PSD29007-Engtelecom(2020-1) - Prof. Marcos Moecke: mudanças entre as edições

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Alunos, Bolsistas, CST, Engenharia, G10, G2, G5, G6, G7, G9, Gt2, Professores, TAEs, Burocratas, Administradores
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| Equipe 1  
| Equipe 1  
| LP - (<math> f_1 </math> = 200 Hz; <math> f_2 </math> = 1000 Hz, Ap = 3 dB, As = 30 dB, <math> G_{topo} </math>= 10 dB, Butterworth)
| LP - (<math> f_1 </math> = 200 Hz; <math> f_2 </math> = 1000 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 30 dB, <math> G_{topo} </math>= 10 dB, Butterworth)
| HP - (<math> f_1 </math> = 200 Hz; <math> f_2 </math> = 1000 Hz, Ap = 1 dB, As = 30 dB, <math> G_{topo} </math> = -10 dB, Chebyshev 1)
| HP - (<math> f_1 </math> = 200 Hz; <math> f_2 </math> = 1000 Hz, <math> A_p </math> = 1 dB, <math> A_s </math> = 30 dB, <math> G_{topo} </math> = -10 dB, Chebyshev 1)
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
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| Equipe 2
| Equipe 2
| LP - (<math> f_1 </math> = 40 Hz; <math> f_2 </math> = 200 Hz, Ap = 3 dB, As = 20 dB, <math> G_{topo} </math> = 5 dB, Butterworth)
| LP - (<math> f_1 </math> = 40 Hz; <math> f_2 </math> = 200 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 20 dB, <math> G_{topo} </math> = 5 dB, Butterworth)
| HP - (<math> f_1 </math> = 40 Hz; <math> f_2 </math> = 200 Hz, Ap = 1 dB, As = 50 dB, <math> G_{tTopo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| HP - (<math> f_1 </math> = 40 Hz; <math> f_2 </math> = 200 Hz, <math> A_p </math> = 1 dB, <math> A_s </math> = 50 dB, <math> G_{tTopo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
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| Equipe 3  
| Equipe 3  
| LP - (<math> f_1 </math> = 20 Hz; <math> f_2 </math> = 100 Hz, Ap = 3 dB, As = 25 dB, <math> G_{topo} </math> = 1 dB, Butterworth)
| LP - (<math> f_1 </math> = 20 Hz; <math> f_2 </math> = 100 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 25 dB, <math> G_{topo} </math> = 1 dB, Butterworth)
| HP - (<math> f_1 </math> = 20 Hz; <math> f_2 </math> = 100 Hz, Ap = 2 dB, As = 60 dB, <math> G_{topo} </math> = -20 dB, Chebyshev 1)
| HP - (<math> f_1 </math> = 20 Hz; <math> f_2 </math> = 100 Hz, <math> A_p </math> = 2 dB, <math> A_s </math> = 60 dB, <math> G_{topo} </math> = -20 dB, Chebyshev 1)
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
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| Equipe 4  
| Equipe 4  
| LP - (<math> f_1 </math> = 10 Hz; <math> f_2 </math> = 60 Hz, Ap = 3 dB, As = 35 dB, <math> G_{topo} </math> = -5 dB, Butterworth)
| LP - (<math> f_1 </math> = 10 Hz; <math> f_2 </math> = 60 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 35 dB, <math> G_{topo} </math> = -5 dB, Butterworth)
| HP - (<math> f_1 </math> = 10 Hz; <math> f_2 </math> = 60 Hz, Ap = 2 dB, As = 45 dB, <math> G_{topo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| HP - (<math> f_1 </math> = 10 Hz; <math> f_2 </math> = 60 Hz, <math> A_p </math> = 2 dB, <math> A_s </math> = 45 dB, <math> G_{topo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
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| Equipe 5  
| Equipe 5  
| LP - (<math> f_1 </math> = 100 Hz; <math> f_2 </math> = 500 Hz, Ap = 3 dB, As = 40 dB, <math> G_{topo} </math> = -10 dB, Butterworth)
| LP - (<math> f_1 </math> = 100 Hz; <math> f_2 </math> = 500 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 40 dB, <math> G_{topo} </math> = -10 dB, Butterworth)
| HP - (<math> f_1 </math> = 100 Hz; <math> f_2 </math> = 500 Hz, Ap = 3 dB, As = 50 dB, <math> G_{topo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| HP - (<math> f_1 </math> = 100 Hz; <math> f_2 </math> = 500 Hz, <math> A_p </math> = 3 dB, <math> A_s </math> = 50 dB, <math> G_{topo} </math> = 10 dB, Chebyshev 1)
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BP1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  Ap =  dB, As = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
| BS1 - (<math> f_1 </math> =  Hz; <math> f_2 </math> =  Hz, <math> f_3 </math> =  Hz; <math> f_4 </math> =  Hz,  <math> A_p </math> =  dB, <math> A_s </math> = dB, <math> G_{topo} </math> =  dB)  
   
