- Aula 9 (12 mar)
- Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos
-
![{\displaystyle H(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}},m\leq n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c50164f031db80ea3bed01e855b8d4144399c2)
- Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar
![{\displaystyle H(j\omega )=H(s)\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c33ec5e4fc8d5ec3f6ac02f7de1306738fc9d96)
![{\displaystyle H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{j\phi (\omega )}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d732cdf46882cdfd9263bf36ee3df6bc3a09d3ff)
![{\displaystyle \left|H(j\omega )\right|^{2}=H(j\omega )H(-j\omega )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904da0197cd0e2e74aea378bf3dbbf9572b68ff7)
![{\displaystyle e^{j2\phi (\omega )}={\frac {H(j\omega )}{H(-j\omega )}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed95e15fec0e1df90daf1cf09e81f7b0591f034)
- O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:
- projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado
com frequência de passagem ![{\displaystyle \Omega _{s}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81458dfd80f1cf12371297025c012da2309c1c20)
- transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS)
![{\displaystyle H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p=g(s)\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374d921e57d88b0318de22a20fef2c03b49e4142)
Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.
- No entanto, antes de projetar filtros, vejamos a análise básica de filtros analógicos utilizando o Matlab.
- Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência
, obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase).
![{\displaystyle H(s)={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034596658f351d0bd32ca9ad1e73b07488eb46e0)
![{\displaystyle H(j\omega )={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4529d7c6ca042213bb9ee2be1933984dca9fd5)
![{\displaystyle H(j\omega )={\frac {1+w\,\mathrm {i} }{-w^{2}+w\,\mathrm {i} +5}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f2fba990851706ef38ac4e00b22ac143ec3d86)
%%Definição do filtro
% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1]; % Numerador
a = [1 1 5]; % Denominador
% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a)
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);
%% Obtendo a resposta em frequência
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);
% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
- Para aproximação de magnitude de filtros analógicos o projeto pode usar as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) ou Cauer, mostradas na figura abaixo.
- Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth
Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência utilizam os polinômios de Butterworth mostrados na tabela a seguir:
n |
Fatores Polinomiais de
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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- Proposta de exercício
- Use os polinômios de Butterworth com ordens de 1 a 10 mostrados na tabela abaixo para obter os filtros .
- Escolha uma ordem n (entre 5 e 10)
- Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi).
- Qual é o ganho do filtro na banda passante?
- Qual é a frequência de corte (-3dB) do filtro.
- Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências?
- Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte?
- Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro.
- Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro.
- Calcule o valor do módulo dos pólos.
INÌCIO DAS AULAS REMOTAS
- Aula 10 e 11 (26 e 30 mar)
- Projeto de filtros analógicos LP protótipo
- Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando:
é a frequência de passagem, é a atenuação em dB na frequência de passagem, é a frequência de stopband, é a atenuação em dB na frequência de stopband.
- Escalando as frequências em relação a
, teremos que , e são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo , que tem ganho unitário e frequência de passagem 1.
- Casos em que o ganho na banda de passagem é
![{\displaystyle A_{p}=3dB}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fa4b2c9b01f55ac252867307117f958d5a4b1c)
- Considerando o caso de filtro Butterworth com frequência de passagem
e frequência de stopband (rejeição) de , com ganho unitário em ![{\displaystyle {\Omega =0}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80000691bd11a3b1dcc11a1c9f83598d3ac67e04)
- Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser
, que corresponde a um ganho (em escala log) , ou atenuação .
- Obtemos o fator
, ou , para temos que . Esse fator no caso dos filtros com essa atenuação acaba desaparecendo das equação de projeto. Para atenuações diferentes de 3 dB, ele ajusta a magnitude dos pólos, e afeta a ordem do filtro.
- Os passos para projetar um filtro analógico Hs(s) são:
- 0) fazer a normalização da frequência e do ganho.
, e para o caso de filtros LP.
, .
- 1) determinar a ordem
do filtro utilizando a equação:
![{\displaystyle n\geq {\frac {\log(10^{0.1A_{s}}-1)}{2\log \Omega _{s}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe46838d612cb8c3d2655a1187db628dffbf9138)
- 2) e em seguida obter os polos do filtro:
![{\displaystyle p_{k}=e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e57e07651290d1e23c546bd09becd1e13dcc07)
- 3) Com os pólos
botem-se o denominador da função de transferência do filtro.
