Mudanças entre as edições de "PSD29007-Engtelecom(2020-1) - Prof. Marcos Moecke"
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Linha 386: | Linha 386: | ||
{{collapse top | expand=true | Unidade 2}} | {{collapse top | expand=true | Unidade 2}} | ||
;Aula 9 (12 mar): | ;Aula 9 (12 mar): | ||
− | + | ;Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos: | |
:* Função de transferência | :* Função de transferência | ||
::<math> H(s) = \frac {c_0 + c_1 s + c_2 s^2 + ... + c_m s^m} {d_0 + d_1 s + d_2 s^2 + ... + d_n s^n}, m \le n</math> | ::<math> H(s) = \frac {c_0 + c_1 s + c_2 s^2 + ... + c_m s^m} {d_0 + d_1 s + d_2 s^2 + ... + d_n s^n}, m \le n</math> | ||
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::<math> e^{j 2 \phi(\omega)} = \frac {H(j \omega)} {H(-j \omega)}</math> | ::<math> e^{j 2 \phi(\omega)} = \frac {H(j \omega)} {H(-j \omega)}</math> | ||
− | + | ||
+ | * '''O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:''' | ||
# projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado <math> H(p) </math> com frequência de passagem <math> \Omega_s = 1 </math> | # projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado <math> H(p) </math> com frequência de passagem <math> \Omega_s = 1 </math> | ||
# transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS) | # transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS) | ||
::<math> H(s) = H(p)\left|\begin{matrix}\\ p=g(s) \end{matrix}\right. </math> | ::<math> H(s) = H(p)\left|\begin{matrix}\\ p=g(s) \end{matrix}\right. </math> | ||
+ | Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência. | ||
− | * | + | * No entanto, antes de projetar filtros, vejamos a análise básica de filtros analógicos utilizando o Matlab. |
:Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência <math> H(s) </math>, obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase). | :Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência <math> H(s) </math>, obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase). | ||
::<math> H(s) = \frac {s + 1} {s^2 + s + 5} </math> | ::<math> H(s) = \frac {s + 1} {s^2 + s + 5} </math> | ||
Linha 410: | Linha 412: | ||
<syntaxhighlight lang=matlab> | <syntaxhighlight lang=matlab> | ||
− | b = [1 1]; | + | %%Definição do filtro |
− | a = [1 1 5]; | + | |
− | [z1,p1,k]=tf2zp(b,a) | + | % Definindo os coeficientes do filtro |
+ | b = [1 1]; % Numerador | ||
+ | a = [1 1 5]; % Denominador | ||
+ | |||
+ | % Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador) | ||
+ | % Método 1 - usando a função tf2zp | ||
+ | [z1,p1,k]=tf2zp(b,a) | ||
+ | % Método 2 - obtendo as raízes | ||
z2 = roots(b); | z2 = roots(b); | ||
p2 = roots(a); | p2 = roots(a); | ||
zplane(b,a); | zplane(b,a); | ||
− | %% | + | |
+ | %% Obtendo a resposta em frequência | ||
+ | % substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz | ||
freqs(b,a); | freqs(b,a); | ||
− | % | + | |
+ | % Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx | ||
syms s w | syms s w | ||
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5); | H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5); | ||
Linha 427: | Linha 439: | ||
h = H(1j*ws); | h = H(1j*ws); | ||
subplot(211) | subplot(211) | ||
− | semilogx(ws,abs(h)); grid on; | + | plot(ws,abs(h)); grid on; |
+ | %semilogx(ws,abs(h)); grid on; | ||
subplot(212) | subplot(212) | ||
− | semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on; | + | plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on; |
+ | %semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on; | ||
</syntaxhighlight> | </syntaxhighlight> | ||
− | * | + | * Para aproximação de magnitude de filtros analógicos o projeto pode usar as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) ou Cauer, mostradas na figura abaixo. |
− | |||
[[Arquivo:TiposFiltrosHs.png | 600px]] | [[Arquivo:TiposFiltrosHs.png | 600px]] | ||
− | ; | + | ;Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth: |
− | + | Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência <math>H_n(s) = 1/B_n(s)</math> utilizam os polinômios de Butterworth <math>B_n(s)</math> mostrados na tabela a seguir: | |
− | |||
{| | {| | ||
|----- | |----- | ||
Linha 478: | Linha 490: | ||
|} | |} | ||
|} | |} | ||
+ | |||
+ | ;Proposta de exercício: | ||
+ | *Use os polinômios de Butterworth com ordens de 1 a 10 mostrados na tabela abaixo para obter os filtros . | ||
*Escolha uma ordem n (entre 5 e 10) | *Escolha uma ordem n (entre 5 e 10) | ||
*Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi). | *Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi). | ||
Linha 484: | Linha 499: | ||
*Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências? | *Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências? | ||
*Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte? | *Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte? | ||
− | |||
*Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro. | *Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro. | ||
*Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro. | *Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro. | ||
Linha 490: | Linha 504: | ||
;Aula 10 (25 mar): | ;Aula 10 (25 mar): | ||
− | + | ;Projeto de filtros analógicos LP protótipo: | |
* Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando: <math> \omega_p </math> é a frequência de passagem, <math> A_p = 3 dB </math> é a atenuação em dB na frequência de passagem, <math> \omega_s </math> é a frequência de ''stopband'', <math> A_s </math> é a atenuação em dB na frequência de ''stopband''. | * Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando: <math> \omega_p </math> é a frequência de passagem, <math> A_p = 3 dB </math> é a atenuação em dB na frequência de passagem, <math> \omega_s </math> é a frequência de ''stopband'', <math> A_s </math> é a atenuação em dB na frequência de ''stopband''. | ||
[[Arquivo:MascaraFiltroLP.png | 600px]] | [[Arquivo:MascaraFiltroLP.png | 600px]] | ||
Linha 496: | Linha 510: | ||
*Escalando as frequências em relação a <math> {\omega_p} </math>, teremos que <math> \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} </math>, e <math> \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 </math> são as frequências de passagem e ''stopband'' do filtro protótipo <math> H(p) </math>, que tem ganho unitário e frequência de passagem 1. | *Escalando as frequências em relação a <math> {\omega_p} </math>, teremos que <math> \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} </math>, e <math> \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 </math> são as frequências de passagem e ''stopband'' do filtro protótipo <math> H(p) </math>, que tem ganho unitário e frequência de passagem 1. | ||
− | ;<math> A_p = 3 dB </math>: | + | ;Casos em que o ganho na banda de passagem é <math> A_p = 3 dB </math>: |
*Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser <math> G_p = 1/\sqrt{2} = 0,707 </math>, que corresponde a um ganho (em escala log) <math> G_p = - 3 dB </math>, ou atenuação <math> A_p = 3 dB </math>. | *Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser <math> G_p = 1/\sqrt{2} = 0,707 </math>, que corresponde a um ganho (em escala log) <math> G_p = - 3 dB </math>, ou atenuação <math> A_p = 3 dB </math>. | ||
*Considere que <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}</math>, teremos <math> \epsilon = 1 </math> | *Considere que <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}</math>, teremos <math> \epsilon = 1 </math> | ||
Linha 517: | Linha 531: | ||
::<math>H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. </math> | ::<math>H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. </math> | ||
+ | ;Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor <math> A_p </math> qualquer: | ||
− | |||
*Teremos <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}</math> | *Teremos <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}</math> | ||
Edição das 00h55min de 26 de março de 2020
Registro on-line das aulas
Unidade 1
Unidade 1 | ||||||||||
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ATUAL
profile on
profile viewer Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).
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Unidade 2
Unidade 2 | |||||||||||||||||||||||
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Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.
%%Definição do filtro
% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1]; % Numerador
a = [1 1 5]; % Denominador
% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a)
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);
%% Obtendo a resposta em frequência
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);
% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência utilizam os polinômios de Butterworth mostrados na tabela a seguir:
|
Avaliações
- Atividades extraclasse
- AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8.
- Determine a transformada discreta de Fourier X(w) a partir da sequencia discreta x(n) indicada na tabela abaixo.
- Utilize a equação da DFT
- O algoritmo FFT indicado na tabela, onde dt é decimação no tempo (Fig 3.9) e df é decimação na frequência (Fig 3.13)
- Use uma folha de papel para anotar os valores dos produtos intermediários tanto da DFT como da FFT.
- Compare os resultados obtidos para de X(k) obtido com os dois cálculos.
- Poste no Moodle a folha de cálculos (digitalize usando scanner ou smartphone).
- Prova escrita A1
- Entrega do Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos:
- PFe - Documento de Especificação (apresentado no relatório);
- PFp - Implementação do Projeto;
- PFr - Relatório do Projeto (excluído a especificação);
- PFi - Avaliação individual do aluno no projeto (conceito subjetivo atribuído pelo professor a partir da observação e da apresentação do projeto).
Referências Bibliográficas
- ↑ 1,0 1,1 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
- ↑ SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822