   
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Edição das 11h00min de 13 de abril de 2020

1 Registro on-line das aulas

1.1 Unidade 1

Unidade 1
Aula 1 (10 fev)
Aula 2 (13 fev)
  • Revisão de transformada de Laplace e Z
Aula 3 e 4 (17 e 20 fev)
Aula 5 (27 fev)
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
  • Explorar a interface do Matlab.
  • Funções de visualização das variáveis no workspace.
  • Execução de instruções passo a passo.
  • Escrita de script .m
  • Uso da execução das seções de um script.
  • Incremento de valor e execução.
EXEMPLOS:
  • Leia com atenção e execute o exemplo (Moving-Avarage Filter) na página de help da função filter.
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
  • Leia com atenção o help Using FFT, abra o script clicando no botão [Open this Example]. Execute o script seção após seção. Note o uso da fft para determinar a frequência das manchas solares.
  • Para melhorar o desempenho no Matlab recomendo que leiam a pagina do Help, . Também gostaria de lembra-los que a tecla F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m.
  • Leia sobre manchas solares para entender o que são os dados do segundo exemplo.
Sinais no dominio do tempo e dominio da frequencia. Uso da função fft
Exemplo de uso da FFT 
%% Signal in Time Domain 
% Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried in noise.
% Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and a signal duration of 1.5 seconds
Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
T = 1/Fs;             % Sampling period       
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector

% Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz sinusoid of amplitude 1.
S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);

% Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4.
X = S + 2*randn(size(t));

% Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify the frequency components by looking at the signal X(t).
subplot(311);
plot(1000*t(1:200),X(1:200), 'b')
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('t (milliseconds)')
ylabel('X(t)')
hold on
plot(1000*t(1:200),S(1:200),'r')
hold off

% Signal in Frequency Domain
% Compute the Fourier transform of the signal.
Y = fft(X);

% Compute the two-sided spectrum P2. Then compute the single-sided spectrum P1 based on P2 and the even-valued signal length L.
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

A2 = angle(Y);
A1 = A2(1:L/2+1);

% Define the frequency domain f and plot the single-sided amplitude spectrum P1. 
% The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1, as expected, because of the added noise. 
% On average, longer signals produce better frequency approximations.
f = Fs*(0:(L/2))/L;
subplot(3,1,2);
plot(f,P1, 'b')

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
hold on
% Now, take the Fourier transform of the original, uncorrupted signal and retrieve the exact amplitudes, 0.7 and 1.0.
Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1, 'r') 

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
hold off

% Angulo  / fase 
subplot(3,1,3);
plot(f,A1)
%ylim([0 1.05]) 
title('Single-Sided Phase Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('phase(f)')
  • Amostragem de Sinais (Experimento 1.2)
  • Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing.
  • Notar que as amostras de um sinal s1(t)=cos(2π×3t) (3 Hz) e um sinal s2(t)=cos(2π×7t) (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz.
Experimento 1.2 
%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.2
fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais
Ts = 1/fs; fase = 0;
time = 0:Ts:(1-Ts);
f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1
f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2
s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase);
s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase);
fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais
Tsa = 1/fsa;
time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa);
figure(1);
stem(time,s_1,'ob');
hold on;
plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k');
stem(time,s_2,'+r');
plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m');
hold off;
legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo')
DICAS:
  • No help on-line da Mathworks, usando o botão [Try This Example > Try in your browser], permite executar o código no próprio browser sem ter nenhuma instalação do Matlab. Para verificar que o código realmente é executado mude a amplitude do ruído randômico para 0.1 ou 0.5, insira o comando close all antes da primeira linha, e execute todo o código [Run All]
  • No help do Matlab, usando o botão [Open this Example], é possível executar o código seção a seção.
Aula 7 (5 mar)
  • Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:
Variação do Experimento 2.2 
%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 2.2
% Resposta em frequencia usando a função freqz
N = 1;
num = [1 0 0 0];
den = poly([0.8 0.2])
%den = [1 0.6 -0.16];
% modo 1
%[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]);
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 2
%[H,w]=freqz(num,den);
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 3
%[H,w]=freqz(num, den, 'whole');
%plot(w/pi, abs(H));
% modo 4
freqz(num, den, 'whole');
figure(2);
zplane(num,den);

%% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw)
syms z
Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z);
pretty(Hf)
latex(Hf)
N = 1;
w = [0:pi/100:N*pi-pi/100];
plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w))))
%title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex')
text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex')
xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex')
  1. Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código.
  2. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8].
  3. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1]
  4. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i]
  5. verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado
Aula 8 (9 mar)
  • A filtragem de sinais digitais pode ser realizada de diferentes formas:
  • convolução (y = conv(x,h)), onde x(n) é o sinal de entrada e h(n) é a resposta ao impulso do filtro (sistema linear invariante no tempo),
  • filtragem no domínio do tempo (y = a1.x(n)+ a2.x(n-1)+ .. ak.x(n-k));
  • no domínio da frequência (y = ifft(fft(x)fft(h))
Variação do Experimento 3.1 
%% Variação do Experimento 3.1 do livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
% FILE: Ex3_1.m
% Exemplificando as possiveis formas de realizar a filtragem de um sinal x(n)

clc; clear all; close all;
%% Definindo valores iniciais
Nh = 10; Nx = 20;
%Nh = 400; Nx = 10000;
x = ones(1,Nx);
% A resposta ao impulso de um sistema h(n) 
% no filtro FIR aos coeficientes b(n) = h(n) 
h = [1:Nh]; b = h;
%% Filtrando o sinal e medindo tempos

% OPÇÃO 1 - Filtragem utilizando a convolução
% NOTE: length(y) = length(x) + length(h) -1

tic;  % iniciar a contagem do tempo
y1 = conv(x,h); 
t(1) = toc; % terminar a contagem e mostrar tempo no console

% OPÇÃO 2 - filtragem utilizando a equação recursiva
% NOTE: length(y) = length(x)

tic;
y2 = filter(b,1,x);
t(2) = toc;

% OPÇÃO 3 - filtragem utilizando a equação recursiva 
% aumentando o tamanho de x para que length(y3) = length(y1)
x3 = [x zeros(1,length(h)-1)];

tic;
y3 = filter(h,1,x3); 
t(3) = toc;

length_y = length(x) + length(h) - 1;

% OPÇÃO 4 - filtragem utilizando a FFT 
% a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h))

tic;
X = fft(x,length_y);
H = fft(h,length_y);
Y4 = X.*H;
y4 = ifft(Y4);
t(4) = toc;

% OPÇÃO 5 - filtragem utilizando a função fftfilt
% a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h))

tic
y5 = fftfilt(h,x3);
t(5) = toc;

disp('Comprimento do vetor de saída length(y)')
disp(['    ' num2str([length(y1) length(y2) length(y3) length(y4) length(y5)])])
disp('Tempo usado na filtragem em micro segundos')
disp(['    ' num2str(t*1e6) ' us'])

%%  Plotando o gráfico
subplot(411);stem(y1);
hold on;
stem(y2,'xr');
stem(y3,'+m');
legend('y1', 'y2', 'y3')
hold off
subplot(412);stem(y1, 'ob');legend('y1')
subplot(413);stem(y2, 'xr'); hold on; stem(zeros(size(y1)),'.w');hold off; legend('y2')
subplot(414);stem(y3, '+m');legend('y3')
  • Verificar as funções tic e toc
  • Notar a diferença de tempo de processamento entre os processos de filtragem.
  • A situação pode ser muito diferente conforme muda o tamanho do sinal e ordem do filtro (h(n)). Modifique a resposta ao impulso e o sinal de entrada modificando os valores das variáveis de tamanho: Nh = 10, 100, 1000; Nx = 20, 1000, 10000;
  • Em função do sistema operacional e reserva de memória para as variáveis é importante desprezar a primeira medida de tempo. Realize 3 medidas de tempo para cada uma das 5 opções de filtragem, com pelo menos duas combinações de comprimento Nh e Nx.
  • Verifique o tempo de processamento usando a instrução profile
profile on
  • Após ativar o profiler, execute o programa e veja o tempo total do script e de cada função chamada.
profile viewer

Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).

