.5; M = N/2; | ||
+ | CLP = wc*sinc(wc*(-M:M)); | ||
+ | bRET = CLP; | ||
+ | bHAM = CLP.*hamming(2*M+1)'; | ||
+ | bBLACK = CLP.*blackman(2*M+1)'; | ||
+ | fvtool(bRET,1,bHAM,1,bBLACK,1); | ||
+ | legend('rectwin', 'Hamming', 'Blackman'); | ||
+ | ylim([-0.1 0.1]) | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | :*Estudar no Matlab as funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/wvtool.html wvtool], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/window.html window] | ||
+ | :*Ver [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/windowdesigner-app.html Window Designer], Design and analyze spectral windows. | ||
+ | :*Ver [https://www.mathworks.com/help/signal/ug/fir-filter-design.html FIR Filter Design] | ||
+ | :*Ver pag. 263 a 268 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
+ | :*Ver este artigo de 1978 que compara diversas janelas temporais, aplicadas não a filtragem mas a análise de sinais. [https://ieeexplore-ieee-org.ez130.periodicos.capes.gov.br/document/1455106 F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform," in Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51-83, Jan. 1978, doi: 10.1109/PROC.1978.10837.] | ||
+ | :*Ver este artigo de 1978 que aplica janelas aos filtros FIR [https://ieeexplore-ieee-org.ez130.periodicos.capes.gov.br/document/1162092 L. Rabiner, B. Gold and C. McGonegal, "An approach to the approximation problem for nonrecursive digital filters," in IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, vol. 18, no. 2, pp. 83-106, June 1970, doi: 10.1109/TAU.1970.1162092.] | ||
+ | |||
+ | *Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais fixas. | ||
+ | |||
+ | * Exemplos de projeto | ||
+ | :* Projetar um filtro LP usando uma janela temporal fixa (verificar a janela que atende a especificação) | ||
+ | wp = 0.2*pi; Ap = 1 dB; Gp = 0 dB | ||
+ | ws = 0.4*pi; As = 40 dB; | ||
+ | ::* Para o projeto do filtro, o primeiro passo é escolher uma janela que atenda a atenuação na banda de passagem e na banda de rejeição. Em seguida é necessário determinar a ordem do filtro que atende a especificação de largura de banda de transição. Por último será necessário ajustar o valor de wc para que o filtro esteja dentro das especificações. | ||
+ | ::* Ao final do projeto, deverá ser informado o tipo de janela escolhida, a ordem do filtro, se é do tipo 1, 2, 3 ou 4, e o valor de ''wc''. | ||
+ | |||
+ | ;Aula 23 (9 mar) | ||
+ | Projetar um filtro HP usando uma janela temporal fixa (hamming, bartlett-hanning, hanning). | ||
+ | ws = 0.4*pi; Ap = 0.2 dB; Gp = 0 dB | ||
+ | wp = 0.6*pi; As = 50 dB; | ||
+ | |||
+ | Comparar os 3 tipos de janela, a ordem obtida, e o valor de ''wc'' em cada projeto. | ||
+ | |||
+ | * Para o projeto dos filtros LP FIR de janela fixa, uma possível solução para reduzir o número de passos é: | ||
+ | :* PASSO 1 - Escolher o tipo de janela de acordo com a atenuação do lóbulo lateral Asl e As. | ||
+ | :* PASSO 2 - Estimar a ordem N1 do filtro considerando os parâmetros Dw = |ws -wp| | ||
+ | :* PASSO 3 - Calcule os coeficientes ''clp'' do filtro LP considerando N1 e wc1 = |ws + wp|/2. Calcule os valores da janela ''win'' e obtenha a resposta ao impulso do filtro h = clp * win. | ||
+ | :* PASSO 4 - Verifique o valor medido de Dwm = wsm-wpm, e faça a correção da ordem do filtro em função do desvio constatado. N2 = N1*Dwm/Dw. | ||
+ | :* PASSO 5 - Refaça os cálculos dos coeficientes Clp do filtro ideal, da janela e da resposta ao impulso para a nova ordem N2. | ||
+ | :* Repita o PASSO 3 até 5, até obter um filtro com a menor ordem que atenda as especificações de Dw. | ||
+ | :* PASSO 6 - Desloque a frequência de corte wc de modo a ter a banda de transições posicionada corretamente entre <math> wp </math> e <math> ws </math>. <math> wc2 = wp + (wp-wAp) </math>. | ||
+ | :* PASSO 7 - Ajustar o ganho de topo do filtro <math> Glin = 10^{(G_{TopoMedido}-G_{TopoEspecificado}/20)} </math> | ||
+ | |||
+ | <center> Tabela - Estimativa da atenuação do lóbulo lateral <math>A_{sl}</math> da janela, atenuação do primeiro lóbulo lateral do filtro <math>A_{s}</math>, e largura da banda de transição <math>\Delta \omega</math>, para um filtro LP FIR de janela fixa. | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center; font-size:100%" bgcolor="#efefef" | ||
+ | ! scope="col" width=25% align="center"| Janela | ||
+ | ! scope="col" width=10% align="center"| <math>A_{sl}</math> | ||
+ | ! scope="col" width=10% align="center"| <math>A_{s}</math> | ||
+ | ! scope="col" width=10% align="center"| <math>\Delta \omega</math> | ||
+ | {{tabFIRwindow | Retangular | 13.3| 20.33 | 0.92<math>\pi</math>/N }} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Triangular | 26.6| 27.41 | }} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Bartlett | 26.5| 27.48 | }} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Hann | 31.5| 44.03 | 3.11<math>\pi</math>/N}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Bartlett-Hanning | 35.9| 40.77| }} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Hamming | 42.5| 54.08 | 3.32<math>\pi</math>/N}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Bohman | 46.0| 51.84 | 7.01<math>\pi</math>/N}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Parzen | 53.1| 56.89 |}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Blackman | 58.1| 75.25 | 5.56<math>\pi</math>/N}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Flat Top | 88.0| 106.3| }} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Blackman-Harris | 92.1| 108.8 |}} | ||
+ | {{tabFIRwindow | Nutfall | 93.8| 109.7|}} | ||
+ | |} | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Dados acima obtidos para um filtro passa baixas de ordem N = 64 com <math>\omega_{c} = 0.5 \pi</math>, mas podem ser utilizados para estimativa de atenuação e ordem em outros filtros. | ||
+ | |||
+ | *Ver artigos: | ||
+ | :*[https://ieeexplore-ieee-org.ez130.periodicos.capes.gov.br/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=21693 A new window and comparison to standard windows] Yeong Ho Ha ; Pearce, J.A. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Feb. 1989, Vol.37(2), pp.298-301. | ||
+ | :*[https://ieeexplore-ieee-org.ez130.periodicos.capes.gov.br/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=1163506 Some windows with very good sidelobe behavior] Nuttall, A. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, February 1981, Vol.29(1), pp.84-91 | ||
+ | |||
+ | ;Projeto de filtro FIR: | ||
+ | No Matlab, além das funções que calculam as janelas, já mencionadas anteriormente, também tem a função [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/fir1.html fir1] que implementa os passos descritos anteriormente, calculando os coeficientes da série de Fourier dos filtros ideais LP, HP, BP ou BS, e aplica a janela indicada. O uso dessa função simplifica o projeto. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | N = <ordem> | ||
+ | h_fir = fir1(N,Wn,hamming(N+1)); | ||
+ | [Hw,w] =freqz(h_fir); | ||
+ | plot(w/pi,20*log10(abs(Hw))) | ||
+ | title(['hamming N = ' num2str(N)]) | ||
+ | %fvtool(h_fir,1) | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | Projetar os filtros LP, HP e BP de acordo com as especificações dadas para o projeto de filtro IIR na [https://moodle.ifsc.edu.br/course/view.php?id=6689 AE1 - Projeto de Filtro Analógico e Filtro Digital IIR], considerando uma frequência de amostragem fa > que 2 * fmax especificada. Faça seu projeto usando 3 janelas fixas diferentes. Compare os filtros FIR obtidos com os filtros IIR, considerando, resposta em frequência, fase, atraso de grupo, estabilidade, procedimento de projeto, exatidão dos cálculos x ajuste de parâmetros, duração da resposta ao impulso. | ||
+ | |||
+ | :*Ver pag. 256 a 265 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;Aula 24 (11 mar) | ||
+ | *Filtros Digitais: Filtros FIR | ||
+ | *Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais ajustáveis | ||
+ | :*Uso de janelas ajustáveis no Matlab: [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/kaiser.html kaiser], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/chebwin.html chebyshev], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/gausswin.html gauss], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/tukeywin.html tukey], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/taylorwin.html taylor]. | ||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | L = 64; | ||
+ | r = 60; % Chebyshev e Tukey | ||
+ | alpha = 3; % Gauss | ||
+ | betha = 8; % Kaiser | ||
+ | nbar = 10; % Taylor | ||
+ | wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r)); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | Para a janela de Kaiser, a estimação do fator <math>\beta </math> e da ordem do filtro <math> N </math> são obtidos por: | ||
+ | |||
+ | <math>\beta = \left \{ \begin{matrix} 0.1102 (\alpha-8.7), & \alpha > 50, \\ 0.5842 (\alpha- 21)^{0.4} + 0.07886 (\alpha- 21) , & 50 \ge \alpha \ge 21, \\ 0, & \alpha < 21. \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | <math> N = \frac {\alpha - 8} {2.285 \Delta \omega} + 1. </math> | ||