- 4) E assim obtém-se a função de transferência do filtro protótipo
![{\displaystyle H(p)={\frac {1}{D(p)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e617458bf0e7abfb1638f74dd350f28434e9ca11)
- 5) Para obter a função de transferência do filtro analógico LP é necessário fazer uma transformação de frequência
![{\displaystyle H(p)->H(s)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e30f0963d3dfa1c785557fb3c52d9150ca1b14c)
![{\displaystyle H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303aa141221be7fb76f44e91f36e20bc33a51fc3)
- 6) Se o ganho na frequência
não for unitário G0, é ainda necessário ajustar o ganho do filtro do fator de ganho. Considerando que o valor do Ganho G0 seja dado em dB, teremos que , ou seja ![{\displaystyle G_{0(linear)}=10^{G_{0(dB)}/20}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7320082e7c77e49ed7a4d5effaa2ecbd37495f82)
Exemplo Filtro LP Butterworth
|
Projete um filtro Butterworth LP com ganho em , frequência de passagem com ganho no mínimo de , frequência de rejeição de , na qual o ganho deve ser inferior a dB.
- Dados de
, passa-baixas (lowpass-LP)
![{\displaystyle \omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994b4b222188d251692e2d13c2682b5701b6b8df)
![{\displaystyle \omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb85667c980883b27e47475c488af1e56eb459)
![{\displaystyle G_{topo(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bb1543f601bcede6129cb8ac603220487ae9d)
![{\displaystyle G_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14141a737fd875ff6e66920f1146f3a1316fc2f8)
![{\displaystyle G_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36960e048dd17885b03a31336df009db89dd71b8)
- Especificações de
, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
![{\displaystyle \Omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93294a1294deb7d6843c6e9514800c733464121c)
![{\displaystyle \Omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3a8e39b097c7a2fe36cd0719759d836716350)
![{\displaystyle A_{0(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1836960944762b136bb5c8f0d083e7da0334f2ab)
![{\displaystyle A_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2e0f142fa5724c1a003eebef3cfee3cb8fc62e)
![{\displaystyle A_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e1833ed27f2204a43e0fcf74dbc0805e065ab5)
- Determinação de
![{\displaystyle Hp(p)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84ac9895cb3ba7a47435014fd3783950e2096a6)
![{\displaystyle \epsilon =}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454de4439f5aea776cd787f12696cf37092794ba)
![{\displaystyle n=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0251053187f28804265b4ee74b25b5d86e1bba)
![{\displaystyle p_{k}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5338759545362e6cde487a04ed9c5129c81d76f2)
![{\displaystyle D(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d886326e4447b611317fc19043384eeac28eae)
![{\displaystyle Hp(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2703a5c55726f2cd255b135e3407281385abaf1f)
- Determinação de
substituindo e corrigindo o ganho em ![{\displaystyle G_{topo}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426bfe94acea0aaabe8772e35f601bfad5288f04)
![{\displaystyle Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55337a31ab50a2222182766eaabf3226905a132c)
- Obtida a função de transferência
obtenha a resposta em frequência, substituindo ![{\displaystyle s=j*\omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f409feb522acbcffd0a6fda409049f43ba0e6)
- Obtenha a resposta em frequência, para
![{\displaystyle \omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf0c0c092dfdb2ac39c60c3221f6d3c8af528be)
- Plote o gráfico de
e , indicando a máscara de especificação do filtro.
|
- Aula 12 (2 abr)
- Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor
qualquer
- Teremos
, ou ![{\displaystyle \epsilon ^{2}=(10^{0.1A_{p}}-1)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f82d390e30732b350fcaa82bdf324eef202d42)
- Para projetar o filtro é necessário:
- 1) determinar a ordem
do filtro:
![{\displaystyle n\geq {\frac {\log[(10^{0.1A_{s}}-1)/\epsilon ^{2}]}{2\log \Omega _{s}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa878dd6bbe5a4d63ecda5c4e4dffe1e90e7ece)
- 2) obter os polos do filtro:
![{\displaystyle p_{k}=\epsilon ^{(-1/n)}e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d089a7333523020d18a5fc153299ffe65966e6d)
- 3) obter a função de transferência:
, onde e .