Variação do Experimento 2.3 
%% Experimento 2.3 - Filtros Digitais
% Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
% FILE: Exp2_3.m
 
%% 1º filtro
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 ]'; P = [p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 2º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p1 p1' p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 3º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.99*exp(1j*pi/4);
p2 = 0.9*exp(1j*pi/4 - 1j*pi/30);
p3 = 0.9*exp(1j*pi/4 + 1j*pi/30);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p2 p2' p3 p3']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);

1.2 Unidade 2

Unidade 2
Aula 9 (12 mar)
Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos
  • Função de transferência
H(s)=c0+c1s+c2s2+...+cmsmd0+d1s+d2s2+...+dnsn,m≤n
  • Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar
H(jω)=H(s)|s=jω
H(jω)=|H(jω)|ejϕ(ω)
|H(jω)|2=H(jω)H(−jω)
ej2ϕ(ω)=H(jω)H(−jω)
  • O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:
  1. projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado H(p) com frequência de passagem Ωs=1
  2. transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS)
H(s)=H(p)|p=g(s)

Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.

  • No entanto, antes de projetar filtros, vejamos a análise básica de filtros analógicos utilizando o Matlab.
Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência H(s), obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase).
H(s)=s+1s2+s+5
H(jω)=s+1s2+s+5|s=jω
H(jω)=1+wi−w2+wi+5
%%Definição do filtro

% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1];       % Numerador 
a = [1 1 5];     % Denominador

% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a) 
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);

%% Obtendo a resposta em frequência 
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);

% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s  w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
  • Para aproximação de magnitude de filtros analógicos o projeto pode usar as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) ou Cauer, mostradas na figura abaixo.

Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth

Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência Hn(s)=1/Bn(s) utilizam os polinômios de Butterworth Bn(s) mostrados na tabela a seguir:

n Fatores Polinomiais de Bn(s)
1 (s+1)
2 (s2+1.4142s+1)
3 (s+1)(s2+s+1)
4 (s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)
5 (s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)
6 (s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1)
7 (s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)
8 (s2+0.3902s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)
9 (s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.879s+1)
10 (s2+0.3129s+1)(s2+0.9080s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.7820s+1)(s2+1.9754s+1)
Proposta de exercício
  • Use os polinômios de Butterworth com ordens de 1 a 10 mostrados na tabela abaixo para obter os filtros .
  • Escolha uma ordem n (entre 5 e 10)
  • Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi).
  • Qual é o ganho do filtro na banda passante?
  • Qual é a frequência de corte (-3dB) do filtro.
  • Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências?
  • Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte?
  • Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro.
  • Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro.
  • Calcule o valor do módulo dos pólos.

1.2.1 INÌCIO DAS AULAS REMOTAS

Aula 10 e 11 (26 e 30 mar)
Projeto de filtros analógicos LP protótipo
  • Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando: ωp é a frequência de passagem, Ap=3dB é a atenuação em dB na frequência de passagem, ωs é a frequência de stopband, As é a atenuação em dB na frequência de stopband.

  • Escalando as frequências em relação a ωp, teremos que Ωs=ωsωp, e Ωp=ωpωp=1 são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo H(p), que tem ganho unitário e frequência de passagem 1.
Casos em que o ganho na banda de passagem é Ap=3dB
  • Considerando o caso de filtro Butterworth com frequência de passagem Ωp e frequência de stopband (rejeição) de Ωs, com ganho unitário em Ω=0
  • Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser Gp=1/2=0,707, que corresponde a um ganho (em escala log) Gp=−3dB, ou atenuação Ap=3dB.
  • Obtemos o fator ϵ2=100.1Ap−1, ou ϵ=100.1Ap−1, para Ap=3dB temos que ϵ=1. Esse fator no caso dos filtros com essa atenuação Ap=3dB acaba desaparecendo das equação de projeto. Para atenuações diferentes de 3 dB, ele ajusta a magnitude dos pólos, e afeta a ordem do filtro.
  • Os passos para projetar um filtro analógico Hs(s) são:
0) fazer a normalização da frequência e do ganho.
Ωp=1, e Ωs=ωsωp para o caso de filtros LP.
Ap=−(Gp−G0), As=−(Gs−G0).
1) determinar a ordem n do filtro utilizando a equação:
n≥log⁡(100.1As−1)2log⁡Ωs
2) e em seguida obter os polos do filtro:
pk=e[j(2k+n−1)2nπ],k=1,2,3,...n
3) Com os pólos pk botem-se o denominador D(p)=∏k=1n(p−pk) da função de transferência do filtro.
4) E assim obtém-se a função de transferência do filtro protótipo H(p)=1D(p)
5) Para obter a função de transferência do filtro analógico LP é necessário fazer uma transformação de frequência H(p)−>H(s)
H(s)=H(p)|p=sωp
6) Se o ganho na frequência ω=0 não for unitário G0, é ainda necessário ajustar o ganho do filtro do fator de ganho. Considerando que o valor do Ganho G0 seja dado em dB, teremos que 20*log10(G0(linear))=G0(dB), ou seja G0(linear)=10G0(dB)/20
Exemplo Filtro LP Butterworth