+ | |||
+ | onde <math> \alpha </math> é a atenuação do lóbulo lateral e <math> \Delta \omega </math> é a largura da banda de transição em rad/amostra. | ||
+ | |||
+ | A janela de Kaiser é definida por: | ||
+ | |||
+ | <math> w(n) = \frac{I_0 \left(\beta \sqrt{1-(\frac{n-\alpha}{\alpha})^2} \right)}{I_0(\beta)} </math> | ||
+ | |||
+ | onde :<math> I_0(x) = 1+ \sum_{k=1}^\infty {\left( \frac{(\frac{x}{2})^k}{k!}\right)}^2 </math> é a função de Bessel de ordem zero [http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind.html] | ||
+ | |||
+ | Utilizando o Matlab é possível estimar esses valores utilizando a função kaiserord. Exemplo da obtenção de um filtro passa baixa com <math> f_{pass} = 1000 Hz </math>, <math> f_{stop} = 1500 Hz </math>, <math> f_{amostragem} = 8000 Hz </math> atenuação de 40 dB na "stopband" | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | %% Calculo do filtro de kaiser, sem ajustes | ||
+ | % Especificaçao | ||
+ | fsamp = 8000; | ||
+ | fcuts = [1000 1500]; | ||
+ | Ap = 1; | ||
+ | As = 40; | ||
+ | ftype = 'low'; | ||
+ | |||
+ | fN = fsamp/2; | ||
+ | wp = fcuts(1)/fN; | ||
+ | ws = fcuts(2)/fN; | ||
+ | Dw = abs(ws-wp); | ||
+ | |||
+ | % Calculo da janela de Kaiser | ||
+ | beta = 0.5842*(As-21)^0.4+0.07886*(As-21); | ||
+ | n = ceil((As-8)/(2.285*Dw*pi)+1); | ||
+ | Wn = (wp+ws)/2; | ||
+ | wkaiser = kaiser(n+1,beta); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | Forma alternativa de projeto usando a função [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/kaiserord.html kaiserord] | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | fsamp = 8000; | ||
+ | fcuts = [1000 1500]; | ||
+ | Ap = 1; | ||
+ | As = 40; | ||
+ | mags = [1 0]; | ||
+ | devs = [1-10^(-Ap/20) 10^(-As/20)]; | ||
+ | [n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs,fsamp); | ||
+ | wkaiser = kaiser(n+1,beta); | ||
+ | h_fir = fir1(n,Wn,ftype,wkaiser,'noscale'); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | A partir das especificações do filtro é possível obter um projeto usando a função [https://www.mathworks.com/help/signal/ref/fir1.html fir1]. Essa função basicamente aplica o método da janela ao filtro ideal especificado pela(s) frequência(s) de corte <math> W_n </math>. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | h_fir = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale'); | ||
+ | [Hw,w] =freqz(h_fir); | ||
+ | plot(w*fsamp/2/pi,20*log10(abs(Hw))) | ||
+ | title(['Kaiser filter N = ' num2str(n)]) | ||
+ | %fvtool(h_fir,1) | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | Como resultado do projeto a partir das equações de Kaiser é obtido o filtro abaixo: | ||
+ | <center> Figura 9 - Filtro LP com janela de Kaiser, sem ajustes. | ||
+ | [[Arquivo:LPkaiser1.png | 1200px]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | No entanto realizando ajustes tanto do ganho no topo <math> G_{topo} </math>, na largura da banda de transição <math> \Delta \omega </math>, e na ordem do filtro <math> n </math>, é possível reduzir essa ordem obtendo o filtro abaixo: | ||
+ | <center> Figura 10 - Filtro LP com janela de Kaiser, com ajustes. | ||
+ | [[Arquivo:LPkaiser2.png | 1200px]] | ||
+ | </center> | ||
+ | :*Ver as funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/fir1.html fir1], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/kaiserord.html kaiserord] do Matlab. | ||
+ | :*Ver pag. 266 a 273 de <ref name="SHENOI2006"/> | ||
+ | :* Uso das funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/window.html window] e [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/fir1.html fir1] do Matlab para projeto de filtro FIR | ||
+ | |||
+ | :*Uso de janelas ajustáveis no Matlab: [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/kaiser.html kaiser], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/chebwin.html chebyshev], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/gausswin.html gauss], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/tukeywin.html tukey], [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/taylorwin.html taylor]. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | L = 64; | ||
+ | r = 60; % Chebyshev e Tukey | ||
+ | alpha = 3; % Gauss | ||
+ | betha = 8; % Kaiser | ||
+ | nbar = 10; % Taylor | ||
+ | wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r)); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | <center> Figura 11 - Filtro LP com janela de Chebyshev, Taylor e Gaussiana. | ||
+ | [[Arquivo:LPChebywin.png | 400px]] [[Arquivo:LPTaylor.png | 400px]] [[Arquivo:LPGauss.png | 400px]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;Aula 25 (16 mar): | ||
+ | :*Filtro de Parks-McClellan. Funções [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/firpm.html firpm] e [http://www.mathworks.com/help/signal/ref/firpmord.html firpmord], [https://ieeexplore-ieee-org.ez130.periodicos.capes.gov.br/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=1083419 Chebyshev Approximation for Nonrecursive | ||
+ | Digital Filters with Linear Phase]. | ||
+ | :*[http://mathworld.wolfram.com/RemezAlgorithm.html Remez exchange algorithm] - o básico em Wolfram Alpha | ||
+ | :*[http://eeweb.poly.edu/iselesni/EL713/remez/remez.pdf Remez exchange algorithm] - o detalhe com implementação em Matlab. Como resolver as anomalias na banda de transição. | ||
+ | :*[http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/00700_OptimalFIR.pdf] | ||
+ | |||
+ | *Exemplo do projeto de um filtro passa-baixas, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequência de passagem de 1000 Hz e frequência de rejeição de 1500 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e o ripple máximo na banda passante é de 1 dB. | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | fa = 8000; | ||
+ | |||
+ | Ap = 1; | ||
+ | Ar = 40; | ||
+ | |||
+ | fp = 1000; | ||
+ | fr = 1500; | ||
+ | |||
+ | f = [fp fr]; | ||
+ | a = [1 0]; | ||
+ | dev = [(10^(Ap/20)-1)/(10^(Ap/20)+1) 10^(-Ar/20)]; | ||
+ | [n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fa); | ||
+ | b = firpm(n,fo,ao,w); | ||
+ | [h,w] = freqz(b,1,1024,fa); | ||
+ | plot(w, 20*log10(abs(h))); hold on; | ||
+ | plot([0 fr fr fa/2], [Ap/2 Ap/2 -Ar -Ar],':m') | ||
+ | plot([0 fp fp], [-Ap/2 -Ap/2 -(Ar+30)],':m'); | ||
+ | ylim([-(Ar+30) Ap/2+10]) | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | *Exemplo do projeto de um filtro passa-faixa, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequências de passagem de 1500 e 1700 Hz e e frequências de rejeição de 1000 e 3000 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na primeira banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e 60 dB na segunda banda de rejeição. O ripple máximo na banda passante é de 1 dB e fa = 8000; | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | :*Uso do [http://la.mathworks.com/help/dsp/ug/use-fdatool-with-dsp-system-toolbox-software.html] para projeto de filtro IIR, FIR equiripple e FIR com janela. | ||
+ | *Uso do [http://la.mathworks.com/help/dsp/gs/design-and-implement-a-filter.html] no Simulink. | ||
+ | |||
+ | *Exemplo do projeto de um filtro passa-baixas, com minima ordem (Filtro de Parks-McClellan) com frequência de passagem de 1000 Hz e frequência de rejeição de 1500 Hz, dada uma frequência de amostragem de 8000 Hz. Considere que a atenuação na banda de rejeição é de no mínimo 40 dB e o ripple máximo na banda passante é de 0.4 dB. | ||
+ | |||
+ | ;Aula 26 (18 mar): | ||
+ | |||
+ | *Projeto de filtro FIR | ||
+ | :*projetar os filtros usando: 1) Janela fixa 2) Janela ajustável 3) Parks-McClellan. | ||
+ | :*garantir que o filtro seja de menor ordem em cada caso, mas que esteja dentro das especificações. | ||
+ | :*se necessário ajustar os valores de fs, fp, Ap, As, e a ordem do filtro, indicando o critério utilizado para o ajuste. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | %% Projetar o filtro passa baixas | ||
+ | fp = 1200 Hz; | ||
+ | fs = 1380 Hz; | ||
+ | fa = 8000 Hz; | ||
+ | Ap = 1 dB; | ||
+ | Ar = 50 dB; | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | %% Projetar o filtro passa altas | ||
+ | fs = 1200 Hz; | ||
+ | fp = 1380 Hz; | ||
+ | fa = 8000 Hz; | ||
+ | Ap = 1 dB; | ||
+ | Ar = 50 dB; | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | %% Projetar o filtro passa faixa | ||
+ | fs1 = 800 Hz; | ||
+ | fp1 = 900 Hz; | ||
+ | fp2 = 1000 Hz; | ||
+ | fs2 = 1300 Hz; | ||
+ | fa = 8000 Hz; | ||
+ | Ap = 1 dB; | ||
+ | Ar = 50 dB; | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | %% Projetar o filtro rejeita faixa | ||
+ | fp1 = 800 Hz; | ||
+ | fs1 = 900 Hz; | ||
+ | fs2 = 1000 Hz; | ||
+ | fp2 = 1300 Hz; | ||
+ | fa = 8000 Hz; | ||
+ | Ap = 1 dB; | ||
+ | Ar = 50 dB; | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ===Unidade 4 - Realização de Filtros=== | ||
+ | {{collapse top| Unidade 4 - Realização de Filtros}} | ||
+ | |||
+ | ; Aula 27 (23 mar): | ||
+ | |||
+ | *Realização de Filtros FIR | ||
+ | *A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + ... + b_N z^N \\ | ||
