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| = 2012-2 a 2014-2 = | | = 2012-2 a 2014-2 = |
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− | == Informações da disciplina ==
| + | {{DiegoMedeiros-PSD20707}} |
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− | *Professor: [[Diego da Silva de Medeiros]]
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− | *[[Media: PSD20706_Plano_Ensino_2014-2.pdf | Plano de Ensino 2014-2]]
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− | {{collapse top | Planos de ensino anteriores - Clicar no "+" para expandir }}
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− | *[[Media: PSD20706_Plano_Ensino_2014-1.pdf | Plano de Ensino 2014-1]]
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− | *[[Media: PSD20706_Plano_Ensino.pdf | Plano de Ensino 2013-2]]
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− | == Diário de aula ==
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− | {{Cl|1 |04/08 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Apresentação da disciplina | Apresentação da disciplina]] | }}
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− | {{Cl|2 |05/08 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Tutorial_de_Matlab | Tutorial de matlab]]| }}
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− | {{Cl|3 |11/08 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Introdu.C3.A7.C3.A3o_.C3.A0_Sinais_em_Tempo_Discreto|Sinais discretos]]| }}
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− | {{Cl|4 |12/08 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Fun.C3.A7.C3.B5es_.C3.9Ateis|Funções úteis]]| }}
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− | {{Cl|5 |18/08 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Sistemas_em_tempo_discreto|Sistemas em tempo discreto]] e [[PSD-CSTTel_(página)#Solu.C3.A7.C3.A3o_de_Sistemas_e_Resposta_de_Entrada_Nula|Resposta de entrada nula]]| }}
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− | {{Cl|7 |25/08 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Resposta_Total_e_Estabilidade|Resposta total e estabilidade]]| }}
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− | {{Cl|8 |26/08 | 2 | Aula livre para dúvidas| }}
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− | {{Cl|9 |01/09 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Avalia.C3.A7.C3.A3o_1|Avaliação 1 - Sinais e sistemas discretos]]| }} | |
− | {{Cl|10 |02/09 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Defini.C3.A7.C3.A3o_da_Transformada_Z_Direta_e_Inversa|Transformada Z]]| }}
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− | {{Cl|11 |08/09 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Propriedades_da_Transformada_Z|Propriedades da Transformada Z]]| }}
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− | {{Cl|12 |09/09 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Solu.C3.A7.C3.A3o_de_sistemas_usando_a_Transformada_Z|Solução de sistemas usando a transformada Z]]| }}
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− | {{Cl|13 |15/09 | 2 | Aula liberada devido à reunião do DEPE| }}
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− | {{Cl|14 |16/09 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Resposta_em_Frequ.C3.AAncia_de_Sistemas_em_Tempo_Discreto|Resposta em Frequência de Sistemas em tempo discreto]]| }}
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− | {{Cl|16 |23/09 | 2 | Aula livre oara dúvidas| }}
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− | {{Cl|6 |28/02 | 2 | Aula liberada para defesas de TCC | }}
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− | {{Cl|7 |07/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula | Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula]] | }}
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− | {{Cl|8 |10/03 | 2 | Aula liberada para resolução de exercícios | }}
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− | {{Cl|9 |14/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo | Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo]] | }}
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− | {{Cl|10 |17/03 | 2 | [[Media:PSD_Convolucao_Visao_intuitiva.pdf | Visão intuitiva da operação de convolução]] | }}
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− | {{Cl|11 |21/03 | 2 | Aula liberada para resolução de exercícios | }}
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− | {{Cl|12 |24/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Avaliação 1 | Avaliação 1 ]] | }}
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− | {{Cl|13 |28/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Transformada Z | Transformada Z ]] | }}
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− | {{Cl|16 |07/04 | 2 | Correção da Avaliação 1 | }}
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− | {{Cl|17 |11/04 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Solução de sistemas usando a Transformada Z | Solução de sistemas usando a Transformada Z]] | }}