- NOTA: o valor
também pode ser obtido a partir de , pois corresponde ao último termo do polinômio .
- 4) No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado fazendo a transformação de frequência
![{\displaystyle H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303aa141221be7fb76f44e91f36e20bc33a51fc3)
Exemplo Filtro LP Butterworth
|
Projete um filtro Butterworth LP com ganho em , frequência de passagem com atenuação máxima de , frequência de rejeição de com atenuação mínima de .
- Dados de
, passa-baixas (lowpass-LP)
![{\displaystyle \omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994b4b222188d251692e2d13c2682b5701b6b8df)
![{\displaystyle \omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb85667c980883b27e47475c488af1e56eb459)
![{\displaystyle G_{topo(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bb1543f601bcede6129cb8ac603220487ae9d)
![{\displaystyle G_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14141a737fd875ff6e66920f1146f3a1316fc2f8)
![{\displaystyle G_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36960e048dd17885b03a31336df009db89dd71b8)
- Especificações de
, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
![{\displaystyle \Omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93294a1294deb7d6843c6e9514800c733464121c)
![{\displaystyle \Omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3a8e39b097c7a2fe36cd0719759d836716350)
![{\displaystyle G_{0(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d0aad7c02d3210c831a61628824b365d3ee3e3)
![{\displaystyle A_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2e0f142fa5724c1a003eebef3cfee3cb8fc62e)
![{\displaystyle A_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e1833ed27f2204a43e0fcf74dbc0805e065ab5)
- Determinação de
![{\displaystyle Hp(p)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84ac9895cb3ba7a47435014fd3783950e2096a6)
![{\displaystyle \epsilon =}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454de4439f5aea776cd787f12696cf37092794ba)
![{\displaystyle n=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0251053187f28804265b4ee74b25b5d86e1bba)
![{\displaystyle p_{k}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5338759545362e6cde487a04ed9c5129c81d76f2)
![{\displaystyle D(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d886326e4447b611317fc19043384eeac28eae)
![{\displaystyle Hp(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2703a5c55726f2cd255b135e3407281385abaf1f)
- Determinação de
substituindo e corrigindo o ganho em ![{\displaystyle G_{topo}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426bfe94acea0aaabe8772e35f601bfad5288f04)
![{\displaystyle Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55337a31ab50a2222182766eaabf3226905a132c)
- Obtida a função de transferência
obtenha a resposta em frequência, substituindo ![{\displaystyle s=j*\omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f409feb522acbcffd0a6fda409049f43ba0e6)
- Obtenha a resposta em frequência, para
![{\displaystyle \omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf0c0c092dfdb2ac39c60c3221f6d3c8af528be)
- Plote o gráfico de
e , indicando a máscara de especificação do filtro.
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- Aula 13 (6 abr)
- Polinômios Chebyshev de primeira ordem
Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica:
![{\displaystyle C_{n}(\Omega )=cos(ncos^{-1}(\Omega ))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc82383991ba90474c3d064f4f3eab4ad08e21e)
Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como:
![{\displaystyle C_{0}(\Omega )=cos(0\times cos^{-1}(\Omega ))=cos(0)=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64004d1ffde8f06e0a0594b4c49ce203d304496)
![{\displaystyle C_{1}(\Omega )=cos(1\times cos^{-1}(\Omega ))=\Omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ee277c7206d379722b8830be433d55043201f5)
O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva:
![{\displaystyle C_{n}(\Omega )=2\times \Omega \times C_{n-1}(\Omega )-C_{n-2}(\Omega )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f490413c79bf0a6b492b134d9dbb2da73005d3d)
Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por