+ | &= \sum_{i=0}^{N} b_i \cdot z^i | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + ... + b_N z^{-N} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | *Como <math> H(z) = Y(z)/X(z) </math> | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | Y(z) &= b_0 X(z) + b_1 z^{-1}X(z) + b_2 z^{-2}X(z) + ... + b_N z^{-N}X(z) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | *Conhecendo a transformada Z inversa de <math> X(z) = Z\{x[n]\} </math>, e a propriedade do atraso <math> X(z) z^{-k} = Z\{x[n-k]\} </math>, o filtro FIR causal de ordem <math> N </math> mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | y[n] &= b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_N x[n-N] \\ | ||
+ | &= \sum_{i=0}^{N} b_i\cdot x[n-i], | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | *Pode-se notar que a saída <math> y[n] </math> do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas <math> x[n] </math> | ||
+ | |||
+ | *A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo alguma das estruturas mostradas a seguir. | ||
+ | |||
+ | * A título de exemplo vamos considerar um filtro FIR de ordem 4, e para permitir uma notação de vetores com os índices do Matlab (maiores que 0), a função de de transferência e sua equação de diferenças são mostradas a seguir: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | H(z) &= {b(1) + b(2) z^{-1} + b(3) z^{-2} + b(4) z^{-3} + b(5) z^{-4}} \\ | ||
+ | Y(z) &= {b(1) + b(2) z^{-1} + b(3) z^{-2} + b(4) z^{-3} + b(5) z^{-4}} X(z) \\ | ||
+ | y[n] &= {b(1) x[n]+ b(2) x[n-1] + b(3) x[n-2] + b(4) x[n-3] + b(5) x[n-4]} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | ;Realização de filtros FIR na Forma Direta: | ||
+ | Para exemplificar as diferentes realizações utilizaremos com base um filtro de ordem 4 representado pela função de transferência | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} \\ | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | * A implementação direta desse sistema discreto no tempo pode ser representada pelo modelo esquemático a seguir. | ||
+ | {{fig|4.1|Realização de filtros FIR na Forma Direta|FIR_FD_MathWorks.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Realização de filtros FIR na Forma Transposta: | ||
+ | ::*A transposição consiste na '''inversão do fluxo de todos os sinais''', substituição de '''nós de soma por derivações''' e as '''derivações por soma'''. A '''entrada e saída também devem ser invertidas'''. A realização da transposição não altera o sistema implementado. | ||
+ | {{fig|4.2|Realização de filtros FIR na Forma Transposta|FIR_FDT_MathWorks.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|4.3|Realização de filtros FIR na Forma Transposta|FIR_FDT2_MathWorks.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Realização de filtros FIR de fase linear: | ||
+ | Os filtros FIR de fase linear podem ser com coeficientes simétricos (tipo I e II) ou antissimétricos (tipo III e IV). | ||
+ | ;Tipo I - Simétrico de ordem par: | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} \\ | ||
+ | &= h(1)(1+z^{-4}) + h(2)(z^{-1}+z^{-3}) + h(3) z^{-2} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | {{fig|4.4|Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico I|FIR_Sym2_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Tipo II - Simétrico de ordem impar: | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} + h(6) z^{-5} \\ | ||
+ | &= h(1)(1+z^{-5}) + h(2)(z^{-1}+z^{-4}) + h(3)(z^{-2}+ z^{-3}) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | {{fig|4.5|Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico II|FIR_Sym1_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Tipo III - Antissimétrico de ordem par: | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} \\ | ||
+ | &= h(1)(1-z^{-4}) + h(2)(z^{-1}-z^{-3}) + 0 z^{-2} \\ | ||
+ | &= h(1)(1-z^{-4}) + h(2)(z^{-1}-z^{-3}) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | {{fig|4.6|Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico III|FIR_AntiSym3_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Tipo IV - Antissimétrico de ordem impar: | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | H (z) &= h(1) + h(2) z^{-1} + h(3) z^{-2} + h(4) z^{-3} + h(5) z^{-4} + h(6) z^{-5} \\ | ||
+ | &= h(1)(1-z^{-5}) + h(2)(z^{-1}-z^{-4}) + h(3)(z^{-2}- z^{-3}) | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | {{fig|4.7|Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico IV|FIR_AntiSym4_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Uso do Matlab e Simulink | ||
+ | :* Realização de Filtros FIR [http://la.mathworks.com/help/dsp/ug/using-filter-designer.html usando o FDATool] | ||
+ | |||
+ | :* Estudar [http://www.mathworks.com/help/simulink/slref/discretefirfilter.html estrutura de filtros disrcetos FIR no Matlab], [http://www.mathworks.com/help/dsp/ref/filterrealizationwizard.html Filter Realization Wizard - Reference], [http://www.mathworks.com/help/dsp/ug/filter-realization-wizard.html Filter Realization Wizard - User Guide]. | ||
+ | :*Ver pag. 303 a 312 de <ref name="SHENOI2006"/>. | ||
+ | |||
+ | ; Aula 28 (25 mar): | ||
+ | :* Realização de filtros IIR de 2ª ordem: Forma Direta I e II, e Forma Transposta I e II. | ||
+ | :<math> H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}, H(z) = \frac{b_0 z^2 + b_1 z^1 + b_2}{z^2 + a_1 z^1 + a_2}, H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} </math> | ||
+ | ::* Separando H(z) em dois blocos <math>\ H(z) = H_1(z) H_2(z) </math>, e obtendo o sinal intermediário W(z) ou Y(z) dependendo da ordem dos blocos. | ||
+ | {{fig|4.8|Separação do filtro IIR H(z) em H1(z) e H2(z)|H1_H2_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | : Com o ordenamento dos blocos <math>\ H_1(z) </math> e <math>\ H_2(z) </math> em ordem direta teremos a Forma Direta I: | ||
+ | :<math> H_1(z) = \frac{W(z)}{X(z)} = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} </math> | ||
+ | :<math> H_2(z) = \frac{Y(z)}{W(z)} = \frac{1}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} </math> | ||
+ | :Podemos obter a realização de <math>\ H_1(z) </math> na forma direta. | ||
+ | :<math>\ W(z) = (b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})X(z) </math> | ||
+ | :Para obter a realização de <math>\ H_2(z) </math> , é necessário reescrever a saída <math>\ Y(z) </math> em função de <math>\ W(z) </math> e das saídas anteriores <math>\ Y(z) z^{-1} </math> e <math>\ Y(z) z^{-2} </math>: | ||
+ | :<math>\ Y(z) = \frac{W(z)}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} </math> | ||
+ | :<math>\ Y(z)({1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}) = W(z) </math> | ||
+ | :<math>\ Y(z) = W(z) - a_1 Y(z) z^{-1} - a_2 Y(z) z^{-2} </math> | ||
+ | {{fig|4.9|Realização de filtros IIR na Forma Direta I|IIR_FD1_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | : Com o ordenamento dos blocos <math>\ H_2(z) </math> e <math>\ H_1(z) </math> em ordem reversa teremos a Forma Direta II: | ||
+ | :<math> H_2(z) = \frac{V(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} </math> | ||
+ | :<math>\ V(z) = X(z) - a_1 V(z) z^{-1} - a_2 V(z) z^{-2} </math> | ||
+ | |||
+ | :<math> H_1(z) = \frac{Y(z)}{V(z)} = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} </math> | ||
+ | :<math>\ Y(z) = (b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})V(z) </math> | ||
+ | {{fig|4.10|Realização de filtros IIR na Forma Direta II|IIR_FD2a_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | :Considerando que os sinais no centro são idênticos podemos simplificar e obter a Forma Direta II (Canônica): | ||
+ | {{fig|4.11|Realização de filtros IIR na Forma Direta II Canônica |IIR_FD2b_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | :Considerando as regras de transposição podemos obter a forma transposta I e II. A transposição consiste na inversão do fluxo de todos os sinais, substituição de nós de soma por derivações e as derivações por soma. A entrada e saída também devem ser invertidas. A realização da transposição não altera o sistema implementado. | ||
+ | {{fig|4.12|Realização de filtros IIR na Forma Transposta I|IIR_FT1_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|4.13|Realização de filtros IIR na Forma Transposta II|IIR_FT2_MathWorks.png|600 px|}} | ||
+ | |||
+ | :* Realização de filtros IIR de ordem maior que 2: Forma Direta I e II, Transposta I e II, Cascata, Paralela | ||
+ | ::*Os filtros IIR de ordem superior a 2 podem ser implementados nas FD I ou II e na FT I ou II. No entanto nessa configuração tendem a ficar instáveis ao terem os coeficientes quantizados, e também terem uma significativa alteração da resposta em frequência. Para reduzir esses problemas uma possível solução é a decomposição em filtros de 2ª ordem para serem associados na forma em Cascata ou Paralela. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :* Realização de Filtros usando o comando [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/dsp.allpassfilter.realizemdl.html realizemdl],[http://www.mathworks.com/help/dsp/ref/realizemdl.html ] do MatLab | ||