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− | {{Cl|18 |14/04 | 2 | Recuperação da avaliação 1 | }}
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− | {{Cl|19 |25/04 | 2 | Aula liberada para exercícios devido à minha participação em encontros pedagógicos do Curso Técnico Integrado| }}
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− | {{Cl|3 |23/08 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Funções Úteis | Funções Úteis]] | }}
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− | {{Cl|12 |24/09 | 2 | Aulas suspensas pela Direção do DEPE| }}
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− | {{Cl|14 |01/10 | 2 | Aula livre para a execução de exercícios| }}
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− | {{Cl|15 |04/10 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Solução de sistemas usando a Transformada Z | Solução de sistemas usando a Transformada Z]] | }}
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− | {{Cl|16 |08/10 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Solução de sistemas usando a Transformada Z | Solução de sistemas usando a Transformada Z]] (cont.) | }}
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− | {{Cl|17 |11/10 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto| Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto]] | }}
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− | {{Cl|18 |15/10 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Laboratório de Transformada Z|Laboratório de Transformada Z]]| }}
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− | {{Cl|19 |18/10 | 2 | Aula livre para a execução de exercícios| }}
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− | {{Cl|20 |22/10 | 2 | Semana Nacional de Ciência e Tecnologia| }}
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− | {{Cl|21 |25/10 | 2 | Avaliação 2| }}
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− | {{Cl|22 |29/10 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Série de Fourier de Tempo Discreto|Série de Fourier de Tempo Discreto]]| }}
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− | {{Cl|23 |01/11 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Transformada de Fourier de Tempo Discreto|Transformada de Fourier de Tempo Discreto]]| }}
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− | {{Cl|24 |05/11 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Laboratório de Transformada de Fourier|Laboratório de Transformada de Fourier]]| }}
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− | {{Cl|25 |08/11 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier|Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier]]| }}
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− | {{Cl|26 |12/11 | 2 | [[PSD-CSTTel (página)#Filtros_Digitais|Filtros Digitais]]| }}
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− | {{Cl|27 |15/11 | 2 | Feriado Nacional - Proclamação da República| }}
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− | {{Cl|28 |19/11 | 2 | Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP| }}
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− | {{Cl|29 |22/11 | 2 | Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP| }}
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− | {{Cl|32 |03/12 | 2 | Aula livre para realização dos trabalhos| }}
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− | | |
− | == Aulas ==
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− | | |
− | === Apresentação da disciplina ===
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− | | |
− | : Roteiro:
| |
− | :* Apresentação do professor;
| |
− | :* Apresentação da Área de Processamento de Sinais ([[Media:PSD_Aula_Introdutoria_Slides.pdf|Slides]])
| |
− | :* Apresentação da disciplina ([[Media: PSD20706_Plano_Ensino_2014-2.pdf |Plano de Ensino]]);
| |
− | :* Grupo da disciplina: IFSCTelePSD
| |
− | | |
− | :; Atividade (Trabalho 1):
| |
− | :: Pesquisar um artigo da área de Processamento de Sinais no site [http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/home.jsp IEEEXplore] e fazer um pequeno resumo sobre o artigo. Como dica, dar preferências a artigos entre 1960 e 1970, pois estes deverão ser de mais fácil compreensão que artigos mais recentes ou muito antigos.
| |
− | | |
− | === Tutorial de Matlab ===
| |
− | | |
− | [[Media:PSD_Tutorial_Matlab_Linux.m | Tutorial Linux.m]]
| |
− | [[Media:PSD_Tutorial_Matlab_Windows.m | Tutorial Windows.m]]
| |
− | | |
− | === Sinais em tempo discreto ===
| |
− | | |
− | '''Referência:''' Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.
| |
− | | |
− | ==== Introdução à Sinais em Tempo Discreto ====
| |
− | | |
− | : Esta aula é a introdução da disciplina.
| |
− | :* Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina ([[Sinais e Sistemas]] e [[Comunicação Digital]]).