Projete um filtro Butterworth LP com ganho em ω=0 G_0= 5dB, frequência de passagem ωp=1000rad/s com ganho no mínimo de Gp=2dB, frequência de rejeição de ωs=5000rad/s, na qual o ganho deve ser inferior a Gs=−25dB dB.

  • Dados de Hs(s)
ωp=
ωs=
G0(dB)=
Gp(dB)=
Gs(dB)=
  • Especificações de Hp(p)
Ωp=
Ωs=
A0(dB)=
Ap(dB)=
As(dB)=
  • Determinação de Hp(p)
ϵ=
n=
pk=
D(p)=
Hp(p)=
  • Determinação de Hs(s) substituindo p=sωp e corrigindo o ganho em G0
Hs(s)=
  • Obtida a função de transferência Hs(s)=N(s)/D(s) obtenha a resposta em frequência, substituindo s=j*ω
  • Obtenha a resposta em frequência, para ω=0,ωp,ωs,10ωp
  • Plote o gráfico de |Hp(p)| e |Hs(s)|, indicando a máscara de especificação do filtro.


Aula 12 (2 abr)
Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor Ap qualquer
  • Teremos ϵ=100.1Ap−1, ou ϵ2=(100.1Ap−1)
  • Para projetar o filtro é necessário:
1) determinar a ordem n do filtro:
n≥log⁡[(100.1As−1)/ϵ2]2log⁡Ωs
2) obter os polos do filtro:
pk=ϵ(−1/n)e[j(2k+n−1)2nπ],k=1,2,3,...n
3) obter a função de transferência:
H(p)=kD(p), onde k=∏k=1n(−pk)=ϵ−1 e D(p)=∏k=1n(p−pk).
NOTA: o valor k também pode ser obtido a partir de D(p), pois corresponde ao último termo do polinômio D(end).
4) No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado fazendo a transformação de frequência H(p)−>H(s)
H(s)=H(p)|p=sωp
Exemplo Filtro LP Butterworth

Projete um filtro Butterworth LP com ganho em ω=0 G_0= 0dB, frequência de passagem ωp=1000rad/s com atenuação máxima de Ap=0.5dB, frequência de rejeição de ωs=5000rad/s com atenuação mínima de As=30dB.

  • Dados de Hs(s)
ωp=
ωs=
G0(dB)=
Gp(dB)=
Gs(dB)=
  • Especificações de Hp(p)
Ωp=
Ωs=
A0(dB)=
Ap(dB)=
As(dB)=
  • Determinação de Hp(p)
ϵ=
n=
pk=
D(p)=
Hp(p)=
  • Determinação de Hs(s) substituindo p=sωp e corrigindo o ganho em G0
Hs(s)=
  • Obtida a função de transferência Hs(s)=N(s)/D(s) obtenha a resposta em frequência, substituindo s=j*ω
  • Obtenha a resposta em frequência, para ω=0,ωp,ωs,10ωp
  • Plote o gráfico de |Hp(p)| e |Hs(s)|, indicando a máscara de especificação do filtro.
Aula 13 (6 abr)
Polinômios Chebyshev de primeira ordem

Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica:

Cn(Ω)=cos(ncos−1(Ω))

Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como:

C0(Ω)=cos(0×cos−1(Ω))=cos(0)=1
C1(Ω)=cos(1×cos−1(Ω))=Ω

O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva:

Cn(Ω)=2×Ω×Cn−1(Ω)−Cn−2(Ω)

Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por

C2(Ω)=2×Ω×C1(Ω)−C0(Ω)
C2(Ω)=2×Ω×Ω−1
C2(Ω)=2Ω2−1

Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos:

C0(Ω)=1
C1(Ω)=Ω
C2(Ω)=2Ω2−1
C3(Ω)=4Ω3−3Ω
C4(Ω)=8Ω4−8Ω2+1
C5(Ω)=16Ω5−20Ω3+5Ω
C6(Ω)=32Ω6−48Ω4+18Ω2−1
C7(Ω)=64Ω7−112Ω5+56Ω3−7Ω
C8(Ω)=128Ω8−256Ω6+160Ω4−32Ω2+1

Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre −1<Ω<1.