+ | :* O que são os objetos de sistema usados pela função realizemdl? Ver [https://www.mathworks.com/help/matlab/matlab_prog/what-are-system-objects.html What Are System Objects?] e [ | ||
+ | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
+ | |||
+ | Fs = 30000; % Sampling Frequency | ||
+ | Fpass = 12000; % Passband Frequency | ||
+ | Fstop = 13000; % Stopband Frequency | ||
+ | Dpass = 0.01; % Passband Ripple | ||
+ | Dstop = 0.01; % Stopband Attenuation | ||
+ | flag = 'scale'; % Sampling Flag | ||
+ | |||
+ | % Calculate the order from the parameters using KAISERORD. | ||
+ | [N,Wn,BETA,TYPE] = kaiserord([Fpass Fstop]/(Fs/2), [1 0], [Dstop Dpass]); | ||
+ | |||
+ | % Calculate the coefficients using the FIR1 function. | ||
+ | b = fir1(N, Wn, TYPE, kaiser(N+1, BETA), flag); | ||
+ | |||
+ | hFIR = dsp.FIRFilter; | ||
+ | hFIR.Numerator = b; | ||
+ | |||
+ | % Para definir diretamente os coeficientes | ||
+ | realizemdl(hFIR) | ||
+ | |||
+ | % Para definir os coeficientes através de uma matriz de entrada | ||
+ | realizemdl(hFIR,'MapCoeffsToPorts','on'); | ||
+ | </syntaxhighlight> | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ==Unidade 5 - Projeto Final== | ||
+ | {{collapse top| expand=true | Unidade 5 - Projeto Final}} | ||
+ | |||
+ | ===Uso do Simulink para processamento de sinais=== | ||
+ | ;Aula 29 (30 mar) | ||
+ | * Uso dos blocos de simulação - Sources [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/sinewave.html sinewave/DSP], [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/chirp.html chirp/DSP], [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/randomsource.html random noise]. | ||
+ | * Uso dos blocos de simulação - Sink [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/timescope.html time scope] e [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/spectrumanalyzer.html spectrum analyzer]. | ||
+ | * Outros blocos [http://www.mathworks.com/help/simulink/slref/mux.html mux], [http://www.mathworks.com/help/simulink/slref/demux.html demux], [http://www.mathworks.com/help/simulink/slref/add.html sum], [http://www.mathworks.com/help/simulink/slref/product.html product], [https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/vectorconcatenate.html matrix concatenate]. | ||
+ | *Veja também esse exemplo com a criação de um modelo com filtro passa-baixas e passa-altas com a análise no domínio do tempo (scope) [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/digital-filter-design-block.html Digital Filter Design Block], e outro exemplo com análise no domínio da frequência (Spectrum Analyser) [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/filter-frames-of-a-noisy-sine-wave-signal-in-simulink.html Filter Frames of a Noisy Sine Wave Signal in Simulink]. Uma opção para a visualização de mais de um sinal no DF em um único [Spectrum Analyser] é utilizar o bloco [Matrix Concatenate] conforme mostrado no modelo em [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/display-frequency-domain-data-in-spectrum-analyzer.html Display Frequency-Domain Data in Spectrum Analyzer]. | ||
+ | |||
+ | ;Aula 30 (1 abr) | ||
+ | *Para entender a diferença entre processamento por amostra e processamento por quadro, leia o texto em ([https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/sample-and-frame-based-concepts.html Sample- and Frame-Based Concepts]), ou [[Conceitos de Sistemas baseados em amostras e quadros]]. | ||
+ | *Para converter entre fluxos de dados de diferentes taxas de frames, ou entre sample-based e frame-based, os blocos [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/buffer.html buffer] e [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/unbuffer.html unbuffer] devem ser utilizados. | ||
+ | *O Simulink possui muitos blocos que permitem a implementação d filtros. Para os filtros IIR e FIR recomendo o uso dos blocos [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/digitalfilterdesign.html Digital Filter Design], [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/filterrealizationwizard.html Filter Realization Wizard]. | ||
+ | |||
+ | * Para aprender o básico do Simulink recomendo assistir a estes vídeos da Mathworks | ||
+ | *[https://www.mathworks.com/videos/getting-started-with-simulink-102159.html Getting Started with Simulink -(duração 3m26s)], ensina como usar a biblioteca de blocos [library browser] e o editor de modelos [model editor]. É mostrado um exemplo inserindo um gerador senoidal, um bloco de ganho e um osciloscópio. Detalhes de como conectar os blocos e uso de vetores nos parâmetros da simulação são também mostrados. | ||
+ | *[https://www.mathworks.com/videos/introduction-to-simulink-81623.html?form_seq=conf840&elqsid=1430251491350&potential_use=Education&country_code=BR Simulink for New Users -(duração 54m07s)], esse vídeo ensina a usar o ambiente de simulação de forma mais efetiva, indo desde a criação de um modelo até o compartilhamento do modelo com uma equipe e criação de templates para uso como base de projetos. O uso de dashboard é mostrado de forma resumida. | ||
+ | |||
+ | ;Como definir parâmetros de uma simulação: | ||
+ | *Para '''definir parâmetros''' para o simulador, tais como frequências de amostragem, amostras por quadro, outras frequências, amplitudes, etc, o recomendado é usar o '''Model Explorer''', ['''View > Model Explorer'''] ['''CTRL+H'''], então selecione ['''Model Workspace'''] e adicione os parâmetros e seu valor. Use o nome do parâmetro nos blocos do Simulink. | ||
+ | {{fig|5.1|Definição de Parâmetros no Simulink|ParameterSimulink.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Qual solver utilizar em DSP?: | ||
+ | *Para escolher e configurar o tipo de solver que o simulador irá utilizar, selecione [Simulation > Model Configuration Parâmeters], e escolha o solver. Normalmente o melhor opção de solver para sistemas discretos com uma única taxa de amostragem é [Type: Fixed-setup] e [Solver: discrete] | ||
+ | ;Como ativar o Profiler?: | ||
+ | *Para comparar o desempenho de um sistema para processamento por amostras, e para diferentes tamanhos de quadros, é possível utilizar o '''Profiler'''. Para a medição dos tempos foi utilizado sempre o mesmo computador, e ativado o '''[https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/how-profiler-captures-performance-data.html Profiler]''' ['''Analysis > Performance Tools > Show Profiler Report''']. Faça uma simulação de alguns segundos, e se quiser use a média de N simulações. Normalmente a primeira deve ser descartada. | ||
+ | |||
+ | ;Como organizar o modelo?: | ||
+ | *Agrupar todas as entradas em um subsistema (input_source) | ||
+ | *Agrupar as saídas (medições) em um subsistema (measuarements) | ||
+ | *Agrupar todos os blocos do sistema desenvolvido sob um subsistema (DUT). | ||
+ | :*ver: [https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/creating-subsystems.html Create a Subsystem], [https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/creating-subsystems.html#f4-7371 Create Subsystem from Selection], [https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/navigate-subsystems-in-the-model-hierarchy.html Navigate Model Hierarchies] | ||
+ | :*pode interessar a vocês também os vídeos: [https://www.youtube.com/watch?v=7IUyTPQpQwc], [https://www.youtube.com/watch?v=3GK7k_PFEls] | ||
+ | |||
+ | {{collapse top| bg=lightyellow | AE3 - Uso do Simulink para processamento de sinais }} | ||
+ | ;Atividades: | ||
+ | *Use o Simulink para construir o modelo de um sistema com filtros conforme descrito na página [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/digital-filter-design-block.html Digital Filter Design Block]. | ||
+ | *Acrescente um bloco Matrix Concatenate para visualizar a saída no Spectrum Analyser (ver dica em [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/display-frequency-domain-data-in-spectrum-analyzer.html Display Frequency-Domain Data in Spectrum Analyzer]. | ||
+ | *Use o '''Model Explorer''' e '''Model Workspace''', para definir no mínimo os parâmetros ''fsine'', ''fa'' e ''spf'', que serão utilizados para ''Sample time = 1/fa'' e ''Samples per frame = spf'', e no bloco '''Sine Wave''', defina ''Frequency (Hz) = fsine'' | ||
+ | *Escolha um valor de ''fa'' entre 8 kHz e 44,1 kHz, e ''fsine'' = 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz. | ||
+ | *Defina as atenuações dos filtros HP e LP como ''Apass = 1 dB'' e ''Astop = 40 dB''. | ||
+ | *Ative o '''Profiler''' para medir o tempo de processamento do modelo. | ||
+ | *Escolha como '''Solver''' o ['''Type: Fixed-setup'''] e ['''Solver: discrete'''] | ||
+ | *Faça a simulação por pelo menos 40 segundos | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.2|AE3 - Modelo do Sistema |AE3Model.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.3|AE3 - Domínio do Tempo (DT) |AE3DT.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.4|AE3 - Domínio da Frequência (DF) |AE3DF.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.5|AE3 - Domínio da Frequência (DF) com max-hold ativo |AE3DFmax.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | ;Entregas: | ||