| |
− | | |
− | :* Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
| |
− | | |
− | ::* Energia do sinal:
| |
− | ::: <math>E_x = \sum_{n = -\infty}^{\infty} {\left| x[n] \right|}^2 </math>
| |
− | ::* Potência do sinal:
| |
− | ::: <math>P_x = \lim_{N \to \infty} {1 \over {2 N + 1}} \sum_{n = -N}^{N} {\left| x[n] \right|}^2 </math>
| |
− | | |
− | ::* Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
| |
− | :::* Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
| |
− | :::* Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
| |
− | :::* Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
| |
− | | |
− | :* É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
| |
− | ::* Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
| |
− | ::* Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
| |
− | ::* Alteração na taxa de amostragem
| |
− | :::* Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
| |
− | :::* Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula1_Slides_v2.pdf | Slides da aula]]
| |
− | | |
− | :; Códigos Matlab desenvolvidos
| |
− | * [[Media:PSD_Aula1_Matlab1.m | Simulação.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_Aula1_Matlab2.m | u.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_Aula1_Matlab3.m | s.m]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 3.1, pg. 226
| |
− | * Exemplo 3.2, pg. 227
| |
− | * Exercício E3.1, ppg. 226
| |
− | * Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
| |
− | | |
− | ==== Funções Úteis ====
| |
− | | |
− | : Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
| |
− | | |
− | [[Imagem:PSD_Aula2_Impulso.png|thumb|Função Impulso Unitário.|180px|right]]
| |
− | :* '''Impulso unitário''', também conhecido como [http://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kronecker Delta de Kronecker], é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como [http://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac Delta de Dirac]:
| |
− | :: <math> \delta[n] = \left\{ \begin{matrix}
| |
− | 1, & \mbox{se } n = 0 \\
| |
− | 0, & \mbox{se } n \ne 0 \end{matrix} \right. </math>
| |
− | | |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | [[Imagem:PSD_Aula2_Degrau.png|thumb|Função Degrau Unitário.|180px|right]]
| |
− | :* '''Degrau unitário''', versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
| |
− | :: <math> u[n] = \left\{ \begin{matrix}
| |
− | 1, & \mbox{se } n \ge 0 \\
| |
− | 0, & \mbox{se } n < 0 \end{matrix} \right. </math>
| |
− | | |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | :* Uma '''Função Exponencial''' discreta é descrita na forma <math>e^{\lambda n}</math>, onde <math>\lambda</math> é o argumento da função e <math>n</math> é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base <math>e</math> e o argumento <math>\lambda</math> são constantes:
| |
− | :: <math> e^{\lambda n} = {\left( e^{\lambda} \right)}^{n}= \gamma^{n} </math>
| |
− | | |
− | :: A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de <math>\lambda</math> ou de <math>\gamma</math>. Iniciemos nossa análise considerando que <math>\lambda</math>, e por consequência <math>\gamma</math>, é real.
| |
− | ::* Se <math>\lambda > 0</math>, <math>e^{\lambda} = \gamma > 1</math>, de forma que <math>e^{\lambda n} = \gamma^{n}</math> é uma '''função crescente''';
| |
− | ::* Se <math>\lambda < 0</math>, <math>e^{\lambda} = \gamma</math> encontra-se entre 0 e 1, de forma que <math>e^{\lambda n} = \gamma^{n}</math> é uma '''função decrescente''';
| |
− | ::* Se <math>\lambda = 0</math>, <math>e^{\lambda} = \gamma = 1</math>, de forma que <math>e^{\lambda n} = \gamma^{n}</math> é uma '''função constante''' igual a 1.
| |
− | | |
− | :: Se <math>\lambda</math> é complexo, ele pode ser escrito na forma <math>a + j b</math>, e <math>e^{\lambda n} = e^{(a + j b) n} = e^{a n} e^{j b n}</math>. Desta forma, <math>\gamma</math> também será complexo, ou <math>\gamma = e^{a} e^{j b}</math>. A análise é feita então em função de <math>a</math> e <math>b</math>.