![{\displaystyle C_{2}(\Omega )=2\times \Omega \times C_{1}(\Omega )-C_{0}(\Omega )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b20bf7522ac0fd339c6f30056e274413de34628)
![{\displaystyle C_{2}(\Omega )=2\times \Omega \times \Omega -1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ebb3c9f1674dd7b5d650d7dcee89f2d3ecf898)
![{\displaystyle C_{2}(\Omega )=2\Omega ^{2}-1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeebf81f3b0239b4003699d41392059ce9e5375d)
Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos:
![{\displaystyle C_{0}(\Omega )=1\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19777ec97e1b4bdacfcb684f409a252ee69f982)
![{\displaystyle C_{1}(\Omega )=\Omega \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13fac4607ae6509f6c7026909985229f59c12aa)
![{\displaystyle C_{2}(\Omega )=2\Omega ^{2}-1\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5299951cef97491f1d782fd35f70a3293ff8a7db)
![{\displaystyle C_{3}(\Omega )=4\Omega ^{3}-3\Omega \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19a13ec43b60aa4d9da25a553eac432d84e6912)
![{\displaystyle C_{4}(\Omega )=8\Omega ^{4}-8\Omega ^{2}+1\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d749564107d404b0b0fc86912e648091d1af3f2)
![{\displaystyle C_{5}(\Omega )=16\Omega ^{5}-20\Omega ^{3}+5\Omega \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034cad84986adec3eb133dae982ac1d615a413db)
![{\displaystyle C_{6}(\Omega )=32\Omega ^{6}-48\Omega ^{4}+18\Omega ^{2}-1\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c865db8746287715793fe5e30c92a99de561b5)
![{\displaystyle C_{7}(\Omega )=64\Omega ^{7}-112\Omega ^{5}+56\Omega ^{3}-7\Omega \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda3c62e0b4987746d25c51825e53a068168070)
![{\displaystyle C_{8}(\Omega )=128\Omega ^{8}-256\Omega ^{6}+160\Omega ^{4}-32\Omega ^{2}+1\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc38ce9d013d9cc646db498ee557e63dd791b586)
Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre .
![ChebyshevGraph.png](/images/b/bf/ChebyshevGraph.png)
- Figura: Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio
![{\displaystyle -1<\Omega <1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45ea6c5191572b5e4b19f70fc61a8ced1fda0d2)
FONTE: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia
- Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I
- Determine a ordem mínima necessária considerando:
é a frequência de passagem do filtro LP, é a atenuação em dB na frequência de passagem, é a frequência de stopband do filtro, é a atenuação em dB na frequência de stopband, , são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo.
![{\displaystyle n\geq {\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {(10^{0.1A_{s}}-1)/\epsilon ^{2}}}}{\cosh ^{-1}\Omega _{s}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fc5563b2b81c4b10b8b0c9c15142238aa432df)
- onde
ou .
- Obtenha os polos do filtro:
,
- onde
e ![{\displaystyle \varphi _{2}={\frac {1}{n}}\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d40622b160bb5f3aa26fe32d539476dd0a234b)
- Para obter a função de transferência:
, onde ![{\displaystyle D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e38480e75a0e94142f5bd355dbe1e7c29b13e44)
- onde
![{\displaystyle H_{0}=H(0)\times d_{0}=\left\{{\begin{matrix}d_{0}&{\text{para}}&n&{\text{impar}}\\{\frac {d_{0}}{\sqrt[{}]{1+\epsilon ^{2}}}}&{\text{para}}&n&{\text{par}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787552d7710b384429ff73a3a6eef75461bba3b0)
é o último termo do denominador ![{\displaystyle D(p)=d_{n}p^{n}+d_{n-1}p^{n-1}+\cdots +d_{1}p+d_{0}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b4b8a686f8faff299981a844ec7f589cc32319)
![{\displaystyle \left|H(0)\right|^{2}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{para}}&n&{\text{impar}}\\{\frac {1}{1+\epsilon ^{2}}}&{\text{para}}&n&{\text{par}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e0dc4029a92071c7855c9555356a02d07e53c6)
, onde ![{\displaystyle 20log10(\left|H(1)\right|)=A_{p}(dB)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51baa6adbb2052c6c027a76c2a471cac89d60688)
- Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS
Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP.