+ | :# O arquivo '''AE3.slx''' com o modelo completo. | ||
+ | :# A impressão da imagem do modelo completo com sinais destacados por cores, e tamanhos e tipos de sinais mostrados no diagrama. | ||
+ | :# A impressão da imagem da tela do '''Time Scope''' entre 20 e 20,1 segundos. | ||
+ | :# A impressão da imagem da tela do '''Spectrum Analyser''' ao final da simulação. | ||
+ | :# Tempo de total de processamento mostrado pelo '''Profiler''' para spf = 1, 16 e 256. Use o campo de comentário para registrar esse dado. | ||
+ | :# Informe os parâmetros utilizados para spf, fa, fsine. Use o campo de comentário para registrar esse dado. | ||
+ | :# Informe a ordem do filtro HP e LP que você utilizou. Use o campo de comentário para registrar esse dado. | ||
+ | :# Analise os gráficos no DT, DF e explique o formato no tempo e o espectro do sinal y(n). | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;Aula 31 (6 abr) | ||
+ | *Passos adicionais para converter de Matlab/Simulink para HDL. | ||
+ | :*Ver [https://www.mathworks.com/help/hdlcoder/ug/guidelines-for-checking-model-compatibility.html Basic Guidelines for Modeling HDL Algorithm in Simulink] | ||
+ | :*Ver [https://www.mathworks.com/help/hdlcoder/ug/guidelines-for-model-setup-and-checking-model-compatibility.html Guidelines for Model Setup and Checking Model Compatibility] | ||
+ | :*Ver [https://www.mathworks.com/help/hdlcoder/ug/basic-guidelines-for-blocks-usage.html Modeling with Simulink, Stateflow, and MATLAB Function Blocks] | ||
+ | :*Executar o hdlsetup('nome_modelo') para configurar o modelo antes da conversão. Se quiser customizar o comando edite o arquivo hdlsetup.m e salve com myhdlsetup.m | ||
+ | edit hdlsetup.m | ||
+ | |||
+ | *Experimentar com esse circuito contador até M. | ||
+ | :*[https://www.mathworks.com/help/hdlcoder/gs/create-hdl-compatible-simulink-model.html Create Simulink Model for HDL Code Generation] | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.6|Divisão HDL_DUT e testbench|ContadorHDLCoder.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.7|Subsistema HDL_DUT|DUT_ContadorHDLCoder.png|800 px|}} | ||
+ | *'''NOTA''': Para funcionar a simulação é importante que o solver esteja setado para discreto, pois o contador é um sistema discreto pois utiliza os blocos '''Delay'''. Antes de simular aplique o hdlsetup ao modelo. | ||
+ | hdlsetup('nome_modelo') | ||
+ | *A invés de fixar o [Output data type] dos blocos [Constant] em uint32 conforme mostrado na página da mathworks, escolha um tipo de dado da entrada count_threshold, e deixe os blocos internos como [Inherit: Inherit via back propagation], para que eles se ajustem conforme a necessidade. | ||
+ | :*Verifique os códigos VHDL gerados quando é utilizado double, int8 e uint32. | ||
+ | *Para gerar o '''código VHDL''' pode se digitado '''makehdl('HDL_DUT')''', ou também usar a interface gráfica, com clique-direito sobre o bloco HDL_DUT e selecionando '''[HDL Code > Generate HDL for Subsystem]''', ou ainda pelo menu '''[Code > HDL Code > Generate HDL]'''. | ||
+ | *Para que o testbench seja separado em arquivos do tipo .dat, em menu '''[Code > HDL Workflow Advisor]''', no item '''3.1.3 Set Testbench Option''', marque '''[x] Multi-file test bench''' e '''[x] Use file I/O for read/write bench data'''. | ||
+ | *Para gerar o código VHDL para o '''testbench''' usar a interface gráfica pelo menu '''Code > HDL Code > Generate testbench]'''. | ||
+ | *Para fazer a simulação do sistema em VHDL, abra o Modelsim e vá para a pasta do projeto. | ||
+ | cd hdl_prj/hdlsrc/hdlcoder_simple_up_counter/ | ||
+ | *Compile os arquivos do projeto | ||
+ | do HDL_DUT_compile.do | ||
+ | *Compile os arquivos do testbench | ||
+ | do HDL_DUT_tb_compile.do | ||
+ | *Realize a simulação automática do contador. | ||
+ | do HDL_DUT_tb_sim.do | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.8|Subsistema HDL_DUT simulado no Simulink|DUT_ContadorSimulink.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{fig|5.9|Subsistema HDL_DUT simulado no Modelsim|DUT_ContadorModelsim.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | *Observe que o sinal simulado em VHDL é identico ao sinal simulado pelo Simulink, além disso observe que a frase abaixo aparece no console confirmando que o sistema HDL_DUT está correto. O próximo passo seria usar o VDHL para implementar o sistema. | ||
+ | |||
+ | ** Note: **************TEST COMPLETED (PASSED)************** | ||
+ | |||
+ | ===Orientação sobre o Projeto Final=== | ||
+ | ;Aula 32 (8 abr): | ||
+ | *Orientação sobre o projeto final. | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Dicas sobre uso de alguns blocos do Simulink}} | ||
+ | |||
+ | Como atividade de estudo realizar a montagem do modelo indicado na figura abaixo e fazer a simulação, usar fa = 8000Hz. | ||
+ | ;PASSO 1 - Entrar no Simulink: | ||
+ | * Abra o Matlab e crie uma pasta PSD29007 | ||
+ | * Entre no Simulink criando um novo modelo digitando | ||
+ | simulink | ||
+ | * Em seguida salve o modelo vazio com o nome '''aula34.slx''' | ||
+ | |||
+ | ;PASSO 1 - Definir os parâmetros que serão utilizados nos blocos usando o Model Explorer | ||
+ | |||
+ | fa = 8000 % para Sampling frequency, e usar 1/fa para o Sample time. | ||
+ | spf = 1 (ou 16 ou 256 ou ...) % Samples per frame; | ||
+ | v1 = 0.2 % Sine amplitude; | ||
+ | f1 = 500 % Sine frequency; | ||
+ | G = 0.05 % Gain; | ||
+ | |||
+ | ;PASSO 2 - Construir o circuito com as fontes ('''source''') de sinal: | ||
+ | * Insira os blocos que deseja utilizar para construir a seleção da fonte (ver o diagrama de blocos) | ||
+ | |||
+ | {{fig|D.1| Modelagem da seleção das fontes de sinal |SelectSourceSimulink.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | * Configure os parâmetros de cada bloco. | ||
+ | {{collapse top | Configurar o bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/sinewave.html sinewave]}} | ||
+ | ;Amplitude — Amplitude of sine waves: v1 | ||
+ | ;Frequency (Hz) — Frequency of each sine wave: f1 | ||
+ | ;Phase offset (rad) — Phase offset: 0 (default) | ||
+ | ;Sample mode — Continuous or discrete sampling mode: Discrete (default) | ||
+ | ;Output complexity — Real or complex waveform: Real (default) | ||
+ | ;Computation method — Method for computing discrete-time sinusoids: Trigonometric fcn (default) | ||
+ | ;Sample time — Sample period: 1/fa | ||
+ | ;Samples per frame — Samples per frame: spf | ||
+ | ;Resetting states when re-enabled — State behavior inside enabled subsystems: Restart at time zero (default) | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Configurar o bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/chirp.html chirp]}} | ||
+ | ;Frequency sweep — Type of frequency sweep : Linear (default) | ||
+ | ;Sweep mode — Sweep mode: Unidirectional (default) | ||
+ | ;Initial frequency (Hz) — Initial frequency: 1 | ||
+ | ;Target frequency (Hz) — Target frequency: fa/2 | ||
+ | ;Target time (s) — Target time of sweep: 2 | ||
+ | ;Sweep time (s) — Sweep time: 2 | ||
+ | ;Initial phase (rad) — Initial phase of cosine output: 0 (default) | ||
+ | ;Sample time — Output sample period: 1/fa | ||
+ | ;Samples per frame — Samples per frame: spf | ||
+ | ;Output data type — Output data type: Double (default) | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Configurar o bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/randomsource.html random source]}} | ||
+ | ;Source type — Uniform or Gaussian: Uniform (default) | ||
+ | ;Minimum — Minimum value of uniform distribution: -1 | ||
+ | ;Maximum — Maximum value of uniform distribution: 1 (default) | ||
+ | ;Repeatability — Repeatability of block output: Not repeatable | ||
+ | ;Inherit output port attributes — Inherit output port parameters from downstream block: off (default) | ||
+ | ;Sample mode — Discrete or continuous: Discrete (default) | ||
+ | ;Sample time — Output sample period: 1/fa | ||
+ | ;Samples per frame — Samples per output frame: spf | ||
+ | ;Output data type — Output data type: Double (default) | ||
+ | ;Complexity — Complexity of output: Real (default) | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ;PASSO 3 - Construir o circuito com os receptores ('''sink''') de sinal: | ||
+ | * Insira os blocos que deseja utilizar para receptores (ver o diagrama de blocos) | ||
+ | {{fig|D.2| Modelagem das medições de sinal |SinkSimulink.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | * Configure os parâmetros de cada bloco. | ||
+ | {{collapse top | Configurar o bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/timescope.html time scope]}} | ||
+ | Abra a configuração [View > Configuration properties] | ||
+ | |||
+ | *Na aba [Main] | ||
+ | ;Open at simulation start — Specify when scope window opens: on (default for Time Scope) | ||
+ | ;Display the full path — Display block path on scope title bar: off (default) | ||
+ | ;Number of input ports — Number of input ports on scope block: 2 | ||
+ | ;Layout — Number and arrangement of displays: 1 coluna 2 linhas | ||