| |
− | ::* Se <math>b = 0</math>, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
| |
− | ::* Se <math>a = 0</math>, <math>\lambda = j b</math> e <math>\gamma = e^{j b} = cos(b) + j sen(b)</math>, sendo então uma '''função oscilatória complex'''a de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a <math>b</math>;
| |
− | ::* Se <math>a > 0</math>, <math>\lambda = a + j b</math> e <math>\gamma = e^{a} e^{j b} = e^{a}[ cos(b) + j sen(b)] </math>, sendo <math>\gamma^{n}</math> então uma '''função oscilatória complexa''' com '''módulo crescente''' e frequência de oscilação igual a <math>b</math>
| |
− | ::* Se <math>a < 0</math>, <math>\lambda = a + j b</math> e <math>\gamma = e^{a} e^{j b} = e^{a}[ cos(b) + j sen(b)] </math>, sendo <math>\gamma^{n}</math> então uma '''função oscilatória complexa''' com '''módulo decrescente''' e frequência de oscilação igual a <math>b</math>
| |
− | | |
− | [[Imagem:PSD_Aula2_Conv_Exponencial.png|thumb|Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do [http://www.grupoa.com.br/livros/engenharia-mecanica/sinais-e-sistemas-lineares/8560031138 Lathi]).|180px|right]]
| |
− | :: A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de <math>\lambda</math> em <math>\gamma</math> transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
| |
− | | |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula2_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | | |
− | :; Códigos Matlab desenvolvidos
| |
− | * [[Media:PSD_Aula2_Matlab1.m | Simulação.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_Aula2_Matlab2.m | u.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_Aula2_Matlab3.m | d.m]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 3.3, pg. 232
| |
− | * Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
| |
− | * Exemplos de computador:
| |
− | * C3.1 para o sinal <math>x_d[n] = (0,7)^{-n}</math>, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
| |
− | * C3.2 para o sinal <math>x[n] = 3 cos(2 \pi 0,0909 n)</math>, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
| |
− | | |
− | ==== Sistemas em tempo discreto ====
| |
− | | |
− | : Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo '''discreto''' porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
| |
− | <br>
| |
− | [[Imagem:PSD_Aula3_Sistema.png|thumb|Exemplo de sistema discreto.|500px|right]]
| |
− | :: Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo <math>T</math>. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período <math>T</math> e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
| |
− | :::* <math>x[n]</math> = depósito feito no instante <math>n</math>
| |
− | :::* <math>y[n]</math> = saldo na conta no instante <math>n</math>, calculado imediatamente após o recebimento do depósito
| |
− | :::* <math>r</math> = taxa de juros
| |
− | :: O saldo <math>y[n]</math> é a soma de:
| |
− | :::* Saldo anterior <math>y[n-1]</math>
| |
− | :::* Juros obtidos em <math>y[n-1]</math> durante o período
| |
− | :::* Depósito <math>x[n]</math>
| |
− | :: A equação que relaciona a saída <math>y[n]</math> (saldo) com a entrada <math>x[n]</math> (depósito) é:
| |
− | ::: <math>y[n] = y[n-1] + r y[n-1] + x[n]</math>
| |
− | ::: <math>y[n] = (1 + r)y[n-1] + x[n]</math>
| |
− | ::: <math>y[n] - a y[n-1] = x[n]</math>, onde <math>a = 1 + r</math>
| |
− | :: Ou, substituindo <math>n</math> por <math>n+1</math>
| |
− | ::: <math>y[n+1] - a y[n] = x[n+1]</math>, onde <math>a = 1 + r</math>
| |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | : As equações anteriores, chamadas de '''equações diferença''', relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as '''amostras atual e anteriores da entrada''' com as '''amostras atual e anteriores da saída'''. Uma versão genérica da equação diferença é:
| |
− | :: <math>\left. \sum_{k = 0}^{N} a_k y[n+N-k] = \sum_{l = 0}^{M} b_l x[n+M-l] \right.</math>, com <math>a_0 = 1</math>
| |
− | : ou
| |
− | :: <math>\left. y[n+N] + a_1 y[n+N-1] + ... + a_N y[n] = b_0 x[n+M] + b_1 x[n+M-1] + ... + b_M x[n] \right.</math>
| |
− | : As equações anteriores estão na '''forma do operador de avanço'''. Substituindo <math>n</math> por <math>n-N</math>, a equação fica na '''forma do operador de atraso''':
| |
− | :: <math>\left. \sum_{k = 0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{l = 0}^{M} b_l x[n-l] \right.</math>, com <math>a_0 = 1</math>
| |
− | <br>
| |
− | : Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja '''causal''', é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é <math>y[n+N]</math>, e a entrada mais avançada no tempo é <math>x[n+M]</math>. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que <math> \left. N \ge M \right.</math>
| |
− | <br>
| |
− | : Uma forma simples e rápida de '''resolver o sistema''' a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
| |
− | Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
| |
− | : Uma forma diferente de representar o sistema é através da '''Notação Operacional'''. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador <math>E^r</math> para representar um '''avanço''' de <math>r</math> amostras.