- Transformações de frequência de filtros analógicos
- passa-baixas (
) -> passa-baixas ( )
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6d1146714ea265408ba7ed1227937bc26da56e)
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {s}{\omega _{p}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78a23f3d84564e812cc0a5937f220f259acb2d9)
- passa-baixas (
) -> passa-altas ( )
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86ed2f4e3e04b2ecfbe622593f9e1ab6d34c4a4)
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {\omega _{p}}{s}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d821082c58836b6a4b15564b568b89f1e2258ac)
- passa-baixas (
) -> passa-faixa ( e )
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}{B\omega _{s}}}{\Bigg |}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2da914449ae73a04711a9599bb60bea93a34560)
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{Bs}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d012475350ee5b88b927d4721af1b7b1313c788)
- onde
e ![{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da00858a94ebf5199697ff06ed9810f6de79fe5)
- passa-baixas (
) -> rejeita-faixa ( e )
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\omega _{s}}{-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}}{\Bigg |}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8c3fa1d1b162a5511ad824b2eea236d3e4f906)
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {Bs}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7480e1dad50dea991a2fcbe1923d0fd2e35fd38d)
- onde
e ![{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da00858a94ebf5199697ff06ed9810f6de79fe5)
- Aula 14 (9 abr)
Exemplo Filtro HP Chebyshev I
|
Projete um filtro Chebyshev I HP com ganho em , frequência de rejeição com atenuação mínima de , frequência de passagem de com atenuação máxima de .
- Dados de
, passa-altas (highpass-HP)
![{\displaystyle \omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994b4b222188d251692e2d13c2682b5701b6b8df)
![{\displaystyle \omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb85667c980883b27e47475c488af1e56eb459)
![{\displaystyle G_{topo(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bb1543f601bcede6129cb8ac603220487ae9d)
![{\displaystyle G_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14141a737fd875ff6e66920f1146f3a1316fc2f8)
![{\displaystyle G_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36960e048dd17885b03a31336df009db89dd71b8)
- Especificações de
, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
![{\displaystyle \Omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93294a1294deb7d6843c6e9514800c733464121c)
![{\displaystyle \Omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3a8e39b097c7a2fe36cd0719759d836716350)
![{\displaystyle A_{0(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1836960944762b136bb5c8f0d083e7da0334f2ab)
![{\displaystyle A_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2e0f142fa5724c1a003eebef3cfee3cb8fc62e)
![{\displaystyle A_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e1833ed27f2204a43e0fcf74dbc0805e065ab5)
- Determinação de
![{\displaystyle Hp(p)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84ac9895cb3ba7a47435014fd3783950e2096a6)
![{\displaystyle \epsilon =}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454de4439f5aea776cd787f12696cf37092794ba)
![{\displaystyle n=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0251053187f28804265b4ee74b25b5d86e1bba)
![{\displaystyle p_{k}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5338759545362e6cde487a04ed9c5129c81d76f2)
![{\displaystyle D(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d886326e4447b611317fc19043384eeac28eae)
![{\displaystyle d_{0}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a568509c9242b6b1ee10b5a0e5be92374e52b41)
![{\displaystyle H_{0}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910124fa07abd88f72222271f4fe459adbc8f8cc)
![{\displaystyle Hp(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2703a5c55726f2cd255b135e3407281385abaf1f)
- Determinação de
HP substituindo e corrigindo o ganho em ![{\displaystyle G_{topo}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426bfe94acea0aaabe8772e35f601bfad5288f04)
![{\displaystyle Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55337a31ab50a2222182766eaabf3226905a132c)
- Obtida a função de transferência
obtenha a resposta em frequência, substituindo ![{\displaystyle s=j*\omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f409feb522acbcffd0a6fda409049f43ba0e6)
- Obtenha a resposta em frequência, para
![{\displaystyle \omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf0c0c092dfdb2ac39c60c3221f6d3c8af528be)
- Plote o gráfico de
e , indicando a máscara de especificação do filtro.
|
- Aula 15 (13 abr)
- [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') Encontra a menor ordem n é a frequência de corte Wn para um filtro Butterworth analógico, com ripple na banda passante (bandpass) menor que Rp dB e atenuação na banda de rejeição (stopband) pelo menos de Rs dB. As frequências angulares Wp e Ws são dadas em rad/s. Se Wp e Ws são escalares, o filtro será um LP ou HP. Se Wp e Ws forem vetores, o filtro será um BP ou BS.
- [b,a] = butter(n,Wn,ftype,'s') Projeta o filtro Butterworth analógico LP, HP, BP ou BS com frequência angular de corte Wn, dependendo do valor de ftype e do número de elementos de Wn.