Figura: Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio −1<Ω<1

FONTE: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia

Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I
  • Determine a ordem mínima necessária considerando: ωp é a frequência de passagem do filtro LP, Ap é a atenuação em dB na frequência de passagem, ωs é a frequência de stopband do filtro, As é a atenuação em dB na frequência de stopband, Ωs=ωsωp, Ωp=ωpωp=1 são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo.
n≥cosh−1(100.1As−1)/ϵ2cosh−1Ωs
onde ϵ2=(100.1Ap−1) ou ϵ=100.1Ap−1.
  • Obtenha os polos do filtro:
pk=−sinh⁡(φ2)sin⁡(θk)+jcosh⁡(φ2)cos⁡(θk)     k=1,2,3,...n,
onde θk=((2k−1)π2n) e φ2=1nsinh−1(1ϵ)



  • Para obter a função de transferência:
H(p)=H0D(p), onde D(p)=∏k−1n(p−pk)
onde
H0=H(0)×d0={d0paranimpard01+ϵ2paranpar
d0=∏k−1n(−pk) é o último termo do denominador D(p)=dnpn+dn−1pn−1+⋯+d1p+d0
|H(0)|2={1paranimpar11+ϵ2paranpar


|H(1)|2=11+ϵ2, onde 20log10(|H(1)|)=Ap(dB)
Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS

Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP.

  • Transformações de frequência de filtros analógicos
  • passa-baixas (Ωp=1) -> passa-baixas (ωp)
  • Cálculo do protótipo com Ωs=ωsωp
  • Substituição de variáveis p=sωp
  • passa-baixas (Ωp=1) -> passa-altas (ωp)
  • Cálculo do protótipo com Ωs=ωpωs
  • Substituição de variáveis p=ωps
  • passa-baixas (Ωp=1) -> passa-faixa (ω0 e B)
  • Cálculo do protótipo com Ωs=|−ωs2+ω02Bωs|
  • Substituição de variáveis p=s2+ω02Bs
onde B=ωp2−ωp1 e ω0=ωp2ωp1
  • passa-baixas (Ωp=1) -> rejeita-faixa (ω0 e B)
  • Cálculo do protótipo com Ωs=|Bωs−ωs2+ω02|
  • Substituição de variáveis p=Bss2+ω02
onde B=ωp2−ωp1 e ω0=ωp2ωp1
Aula 14 (9 abr)
Exemplo Filtro HP Chebyshev I

Projete um filtro Chebyshev I HP com ganho em ω=0 G_0= 5dB, frequência de rejeição ωs=2500rad/s com atenuação mínima de As=30dB, frequência de passagem de ωp=12500rad/s com atenuação máxima de Ap=0.5dB.

  • Dados de Hs(s)‴HP‴
ωp=
ωs=
G0(dB)=
Gp(dB)=
Gs(dB)=
  • Especificações de Hp(p)‴LP‴
Ωp=
Ωs=
A0(dB)=
Ap(dB)=
As(dB)=
  • Determinação de Hp(p)
ϵ=
n=
pk=
D(p)=
d0=
H0=
Hp(p)=
  • Determinação de Hs(s) HP substituindo p=ωps e corrigindo o ganho em G0
Hs(s)=
  • Obtida a função de transferência Hs(s)=N(s)/D(s) obtenha a resposta em frequência, substituindo s=j*ω
  • Obtenha a resposta em frequência, para ω=0,ωp,ωs,10ωp
  • Plote o gráfico de |Hp(p)| e |Hs(s)|, indicando a máscara de especificação do filtro.

1.2.2 ATUAL

Aula 15 (13 abr)
  • [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') Encontra a menor ordem n é a frequência de corte Wn para um filtro Butterworth analógico, com ripple na banda passante (bandpass) menor que Rp dB e atenuação na banda de rejeição (stopband) pelo menos de Rs dB. As frequências angulares Wp e Ws são dadas em rad/s. Se Wp e Ws são escalares, o filtro será um LP ou HP. Se Wp e Ws forem vetores, o filtro será um BP ou BS.
  • [b,a] = butter(n,Wn,ftype,'s') Projeta o filtro Butterworth analógico LP, HP, BP ou BS com frequência angular de corte Wn, dependendo do valor de ftype e do número de elementos de Wn.
%% Projeto de filtro passa-alta (HP) usando funções do Matlab 
Wp = 150;        % rad/s
Ws = 40;         % rad/s
Rp = 3;          % dB
Rs = 60;         % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
[b,a] = butter(n,Wn,'high','s');
[h,w] = freqs(b,a,logspace(1,3,1000));
semilogx(w,20*log10(abs(h)));grid on;
hold on; plot([Wp Wn Ws],[-Rp -3 -Rs],'x'); hold off;
title(sprintf('Filtro HP Butterworth, n = %d',n))