| |
− | | |
− | :: <math> \begin{matrix}
| |
− | E x[n] & {}:={} & x[n+1] \\
| |
− | E^2 x[n] & {}:={} & x[n+2] \\
| |
− | {} & \vdots & {} \\
| |
− | E^N x[n] & {}:={} & x[n+N] \end{matrix}</math>
| |
− | | |
− | : Exemplo:
| |
− | :* Equação diferença de primeira ordem:
| |
− | | |
− | :: <math> \begin{matrix}
| |
− | y[n+1] - a y[n] & {}={} & x[n+1] \\
| |
− | E y[n] - a y[n] & {}={} & E x[n] \\
| |
− | (E - a) y[n] & {}={} & E x[n] \end{matrix}</math>
| |
− | | |
− | :* Equação diferença de segunda ordem:
| |
− | | |
− | :: <math> \begin{matrix}
| |
− | y[n+2] + \frac{1}{4} y[n+1] + \frac{1}{16} y[n] & {}={} & x[n+2] \\
| |
− | (E^2 + \frac{1}{4} E + \frac{1}{16}) y[n] & {}={} & E^2 x[n] \end{matrix}</math>
| |
− | <br>
| |
− | : Desta forma, uma '''equação diferença genérica em notação operacional''' é
| |
− | :: <math>\left(E^N + a_1 E^{N-1} + ... + a_{N-1} E + a_N \right) y[n] = \left(b_0 E^N + b_1 E^{N-1} + ... + b_{N-1} E + b_N \right) x[n]</math>
| |
− | : ou simplesmente
| |
− | :: <math>Q\left[E\right]y[n] = P\left[E\right]x[n]</math>
| |
− | : onde
| |
− | :: <math>Q\left[E\right] = E^N + a_1 E^{N-1} + ... + a_{N-1} E + a_N</math>
| |
− | :: <math>P\left[E\right] = b_0 E^N + b_1 E^{N-1} + ... + b_{N-1} E + b_N</math>
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula3_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | | |
− | :; Códigos Matlab desenvolvidos
| |
− | * [[Media:PSD_Aula3_Matlab1.m | Simulação.m]] - Solução do exemplo 3.8
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
| |
− | * Exemplo 3.8, pg. 247
| |
− | * Exercício E3.10, pg. 249
| |
− | * Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
| |
− | * Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
| |
− | | |
− | ==== Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula ====
| |
− | | |
− | | |
− | : Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais
| |
− | ::* Referentes às condições iniciais: '''Resposta de entrada nula'''
| |
− | ::* Referentes à entrada: '''Resposta de estado nulo'''
| |
− | | |
− | : A '''resposta de entrada nula de um sistema''' é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada ('''solução homogênea''').