%% Projeto de filtro passa-alta (HP) usando funções do Matlab
Wp = 150; % rad/s
Ws = 40; % rad/s
Rp = 3; % dB
Rs = 60; % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
[b,a] = butter(n,Wn,'high','s');
[h,w] = freqs(b,a,logspace(1,3,1000));
semilogx(w,20*log10(abs(h)));grid on;
hold on; plot([Wp Wn Ws],[-Rp -3 -Rs],'x'); hold off;
title(sprintf('Filtro HP Butterworth, n = %d',n))
%% Projeto de filtro passa-faixa (BP) usando funções do Matlab
Wp = [100 200]; % rad/s
Ws = [50 250]; % rad/s
Rp = 3; % dB
Rs = 40; % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a,logspace(1,3,1000))
title(sprintf('Filtro BP Butterworth, n = %d',n))
- [n,Wp] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with cutoff angular frequencies Wp.
- [b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with passband edge angular frequency Wp and Rp decibels of passband ripple.
- [n,Ws] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with cutoff angular frequencies Ws.
- [b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with stopband edge angular frequency Ws and Rs decibels of stopband attenuation.
- [n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite.
- [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wp,ftype, 's') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog elliptic filter with passband edge angular frequency Wp, Rp decibels of passband ripple, and Rs decibels of stopband attenuation.
- Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n.
- Note: See Limitations [1] for information about numerical issues that affect forming the transfer function.
- Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab.
%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab
%% Especificações do filtro
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo
%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');
%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');
%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');
%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');
- Ver pag. 204 a 208 de [2]
- Aula 16 (16 abr)
- Exemplos de Filtros Analógicos:
- Exemplo 1: Filtro passa-baixas (
= 941Hz, = 1209 Hz, = 1 dB, = 20 dB)
- Exemplo 2: Filtro passa-altas (
= 1209 Hz, = 941Hz, = 1 dB, = 20 dB)
- Exemplo 3: Filtro passa-faixa (
= 770 Hz, = 811 Hz, = 895,5 Hz, = 1209 Hz, = 1 dB, = 30 dB, = 5 dB).
- Exemplo 4: Filtro rejeita-faixa (
= 53 Hz, = 58 Hz, = 62 Hz = 67 Hz, = 2 dB, = 25 dB)
- NOTA:
- No calculo do filtro lembre-se de usar as frequências angulares para
, , , .
- onde
( ) é a frequência de passagem em Hz (rad/s), ( ) é a frequência de rejeição em Hz (rad/s), ( ) é a frequência central em Hz (rad/s), ( ) é a largura de banda em Hz (rad/s).
- Confira os projetos dos filtros plotando as respostas em frequência dos filtros protótipo H(p) e filtro final H(s) de cada um dos exemplos.
- Comparar o uso das funções plot, stem, fplot, semilogx, semilogy.
- Estudar as funções auxiliares logspace, linspace, hold, grid, subplot, legend, xlabel, ylabel, title, text.
- Funções de transformação de frequência: lp2lp, lp2hp,lp2bp, lp2bs.
- Ver em IIR Filter Design, Special Topics in IIR Filter Design.
- Ver pag. 208 a 218 de [2]
ATUAL
- Aula 17 e 18 (23 e 28 abr)
- Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto
-
- Obter a especificação do filtro em angulo
entre 0 e 1, onde 1 corresponde a metade da frequência de amostragem , ou também o angulo ![{\displaystyle \pi }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Obter o valor desse angulo predistorcido
para compensar a distorção na frequência causada pela transformação bilinear , onde ![{\displaystyle \theta ={\frac {f}{f_{a}/2}}={\frac {\omega }{\omega _{a}/2}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56d0a60e8521daff7bfe193389960b64026fc7c)
- passa-baixas (
) -> passa-baixas ( )
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {s}{\lambda _{p}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55459c5536defcddd2b114f331f8c2ff22dce72f)
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\frac {\lambda _{s}}{\lambda _{p}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d63a1abefb77ef6aa0f84332d85ce30de7d91b)
- passa-baixas (
) -> passa-altas ( )
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {\lambda _{p}}{s}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29de7588e3232ebab08a5a1ec02778bbbb86c648)
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\frac {\lambda _{p}}{\lambda _{s}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e35f52c6634ee0dd9471776ff5fe057a39892e)
- passa-baixas (
) -> passa-faixa ( e )
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {s^{2}+\lambda _{0}^{2}}{Bs}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4c06041399ecf72ca5a87f6049b9081da81022)
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\lambda _{s}^{2}+\lambda _{0}^{2}}{B\lambda _{s}}}{\Bigg |}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab413ba47e5e2fe2f8828b646fb83a0f42e5b5a)
- onde
e ![{\displaystyle \lambda _{0}={\sqrt {\lambda _{p2}\lambda _{p1}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47aec25eb0db7f1d749b2f955b256ba003e318d8)
- passa-baixas (
) -> rejeita-faixa ( e )
- Substituição de variáveis
![{\displaystyle p={\frac {Bs}{s^{2}+\lambda _{0}^{2}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839368f06bed1922aec3df3a1f4462fe7f7805d)
- Cálculo do protótipo com
![{\displaystyle \Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\lambda _{s}}{-\lambda _{s}^{2}+\lambda _{0}^{2}}}{\Bigg |}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c09d23e4cc89ae1d46d2fb6f9eec1ce788ca8b6)
- onde
e
- Realizar os projetos dos exemplos anteriores, considerando uma frequência de amostragem de 8 kHz.