+ | ;Sample time — Simulation interval between scope updates: -1 (for inherited) (default) | ||
+ | ;Input processing — Channel or element signal processing: Columns as channels (frame based) (default for Time Scope) | ||
+ | ;Maximize axes — Maximize size of plots: Auto (default for Time Scope) | ||
+ | |||
+ | *Na aba [Time] | ||
+ | ;Time span — Length of x-axis to display: 2 | ||
+ | ;Time span overrun action — Display data beyond visible x-axis: Wrap (default) | ||
+ | ;Time units — x-axis units: Metric (default for Time Scope) | ||
+ | ;Time display offset — x-axis offset: 0 (default) | scalar | vector | ||
+ | ;Time-axis labels — Display of x-axis labels: All (default for Time Scope) | ||
+ | ;Show time-axis label — Display or hide x-axis labels: on (default for Time Scope) | ||
+ | |||
+ | *Na aba [Display] | ||
+ | ;Active display — Selected display: 1 (default) | ||
+ | ;Title — Display name: %<SignalLabel> (default) | ||
+ | ;Show legend — Display signal legend: on | ||
+ | ;Show grid — Show internal grid lines: on (default) | ||
+ | ;Plot signals as magnitude and phase — Split display into magnitude and phase plots: off (default) | ||
+ | ;Y-limits (Minimum) — Minimum y-axis value: -10 (default) | ||
+ | ;Y-limits (Maximum) — Maximum y-axis value: 10 (default) | ||
+ | ;Y-label — Y-axis label: Amplitude (default for Time Scope) | ||
+ | |||
+ | *Na aba [Logging] | ||
+ | ;Limit data points to last — Limit buffered data values: off and 5000 (default) | ||
+ | ;Decimation — Reduce amount of scope data to display and save: off, 2 (default) | ||
+ | ;Log data to workspace — Save data to MATLAB workspace: off (default) | ||
+ | ;Variable name — Name of saved data variable: ScopeData (default) | ||
+ | ;Save format — MATLAB variable format: Dataset (default) | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Configurar o bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/spectrumanalyzer.html spectrum analyser]}} | ||
+ | Abra a configuração [View > Spectrum Settings] | ||
+ | |||
+ | *Main option | ||
+ | <!--;Input domain — Domain of the input signal: Time (default) | Frequency--> | ||
+ | ;Type — Type of spectrum to display: Power (default) | ||
+ | ;View — Spectrum view: Spectrum (default) | ||
+ | ;Sample rate — Sample rate of the input signal in hertz: Inherited (default) | ||
+ | ;Full frequency span — Use entire Nyquist frequency interval: on (default) | ||
+ | ;RBW (Hz) — Resolution bandwidth: Auto (default) | ||
+ | |||
+ | *Window Options | ||
+ | ;Overlap (%) — Segment overlap percentage: 0 (default) | ||
+ | ;Window — Windowing method: Hann (default) | ||
+ | ;NENBW — Normalized effective noise bandwidth: | ||
+ | |||
+ | *Trace Options | ||
+ | ;Units — Spectrum units: dBm (default) | ||
+ | ;Averages — Number of spectral averages: 1 (default) | ||
+ | ;Reference load — Reference load: 1 (default) | ||
+ | ;Scale — Scale of frequency axis: Linear (default) | ||
+ | ;Offset — Constant frequency offset: 0 (default) | ||
+ | ;Normal trace — Normal trace view: off | ||
+ | ;Max hold trace — Maximum hold trace view: on | ||
+ | ;Min hold trace — Minimum hold trace view: off (default) | ||
+ | ;Two-sided spectrum — Enable two-sided spectrum view: off (default) | ||
+ | *Ver mais em: [https://www.mathworks.com/help/dsp/ug/configure-spectrum-analyzer.html Configure Spectrum Analyzer] | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ;PASSO 4 - Desenvolver o sistema entre estes blocos: | ||
+ | O ideal é antes de inserir qualquer sistema verificar se a conexão direta das fontes com os receptores está funcionando. | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Criar um Filtro usando o [Digital Filter Design]}} | ||
+ | *Use o bloco '''Digital Filter Design''' para projetar e implementar um filtro digital FIR ou IIR. | ||
+ | *De um duplo click sobre o bloco, e escolha as configurações que desejar. | ||
+ | *Após configurar o filtro ou importar os coeficientes projetados no Matlab, clique em [Design Filter]. | ||
+ | *No menu [Edit > Convert Structure], escolha a implementação desejada. | ||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | *Para melhorar a visualização dos sinais no Simulink, faça os seguintes procedimentos: | ||
+ | :* Ative a visualização das dimensões das portas ['''Display > Signal & Ports > Signal Dimensions'''] ou [ALT]+D+S+D+[ENTER] | ||
+ | :* Ative a visualização do tipo de dados das portas ['''Display > Signal & Ports > Port Data Types'''] ou [ALT]+D+S+D+D+[ENTER] | ||
+ | :* Ative a visualização da cor para indicar os tempos de amostragem sinais ['''Display > Sample Time > Colors'''] ou [ALT]+D+T+C+[ENTER] | ||
+ | |||
+ | * Velocidade de simulação | ||
+ | *Note que se for usado um bloco [https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/toaudiodevice.html To Audio Device], a velocidade de simulação será determinada pelo tempo real de amostragem do sistema. | ||
+ | *Para acelerar a simulação é necessário remover ou comentar (''comment out'') os dispositivos de tempo real como o '''To Audio Device''' ou '''[https://www.mathworks.com/help/dsp/ref/fromaudiodevice.html From Audio Device]'''. | ||
+ | *Conforme já mencionado a simulação usando '''frames''' no lugar de '''samples''' também acelera a simulação. Experimente utilizar spf = 1, 2, 256, 1024, e perceba a diferença de velocidade de simulação. | ||
+ | *Tipo de entrada para analisar o filtro. | ||
+ | :*Experimente as entradas senoidais, chirp, random noise e mistura dessas, assim como sinais constantes, e observe os sinais de entrada e saída no DT e DF. | ||
+ | *Para medir o tempo de simulação ative o '''Profiler'''. | ||
+ | |||
+ | *Exemplo de modelo de um sistema e resultados da simulação | ||
+ | |||
+ | {{fig|D.3| Modelagem de um sistema em Simulink |SimulationFilterPSD1.png|800 px|}} | ||
+ | |||
+ | '''DICAS:''' | ||
+ | |||
+ | *Fazer a análise no DT e DF para um ruido uniforme (-1 a 1) | ||
+ | {{fig|D.4| Análise no DT com fonte de ruído randomico |DTnoiseFilterPSD1.png|400 px|}} | ||
+ | {{fig|D.5| Análise no DF com fonte de ruído randomico |DFnoiseFilterPSD1.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | *Fazer a análise no DT e DF para um sinal de chirp (0 a 4000Hz) | ||
+ | {{fig|D.6| Análise no DT com fonte de chirp |DTchirpFilterPSD1.png|400 px|}} | ||
+ | {{fig|D.7| Análise no DF com fonte de chirp |DFchirpFilterPSD1.png|400 px|}} | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | {{collapse top | Dicas sobre o uso do HDL Coder com Filtros digitais}} | ||
+ | ;PASSO 1 - Criar um subsistema DUT da parte que se deseja converter em HDL. | ||
+ | ;PASSO 2 - Configurar todos os blocos dentro desse DUT como processamento por amostra. Configurar também as entradas de sinal como | ||
+ | ;PASSO 3 - Use o '''Filter Realization Wizard''' para realizar os filtros usando a quantização em ponto fixo. | ||
+ | ;PASSO 4 - Faça a conversão para HDL. Veja detalhes em [Limitações do HDL coder]. | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | ;Atividades do projeto final: | ||
+ | *Implementar um modelo de entrada e saída que permita testar o sistema de processamento de sinais (DUT) a ser inserido entre eles. | ||
+ | *O DUT deverá ser composto de no mínimo 4 filtros, projetados conforme já realizado nas atividades AE1 e AE2. | ||
+ | :*1 filtro IIR HP ou LP (usando aproximação de Chebychev tipo 1 ou Butterworth) | ||
+ | :*1 filtro IIR BS ou BP (usando aproximação de Chebychev tipo 2 ou Eliptico) | ||
+ | :*1 filtro FIR HP ou LP (algoritmo de Park-McCleallan ou janela fixa ou janela ajustável) | ||
+ | :*1 filtro FIR BS ou BP (algoritmo de Park-McCleallan ou janela fixa ou janela ajustável) | ||
+ | :*A frequência de amostragem e frequências de passagem e rejeição, assim como os ganhos, e as conexões entre o sinal de entrada e a(s) saída(s) fica a critério do aluno. | ||
+ | *O sistema deverá ser simulado no Simulink, mostrando claramente que o sistema realiza a função desejada, através da analise no domínio do tempo (DT) e no domínio da frequencia (DF). | ||
+ | *Após realizadas as simulações os filtros usados deverão ser agrupados em um subsistema para gerar o código VHDL do sistema DUT e também o testbench para este DUT. | ||
+ | *Para a geração do VHDL a partir do Simulink, siga o procedimento indicado em aula, mas também confira o link [Limitações do HDL coder]. | ||
+ | ;Entregas: | ||
+ | *Um arquivo comprimido (.zip .rar .tgz .gz) contendo o modelo no Simulink, o DUT em VHDL com o testbench | ||
+ | *Um relatório contendo a descrição do sistema e os resultados obtidos, com análise de cada figura inserida. | ||
+ | |||
{{collapse bottom}} | {{collapse bottom}} | ||
− | ==Referências | + | ==Referências== |
<references/> | <references/> |
Edição atual tal como às 15h14min de 26 de abril de 2021
Unidade 1 - Introdução
Unidade 1 - Introdução | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
profile on
profile viewer Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).
|
Unidade 2 - Filtros IIR
Unidade 2 - Filtros IIR | |||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.