%% Projeto de filtro passa-faixa (BP) usando funções do Matlab 
Wp = [100 200];  % rad/s
Ws = [50 250];   % rad/s
Rp = 3;          % dB
Rs = 40;         % dB
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a,logspace(1,3,1000))
title(sprintf('Filtro BP Butterworth, n = %d',n))
  • [n,Wp] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with cutoff angular frequencies Wp.
  • [b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with passband edge angular frequency Wp and Rp decibels of passband ripple.
  • [n,Ws] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with cutoff angular frequencies Ws.
  • [b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with stopband edge angular frequency Ws and Rs decibels of stopband attenuation.
  • [n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite.
  • [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wp,ftype, 's') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog elliptic filter with passband edge angular frequency Wp, Rp decibels of passband ripple, and Rs decibels of stopband attenuation.
  • Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n.
  • Note: See Limitations [1] for information about numerical issues that affect forming the transfer function.


  • Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab.
%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab  
%% Especificações do filtro 
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo

%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');

%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');

%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');

%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');
  • Ver pag. 204 a 208 de [2]
  • Exemplos de Filtros Analógicos:
  • Exemplo 1: Filtro passa-baixas (fp = 941Hz, fs = 1209 Hz, Ap = 1 dB, As = 20 dB)
  • Exemplo 2: Filtro passa-altas (fp = 1209 Hz, fs = 941Hz, Ap = 1 dB, As = 20 dB)
  • Exemplo 3: Filtro passa-faixa (fp1 = 811 Hz, fp2 = 895,5 Hz fs1 = 770 Hz, fs2 = 1209 Hz, Ap = 1 dB, Ar = 30 dB)
  • Exemplo 4: Filtro rejeita-faixa (fp1 = 53 Hz, fs1 = 58 Hz, fs2 = 62 Hz fp2 = 67 Hz, Ap = 2 dB, Ar = 25 dB)
NOTA:
  • No calculo do filtro lembre-se de usar as frequências angulares para ωp, ωs, Bω, ω0.
  • onde fp (ωp) é a frequência de passagem em Hz (rad/s), fs (ωs) é a frequência de rejeição em Hz (rad/s), f0 (ω0) é a frequência central em Hz (rad/s), B (Bω) é a largura de banda em Hz (rad/s).
  • Confira os projetos dos filtros plotando as respostas em frequência dos filtros protótipo H(p) e filtro final H(s) de cada um dos exemplos.

2 Avaliações

  • Atividades extraclasse
AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8
AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8.
  • Determine a transformada discreta de Fourier X(w) a partir da sequencia discreta x(n) indicada na tabela abaixo.
  • Utilize a equação da DFT
  • X(k)=∑n=0N−1x(n)WNkn
  • WN=e−j2π/N 
  • O algoritmo FFT indicado na tabela, onde dt é decimação no tempo (Fig 3.9) e df é decimação na frequência (Fig 3.13)
  • Use uma folha de papel para anotar os valores dos produtos intermediários tanto da DFT como da FFT.
  • Compare os resultados obtidos para de X(k) obtido com os dois cálculos.
  • Poste no Moodle a folha de cálculos (digitalize usando scanner ou smartphone).
AE2 - Projeto de Filtros Analógico (Entrega e prazos ver Moodle)

Esta avaliação visa verificar se você conhece a metodologia de projeto de filtros analógicos: (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s), obtendo o filtro LP, HP, BP, BS, conforme o tipo de filtro desejado; Nesta avaliação é solicitado que cada equipe realize o projeto de 4 filtros.