- Ver pag. 219 a 229 de [2]
- Ver pag. 403 a 415 e 434 a 435 de [1]
fvtool
Exemplo filtro digital BP IIR - transformação bilinear
|
Projete um filtro digital BP IIR com , frequências de passagem com ganho no mínimo de , frequências de rejeição de , na qual o ganho deve ser inferior a dB.
- Dados de
, passa-banda (band-pass - BP)
![{\displaystyle \theta _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843f4e2397844a10a1a1d29e428ebde28a5809ad)
![{\displaystyle \theta _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b12f4fd36e4486b533c16268739db77e97b637)
![{\displaystyle G_{topo(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bb1543f601bcede6129cb8ac603220487ae9d)
![{\displaystyle G_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14141a737fd875ff6e66920f1146f3a1316fc2f8)
![{\displaystyle G_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36960e048dd17885b03a31336df009db89dd71b8)
- Dados de
, passa-baixas (lowpass-LP)
![{\displaystyle \lambda _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba46f594e11d1e7cda76ebfed5bc54c7113e91c8)
![{\displaystyle \lambda _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d072b83c909e40881ede3939f5327dc06284c6ba)
![{\displaystyle G_{topo(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bb1543f601bcede6129cb8ac603220487ae9d)
![{\displaystyle G_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14141a737fd875ff6e66920f1146f3a1316fc2f8)
![{\displaystyle G_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36960e048dd17885b03a31336df009db89dd71b8)
- Especificações de
, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo
![{\displaystyle \Omega _{p}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93294a1294deb7d6843c6e9514800c733464121c)
![{\displaystyle \Omega _{s}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3a8e39b097c7a2fe36cd0719759d836716350)
![{\displaystyle A_{0(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1836960944762b136bb5c8f0d083e7da0334f2ab)
![{\displaystyle A_{p(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2e0f142fa5724c1a003eebef3cfee3cb8fc62e)
![{\displaystyle A_{s(dB)}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e1833ed27f2204a43e0fcf74dbc0805e065ab5)
- Determinação de
![{\displaystyle Hp(p)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84ac9895cb3ba7a47435014fd3783950e2096a6)
![{\displaystyle \epsilon =}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454de4439f5aea776cd787f12696cf37092794ba)
![{\displaystyle n=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0251053187f28804265b4ee74b25b5d86e1bba)
![{\displaystyle p_{k}=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5338759545362e6cde487a04ed9c5129c81d76f2)
![{\displaystyle D(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d886326e4447b611317fc19043384eeac28eae)
![{\displaystyle Hp(p)=}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2703a5c55726f2cd255b135e3407281385abaf1f)
- Determinação de
substituindo e corrigindo o ganho em ![{\displaystyle G_{topo}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426bfe94acea0aaabe8772e35f601bfad5288f04)
![{\displaystyle Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55337a31ab50a2222182766eaabf3226905a132c)
- Obtida a função de transferência
obtenha a resposta em frequência, substituindo ![{\displaystyle s=j*\omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f409feb522acbcffd0a6fda409049f43ba0e6)
- Obtenha a resposta em frequência, para
![{\displaystyle \omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf0c0c092dfdb2ac39c60c3221f6d3c8af528be)
- Plote o gráfico de
e , indicando a máscara de especificação do filtro.
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