%%Definição do filtro
% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1]; % Numerador
a = [1 1 5]; % Denominador
% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a)
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);
%% Obtendo a resposta em frequência
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);
% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência utilizam os polinômios de Butterworth mostrados na tabela a seguir:
Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica: Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como: O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva: Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos: Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre . Figura 2.1 - Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio
Figura 2.2 - Resposta de magnitude de filtro protótipo Chebyshev
Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP.
%% Projeto de filtro passa-alta (HP) usando funções do Matlab
Wp = 150; % rad/s
Ws = 40; % rad/s
Rp = 3; % dB
Rs = 60; % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
[b,a] = butter(n,Wn,'high','s');
[h,w] = freqs(b,a,logspace(1,3,1000));
semilogx(w,20*log10(abs(h)));grid on;
hold on; plot([Wp Wn Ws],[-Rp -3 -Rs],'x'); hold off;
title(sprintf('Filtro HP Butterworth, n = %d',n))
%% Projeto de filtro passa-faixa (BP) usando funções do Matlab
Wp = [100 200]; % rad/s
Ws = [50 250]; % rad/s
Rp = 3; % dB
Rs = 40; % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a,logspace(1,3,1000))
title(sprintf('Filtro BP Butterworth, n = %d',n))
%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab
%% Especificações do filtro
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo
%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');
%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');
%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');
%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');
fa = 200;
fN = fa/2;
wo = 60/fN; bw = 10/fN;
[b,a] = iirnotch(wo,bw);
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
fa = 8000;
fN = fa/2;
wo = 941/fN; bw = 100/fN;
[b,a] = iirpeak(wo,bw);
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
fa = 8000; fN = fa/2;
fo = 1000; bw = 20/fN;
[b,a] = iircomb(fa/fo,bw,'peak'); % ou use a flag 'notch'
fvtool(b,a);
syms z;
N(z) = poly2sym(b,z);
D(z) = poly2sym(a,z);
H(z) = N(z)/D(z);
pretty(vpa(H(z),3))
|
Unidade 3 - Filtros FIR
Unidade 3 - Filtros FIR | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR filtro FIR causal de ordem n mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças: Pode-se notar que a saída do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo a estrutura: A determinação da resposta ao impulso do filtro pode ser feita substituindo a entrada por . O resultado é , e portanto a resposta ao impulso tem duração igual ao número de coeficientes N+1 (onde N é a ordem do filtro). Esse é o motivo pelo qual o filtro tem o nome de filtro de resposta ao impulso finita (FIR - Finite Impulse Response). O filtro também recebe nomes como filtro transversal, Filtro não recursivo, filtro de média móvel, e tapped delay filter (torneira com atrasos?). A função de transferência também pode ser descrita como: Algumas vantagens que os filtros FIR tem sobre os IIR: 1. É possível projetar FIR com fase linear, ou seja atraso de grupo constante. Esses filtros são desejáveis na transmissão de sinais digitais.
2. As amostras da resposta ao impulso são os coeficientes do filtros , e portanto não precisam ser calculadas. 3. Os FIR são sempre estáveis pois tem todos os polos na origem. Também é consequência de não ter realimentação. Por isso também não tem ciclo limite que surge nos filtros IIR como resultado da resposta ao impulso de duração infinita associada a representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits. 4. O efeito da representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits, na resposta de frequência e resposta no domínio do tempo é menor que nos IIR.
Os filtros de fase linear possuem algumas propriedades (respostas em frequência possíveis, distribuição dos zeros em simetria quadrantal), conforme é mostrado a seguir.
N = 10;
bi = 2*(rand(1,N)-0.5)
%% Tipo I - LP, HP, BS, BP
b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)];
fvtool(b,1);
%% Tipo II - LP, BP
% tem um zero em -1
b = [bi flip(bi)];
fvtool(b,1);
%% Tipo III - BP
% tem um zero em 1 e -1
b = [bi 0 -flip(bi)];
fvtool(b,1);
%% Tipo IV - BP, HP
% tem um zero em 1
b = [bi -flip(bi)];
fvtool(b,1);
FIR - Filtros de fase linear
Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem par (N=6) Se ele apresenta simetria dos coeficientes , e , temos que: Para obter a resposta em frequência , substituímos . Aplicando a identidade , obtemos que: Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real , e uma fase linear igual a , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem par: Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é , metade da ordem N do filtro.
Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem impar (N=5) Se ele apresenta simetria dos coeficientes , e , temos que: Para obter a resposta em frequência: Aplicando a identidade , obtemos que: Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real , e uma fase linear igual a , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem impar: Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é , metade da ordem N do filtro.
Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem par (N=6) Se ele apresenta simetria dos coeficientes , , e , temos que: Para obter a resposta em frequência , substituímos . Aplicando a identidade , e que obtemos que: Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real , e uma fase linear igual a , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem par: Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é , metade da ordem N do filtro.
Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem impar (N=5) Se ele apresenta simetria dos coeficientes , e , temos que: Para obter a resposta em frequência: E portanto Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real , e uma fase linear igual a , e portanto o atraso de grupo é , que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem impar: Na qual se percebe que a fase linear é igual a , e portanto o atraso de grupo é , metade da ordem N do filtro.
Como mostrado acima, os filtros que exibem simetria ou antissimetria em seus coeficientes (ou resposta ao impulso), apresentam fase linear (ou atraso de grupo constante). Também foi mostrado que o atraso de grupo é igual a N/2 onde N é a ordem do filtro. Foi demonstrado por Rabiner *** que apenas esses quatro tipos de filtro FIR possuem essa característica, portanto pode-se afirma que "Se e somente se o filtro FIR possui coeficientes simétrico ou antisimétricos ele possui fase linear". Em relação a posição dos zeros, é possível verificar que cada zero sobre o circulo unitário produz uma resposta de magnitude nula na frequencia angular correspondente e um salto de fase de . N = 5;
bi = 2*(rand(1,N)-0.5)
b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)];
[h,w] = freqz(b,1,'whole');
figure(1);
subplot(421);
plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('magnitude - dB');
subplot(423);
plot(w/pi,angle(h)/pi); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi');
subplot(425);
plot(w/pi,unwrap(angle(h))/pi); grid on;
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi');
subplot(427); grpdelay(b,1);
xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('atraso de grupo - amostras');
subplot(4,2,[2,4,6,8]); zplane(b,1);
xlabel('real'); ylabel ('imaginario');
Também devido a existência (ou não) de zeros em e , que corresponde a frequência de Nyquist , mostramos que a resposta de magnitude nessas frequencias é nula (ou não). Assim os tipos 1, 2, 3 e 4 de filtros FIR resultam em:
Essa característica é importante conhecer antecipadamente pois implicará no número de coeficientes e na escolha do tipo de (anti)simetria. Por exemplo para filtro BS apenas o Tipo 1 pode ser usado. Outra propriedade a ser destacada é em relação aos zeros do filtro. Em primeiro vamos analisar a consequencia da simetria nos coeficientes : fazendo na segunda equação N-n = m, temos que os limites n = 0 -> m = N, e n = N -> m = 0. Com a mesma análise para antissimetria nos coeficientes : Nessas duas equações é possível perceber que se é um zero então também será um zero de . No caso de zeros reais, se temos um zero então também é um zero, exceto se ou . Por outro lado, se todos os coeficientes b(n) do filtro são reais, então os zeros complexos, aparecem em pares complexos conjugados e , e seus reciprocos e também são zeros de . Esse tipo de disposição dos zeros denominamos de simetria quadrantal. FONTE:
Usando a representação dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, com frequências de corte e ganho unitário na banda de passagem e ganho zero na banda de rejeição, e considerando que a magnitude das respostas em frequência é uma função periódica em , e conhecendo as equações de síntese e análise de um sinal (ou sistema) onde É possível coeficientes da série de Fourier de filtros ideais: LP, HP, BP, BS
De modo semelhante é possível obter os coeficientes dos filtros HP, BP e BS.
onde sabe-se que , ou seja para e para .
Diferentemente do que se espera, a função sinc(x) é diferente de sin(x)/x, sendo igual a sin(pi*x)/(pi*x). Veja o help do próprio Matlab. sinc Sin(pi*x)/(pi*x) function. sinc(X) returns a matrix whose elements are the sinc of the elements of X, i.e. y = sin(pi*x)/(pi*x) if x ~= 0 = 1 if x == 0 where x is an element of the input matrix and y is the resultant output element. % Example of a sinc function for a linearly spaced vector: t = linspace(-5,5); y = sinc(t); plot(t,y); xlabel('Time (sec)');ylabel('Amplitude'); title('Sinc Function') See also square, sin, cos, chirp, diric, gauspuls, pulstran, rectpuls, and tripuls. Reference page in Help browser doc sinc
Aplicando a equação de síntese da série obtemos: Note que esta função tem um máximo em , e cruza o zero em , portanto a lagura do lóbulo central é de . Além disso percebe-se que se aumentamos o tamanho da janela retangular (2M+1), a largura do lóbulo central é reduzida proporcionalmente. Ao fazer o "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier da resposta em frequência do filtro ideal, estamos multiplicando a série de coeficientes pelo janela retangular , conforme mostra a figura a seguir. Essa multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma convolução no domínio da frequência. A qual é mostrada graficamente na figura a seguir.
