Mudanças entre as edições de "PSD29007-Engtelecom(2020-1) - Prof. Marcos Moecke"
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Linha 669: | Linha 669: | ||
; Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I: | ; Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I: | ||
− | *Determine a ordem mínima necessária considerando: <math> \omega_p </math> é a frequência de passagem do filtro LP, <math> A_p </math> é a atenuação em dB na frequência de passagem, <math> \omega_s </math> é a frequência de ''stopband'' do filtro, <math> A_s </math> é a atenuação em dB na frequência de ''stopband'', | + | *Determine a ordem mínima necessária considerando: <math> \omega_p </math> é a frequência de passagem do filtro LP, <math> A_p </math> é a atenuação em dB na frequência de passagem, <math> \omega_s </math> é a frequência de ''stopband'' do filtro, <math> A_s </math> é a atenuação em dB na frequência de ''stopband'', <math> \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} </math>, <math> \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 </math> são as frequências de passagem e ''stopband'' do filtro protótipo. |
− | + | ::<math> n \ge \frac {\cosh^{-1} \sqrt{(10^{0.1A_s}-1)/ \epsilon^2}} {\cosh^{-1} \Omega_s} </math> | |
− | + | ::onde <math> \epsilon^2 = (10^{0.1A_p}-1)</math> ou <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1 } </math>. | |
− | <math> \Omega_s = \frac {\omega_s} {\omega_p} </math>, <math> \Omega_p = \frac {\omega_p} {\omega_p} = 1 </math> são as frequências de passagem e ''stopband'' do filtro protótipo. | ||
− | ::<math> n \ge \frac {\cosh^{-1} \sqrt{(10^{0.1A_s}-1)/(10^{0.1A_p}-1) | ||
*Obtenha os polos do filtro: | *Obtenha os polos do filtro: | ||
− | ::<math> p_k = -\sinh(\varphi_2) \sin(\theta_k)+ j \cosh(\varphi_2) \cos(\theta_k) \ \ \ \ \ k = 1, 2, 3, ... n</math>, | + | ::<math> p_k = -\sinh(\varphi_2) \sin(\theta_k)+ j \cosh(\varphi_2) \cos(\theta_k) \ \ \ \ \ k = 1, 2, 3, ... n</math>, |
− | ::<math> \theta_k = \left ( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right ) </math> | + | ::onde <math> \theta_k = \left ( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right ) </math> e <math> \varphi_2 = \frac{1}{n} \sinh^{-1}\left (\frac{1}{\epsilon} \right ) </math> |
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<!-- ou seja :<math> 10 log10 \left| H( 1 ) \right | = sqrt(\frac {1}{1+\epsilon^2}) </math> --> | <!-- ou seja :<math> 10 log10 \left| H( 1 ) \right | = sqrt(\frac {1}{1+\epsilon^2}) </math> --> | ||
Linha 697: | Linha 686: | ||
::<math> H(p)= \frac{H_0}{D(p)} </math>, onde <math> D(p)=\prod_{k-1}^{n} \left ( p-p_{k} \right ) </math> | ::<math> H(p)= \frac{H_0}{D(p)} </math>, onde <math> D(p)=\prod_{k-1}^{n} \left ( p-p_{k} \right ) </math> | ||
+ | |||
::onde | ::onde | ||
::<math>H_0 = H(0) \times d_0 =\left\{ | ::<math>H_0 = H(0) \times d_0 =\left\{ | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | d_0 & | + | d_0 & \text{para} & n & \text{impar} \\ |
− | \frac {d_0}{\sqrt[]{1+\epsilon^2}} & n & \text{ | + | \frac {d_0}{\sqrt[]{1+\epsilon^2}} & \text{para} & n & \text{par} |
\end{matrix}\right. </math> | \end{matrix}\right. </math> | ||
::<math> d_0 =\prod_{k-1}^{n} \left (-p_{k} \right ) </math> é o último termo do denominador <math> D(p) = d_n p^n+ d_{n-1} p^{n-1} + \cdots + d_1 p+ d_0 </math> | ::<math> d_0 =\prod_{k-1}^{n} \left (-p_{k} \right ) </math> é o último termo do denominador <math> D(p) = d_n p^n+ d_{n-1} p^{n-1} + \cdots + d_1 p+ d_0 </math> | ||
− | + | ::<math>\left | H( 0 ) \right | ^2 = \left\{ | |
+ | \begin{matrix} | ||
+ | 1 & \text{para} & n & \text{impar} \\ | ||
+ | \frac {1}{1+\epsilon^2} & \text{para} & n & \text{par} | ||
+ | \end{matrix}\right. </math> | ||
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+ | ::<math>\left | H( 1 ) \right | ^2 = \frac {1}{1+\epsilon^2} </math>, onde <math> 20 log10 (\left | H( 1 ) \right |) = A_p (dB) </math> | ||
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+ | ; Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS: | ||
+ | Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP. | ||
:* Transformações de frequência de filtros analógicos | :* Transformações de frequência de filtros analógicos | ||
:*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-baixas (<math> \omega_p</math>) | :*passa-baixas (<math> \Omega_p= 1 </math>) -> passa-baixas (<math> \omega_p</math>) |
Edição das 10h30min de 6 de abril de 2020
Registro on-line das aulas
Unidade 1
Unidade 1 | ||||||||||
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profile on
profile viewer Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).
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Unidade 2
Unidade 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
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Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.
%%Definição do filtro
% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1]; % Numerador
a = [1 1 5]; % Denominador
% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a)
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);
%% Obtendo a resposta em frequência
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);
% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência utilizam os polinômios de Butterworth mostrados na tabela a seguir:
INÌCIO DAS AULAS REMOTAS
ATUAL
Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica: Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como: O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva: Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos: Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre . FONTE: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia
Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP.
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Avaliações
- Atividades extraclasse
AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8 |
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AE2 - Projeto de Filtros Analógico Butterworth (Entrega e prazos ver Moodle) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Esta avaliação visa verificar se você conhece a metodologia de projeto de filtros analógicos: (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s), obtendo o filtro LP, HP, BP, BS, conforme o tipo de filtro desejado; Nesta avaliação é solicitado que cada equipe realize o projeto de 4 filtros.
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- Prova escrita A1
- Entrega do Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos:
- PFe - Documento de Especificação (apresentado no relatório);
- PFp - Implementação do Projeto;
- PFr - Relatório do Projeto (excluído a especificação);
- PFi - Avaliação individual do aluno no projeto (conceito subjetivo atribuído pelo professor a partir da observação e da apresentação do projeto).
Referências Bibliográficas
- ↑ 1,0 1,1 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
- ↑ SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822