Equipe Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Filtro 4
Equipe 1 LP - (f1 = 200 Hz; f2 = 1000 Hz, Ap = 3 dB, As = 30 dB, Gtopo= 10 dB, Butterworth) HP - (f1 = 200 Hz; f2 = 1000 Hz, Ap = 1 dB, As = 30 dB, Gtopo = -10 dB, Chebyshev 1) BP1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB) BS1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB)
Equipe 2 LP - (f1 = 40 Hz; f2 = 200 Hz, Ap = 3 dB, As = 20 dB, Gtopo = 5 dB, Butterworth) HP - (f1 = 40 Hz; f2 = 200 Hz, Ap = 1 dB, As = 50 dB, GtTopo = 10 dB, Chebyshev 1) BP1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB) BS1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB)
Equipe 3 LP - (f1 = 20 Hz; f2 = 100 Hz, Ap = 3 dB, As = 25 dB, Gtopo = 1 dB, Butterworth) HP - (f1 = 20 Hz; f2 = 100 Hz, Ap = 2 dB, As = 60 dB, Gtopo = -20 dB, Chebyshev 1) BP1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB) BS1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB)
Equipe 4 LP - (f1 = 10 Hz; f2 = 60 Hz, Ap = 3 dB, As = 35 dB, Gtopo = -5 dB, Butterworth) HP - (f1 = 10 Hz; f2 = 60 Hz, Ap = 2 dB, As = 45 dB, Gtopo = 10 dB, Chebyshev 1) BP1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB) BS1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB)
Equipe 5 LP - (f1 = 100 Hz; f2 = 500 Hz, Ap = 3 dB, As = 40 dB, Gtopo = -10 dB, Butterworth) HP - (f1 = 100 Hz; f2 = 500 Hz, Ap = 3 dB, As = 50 dB, Gtopo = 10 dB, Chebyshev 1) BP1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB) BS1 - (f1 = Hz; f2 = Hz, f3 = Hz; f4 = Hz, Ap = dB, As = dB, Gtopo = dB)
onde:
fN - são as "N" frequência de especificação do filtro dadas em Hertz (kHz ou MHz);
LP (Low Pass)- Passa Baixa fp=f1 e fs=f2.
HP (High Pass)- Passa Altas fs=f1 e fp=f2.
BP (Band Pass)- Passa Faixa fs1=f1 e fp1=f2, fp2=f3 e fs2=f4.
BS (Band Stop)- Rejeita Faixa fp1=f1 e fs1=f2, fs2=f3 e fp2=f4.
fp - frequência de passagem; fs - frequência de rejeição (stopband), Ap - Atenuação máxima na banda de passagem (dB), As - Atenuação mínima na banda de rejeição (dB) (stopband), Gtopo - Ganho na banda de passagem (dB).
  • Os filtros LP e HP devem ser realizados utilizando a aproximação de Butterworth ou Chebyshev tipo 1 (devendo ser todos os calculados efetuados a partir das equações).
  • Os filtros BP e BS devem ser realizados utilizando a aproximação de Chebyshev tipo 2 ou Euler (podendo ser calculada a função H(p) a partir das funções do Matlab.
  • Para todos os filtros nos resultados deve ser indicada a ordem do filtro, o valor de polos e zeros, e as equações de H(p), H(s).
  • Deve ser apresentado de forma gráfica a resposta em frequência dos filtros (ganho em dB e fase) dos filtros (a) protótipo H(p), (b) Filtro analógico H(s).
  • Utilize uma mascara com as especificações para mostrar que os filtros atendem a especificação original.
  • Apresente o diagrama dos pólos e zeros dos filtros H(p), H(s).
  • Utilize a mesma escala em dB para os gráficos de cada filtro. Nas abcissas utilize uma escala em Hz (kHz ou MHz). Utilize uma mascara com cor diferenciada para indicar claramente a especificação do filtro, e crie um segundo gráfico mostrando claramente a banda de passagem.
  • Escreva um relatório técnico em PDF mostrando os resultados obtidos e comentando os resultados obtidos. Não é necessário apresentar a teoria utilizado para o projeto, mas todos os cálculos devem estar documentados.
  • Envie o relatório em pdf ou imagem dos cálculos e eventuais arquivos ".m" utilizados na plataforma Moodle.


  • Prova escrita A1
  • Entrega do Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos:
PFe - Documento de Especificação (apresentado no relatório);
PFp - Implementação do Projeto;
PFr - Relatório do Projeto (excluído a especificação);
PFi - Avaliação individual do aluno no projeto (conceito subjetivo atribuído pelo professor a partir da observação e da apresentação do projeto).

3 Referências Bibliográficas

  1. ↑ 1,0 1,1 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
  2. ↑ 2,0 2,1 SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822


Curso de Engenharia de Telecomunicações

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