L = 64;
wvtool(rectwin(L), triang(L), bartlett(L), hann(L), hamming(L), blackman(L), blackmanharris(L), nuttallwin(L));
Use o código abaixo e verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso, posição dos zeros no plano z, etc.
N = 32;
wc = 0.5; M = N/2;
CLP = wc*sinc(wc*(-M:M));
bRET = CLP;
bHAM = CLP.*hamming(2*M+1)';
bBLACK = CLP.*blackman(2*M+1)';
fvtool(bRET,1,bHAM,1,bBLACK,1);
legend('rectwin', 'Hamming', 'Blackman');
ylim([-0.1 0.1])
wp = 0.2*pi; Ap = 1 dB; Gp = 0 dB ws = 0.4*pi; As = 40 dB;
Projetar um filtro HP usando uma janela temporal fixa (hamming, bartlett-hanning, hanning). ws = 0.4*pi; Ap = 0.2 dB; Gp = 0 dB wp = 0.6*pi; As = 50 dB; Comparar os 3 tipos de janela, a ordem obtida, e o valor de wc em cada projeto.
Dados acima obtidos para um filtro passa baixas de ordem N = 64 com , mas podem ser utilizados para estimativa de atenuação e ordem em outros filtros.
No Matlab, além das funções que calculam as janelas, já mencionadas anteriormente, também tem a função fir1 que implementa os passos descritos anteriormente, calculando os coeficientes da série de Fourier dos filtros ideais LP, HP, BP ou BS, e aplica a janela indicada. O uso dessa função simplifica o projeto. N = <ordem>
h_fir = fir1(N,Wn,hamming(N+1));
[Hw,w] =freqz(h_fir);
plot(w/pi,20*log10(abs(Hw)))
title(['hamming N = ' num2str(N)])
%fvtool(h_fir,1)
Projetar os filtros LP, HP e BP de acordo com as especificações dadas para o projeto de filtro IIR na AE1 - Projeto de Filtro Analógico e Filtro Digital IIR, considerando uma frequência de amostragem fa > que 2 * fmax especificada. Faça seu projeto usando 3 janelas fixas diferentes. Compare os filtros FIR obtidos com os filtros IIR, considerando, resposta em frequência, fase, atraso de grupo, estabilidade, procedimento de projeto, exatidão dos cálculos x ajuste de parâmetros, duração da resposta ao impulso.
L = 64;
r = 60; % Chebyshev e Tukey
alpha = 3; % Gauss
betha = 8; % Kaiser
nbar = 10; % Taylor
wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r));
Para a janela de Kaiser, a estimação do fator e da ordem do filtro são obtidos por:
onde é a atenuação do lóbulo lateral e é a largura da banda de transição em rad/amostra. A janela de Kaiser é definida por:
onde : é a função de Bessel de ordem zero [2] Utilizando o Matlab é possível estimar esses valores utilizando a função kaiserord. Exemplo da obtenção de um filtro passa baixa com , , atenuação de 40 dB na "stopband" %% Calculo do filtro de kaiser, sem ajustes
% Especificaçao
fsamp = 8000;
fcuts = [1000 1500];
Ap = 1;
As = 40;
ftype = 'low';
fN = fsamp/2;
wp = fcuts(1)/fN;
ws = fcuts(2)/fN;
Dw = abs(ws-wp);
% Calculo da janela de Kaiser
beta = 0.5842*(As-21)^0.4+0.07886*(As-21);
n = ceil((As-8)/(2.285*Dw*pi)+1);
Wn = (wp+ws)/2;
wkaiser = kaiser(n+1,beta);
Forma alternativa de projeto usando a função kaiserord fsamp = 8000;
fcuts = [1000 1500];
Ap = 1;
As = 40;
mags = [1 0];
devs = [1-10^(-Ap/20) 10^(-As/20)];
[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs,fsamp);
wkaiser = kaiser(n+1,beta);
h_fir = fir1(n,Wn,ftype,wkaiser,'noscale');
A partir das especificações do filtro é possível obter um projeto usando a função fir1. Essa função basicamente aplica o método da janela ao filtro ideal especificado pela(s) frequência(s) de corte . h_fir = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale');
[Hw,w] =freqz(h_fir);
plot(w*fsamp/2/pi,20*log10(abs(Hw)))
title(['Kaiser filter N = ' num2str(n)])
%fvtool(h_fir,1)
Como resultado do projeto a partir das equações de Kaiser é obtido o filtro abaixo: No entanto realizando ajustes tanto do ganho no topo , na largura da banda de transição , e na ordem do filtro , é possível reduzir essa ordem obtendo o filtro abaixo: L = 64;
r = 60; % Chebyshev e Tukey
alpha = 3; % Gauss
betha = 8; % Kaiser
nbar = 10; % Taylor
wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r));
Digital Filters with Linear Phase].
fa = 8000;
Ap = 1;
Ar = 40;
fp = 1000;
fr = 1500;
f = [fp fr];
a = [1 0];
dev = [(10^(Ap/20)-1)/(10^(Ap/20)+1) 10^(-Ar/20)];
[n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fa);
b = firpm(n,fo,ao,w);
[h,w] = freqz(b,1,1024,fa);
plot(w, 20*log10(abs(h))); hold on;
plot([0 fr fr fa/2], [Ap/2 Ap/2 -Ar -Ar],':m')
plot([0 fp fp], [-Ap/2 -Ap/2 -(Ar+30)],':m');
ylim([-(Ar+30) Ap/2+10])
%% Projetar o filtro passa baixas
fp = 1200 Hz;
fs = 1380 Hz;
fa = 8000 Hz;
Ap = 1 dB;
Ar = 50 dB;
%% Projetar o filtro passa altas
fs = 1200 Hz;
fp = 1380 Hz;
fa = 8000 Hz;
Ap = 1 dB;
Ar = 50 dB;
%% Projetar o filtro passa faixa
fs1 = 800 Hz;
fp1 = 900 Hz;
fp2 = 1000 Hz;
fs2 = 1300 Hz;
fa = 8000 Hz;
Ap = 1 dB;
Ar = 50 dB;
%% Projetar o filtro rejeita faixa
fp1 = 800 Hz;
fs1 = 900 Hz;
fs2 = 1000 Hz;
fp2 = 1300 Hz;
fa = 8000 Hz;
Ap = 1 dB;
Ar = 50 dB;
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Unidade 4 - Realização de Filtros
Unidade 4 - Realização de Filtros |
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Para exemplificar as diferentes realizações utilizaremos com base um filtro de ordem 4 representado pela função de transferência
Figura 4.1 - Realização de filtros FIR na Forma Direta
Figura 4.2 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta Figura 4.3 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta
Os filtros FIR de fase linear podem ser com coeficientes simétricos (tipo I e II) ou antissimétricos (tipo III e IV).
Figura 4.4 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico I
Figura 4.5 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico II
Figura 4.6 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico III
Figura 4.7 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico IV
Figura 4.8 - Separação do filtro IIR H(z) em H1(z) e H2(z)
Figura 4.9 - Realização de filtros IIR na Forma Direta I
Figura 4.10 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II
Figura 4.11 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II Canônica
Figura 4.12 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta I Figura 4.13 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta II
Fs = 30000; % Sampling Frequency
Fpass = 12000; % Passband Frequency
Fstop = 13000; % Stopband Frequency
Dpass = 0.01; % Passband Ripple
Dstop = 0.01; % Stopband Attenuation
flag = 'scale'; % Sampling Flag
% Calculate the order from the parameters using KAISERORD.
[N,Wn,BETA,TYPE] = kaiserord([Fpass Fstop]/(Fs/2), [1 0], [Dstop Dpass]);
% Calculate the coefficients using the FIR1 function.
b = fir1(N, Wn, TYPE, kaiser(N+1, BETA), flag);
hFIR = dsp.FIRFilter;
hFIR.Numerator = b;
% Para definir diretamente os coeficientes
realizemdl(hFIR)
% Para definir os coeficientes através de uma matriz de entrada
realizemdl(hFIR,'MapCoeffsToPorts','on');
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Unidade 5 - Projeto Final
Unidade 5 - Projeto Final | ||||||||||||||||||
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Uso do Simulink para processamento de sinais
Figura 5.1 - Definição de Parâmetros no Simulink
edit hdlsetup.m
Figura 5.6 - Divisão HDL_DUT e testbench Figura 5.7 - Subsistema HDL_DUT
hdlsetup('nome_modelo')
cd hdl_prj/hdlsrc/hdlcoder_simple_up_counter/
do HDL_DUT_compile.do
do HDL_DUT_tb_compile.do
do HDL_DUT_tb_sim.do Figura 5.8 - Subsistema HDL_DUT simulado no Simulink Figura 5.9 - Subsistema HDL_DUT simulado no Modelsim
** Note: **************TEST COMPLETED (PASSED)************** Orientação sobre o Projeto Final
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Referências
- ↑ 1,0 1,1 1,2 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822