| |
− | ::: <math>\left. Q[E] y_0[n] = 0 \right.</math>
| |
− | :: ou
| |
− | ::: <math>\left( E^N + a_1 E^{N-1} + ... + a_{N-1} E + a_N \right) y_0[n] = 0</math>
| |
− | :: ou ainda
| |
− | ::: <math>\left. y_0[n+N] + a_1 y_0[n+N-1] + ... + a_N y_0[n] = 0 \right.</math>
| |
− | | |
− | : A solução do problema é então (assumindo '''raízes distintas'''):
| |
− | ::: <math>y_0\left[ n \right] = c_1 \gamma_1^n + c_2 \gamma_2^n + ... + c_N \gamma_N^n</math>
| |
− | :: onde os <math>c_i^{}</math>'s são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
| |
− | | |
− | : Para <math>r</math> '''raízes repetidas''':
| |
− | ::: <math>\left. Q[\gamma] = (\gamma - \gamma_1)^r \right.</math>
| |
− | :: e a resposta de entrada nula será:
| |
− | ::: <math>y_0\left[ n \right] = (c_0 + c_1 n + c_2 n^2 ... + c_{r-1} n^{r-1}) \gamma_1^n </math>
| |
− | | |
− | : Para '''raízes complexas''', expressamos as raízes na forma polar:
| |
− | ::: <math>\gamma_{}^{} = \alpha e^{j \beta}</math> e <math>\gamma_{}^{} = \alpha e^{-j \beta}</math>
| |
− | : E a resposta de entrada nula será
| |
− | ::: <math>y_0^{}[n] = c_1 \gamma^n + c_2 (\gamma^*)^n</math>
| |
− | : Para um sistema real
| |
− | ::: <math>c_1 = \frac{c}{2}e^{j \theta}</math> e <math>c_2 = \frac{c}{2}e^{-j \theta}</math>
| |
− | : E então:
| |
− | ::: <math>y_0[n] = \frac{c}{2} \alpha^n cos(\beta n + \theta)</math>
| |
− | | |
− | : Nomenclatura:
| |
− | :* <math>Q[\gamma]</math> = polinônio característico do sistema
| |
− | :* <math>Q[\gamma] = 0</math> = equação característica do sistema
| |
− | :* <math>\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_N</math> = raízes características, valores característicos ou '''autovalores do sistema'''
| |
− | :* <math>\gamma_1^n, \gamma_2^n, ..., \gamma_N^n</math> = modos característicos ou modos naturais do sistema
| |
− | :* <math>y_0[n]</math> = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula4_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | :; [[Media:PSD_RespostaEntradaNula_Aula.pdf | Notas de aula]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 3.10, pg. 252
| |
− | * Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
| |
− | * Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
| |
− | | |
− | ==== Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo ====
| |
− | | |
− | : Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A '''resposta ao impulso de um sistema''' <math> h[n] </math> é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso <math>\delta[n]</math>.
| |
− | : Ou:
| |
− | :::<math>Q\left[E\right]h[n] = P\left[E\right]\delta[n]</math>
| |
− | | |
− | : Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:
| |
− | ::: <math>h[-1] = h[-2] = ... = h[-N] = 0_{}^{}</math>
| |
− | | |
− | : O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:
| |
− | ::: <math>h[n] = \frac{b_N}{a_N} \delta[n] + y_c[n]u[n] </math>
| |
− | :: onde <math>y_c[n]</math> é a combinação linear dos modos característicos e <math>a_N</math> e <math>b_N</math> são obtidos da equação diferença do sistema.
| |
− | | |
− | Ver exemplo 3.12, pg. 258
| |
− | | |
− | :A '''resposta de estado nulo''' é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais '''zero'''. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo '''somatório de convolução''':
| |
− | ::: <math>y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{m = -\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]</math>
| |
− | :: onde <math>x[n]</math> é a entrada do sistema e <math>h[n]</math> é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.
| |
− | | |
− | : As propriedades do somatório de convolução são:
| |
− | ::* Comutativa
| |
− | :::<math>x_1[n] * x_2[n] = x_2[n] * x_1[n]</math>
| |
− | ::* Distributiva
| |
− | :::<math>x_1[n] * (x_2[n] + x_3[n]) = x_1[n] * x_2[n] + x_1[n] * x_3[n]</math>
| |
− | ::* Associativa
| |
− | :::<math>x_1[n] * (x_2[n] * x_3[n]) = (x_1[n] * x_2[n]) * x_3[n]</math>
| |
− | ::* Propriedade do deslocamento
| |
− | ::: Se <math>x_1[n] * x_2[n] = c[n]</math>, <math>x_1[n-m] * x_2[n-p] = c[n-m-p]</math>
| |
− | ::* Convolução com um impulso
| |
− | :::<math>x[n] * \delta[n] = x[n]</math>
| |
− | ::* Propriedade da largura
| |
− | ::: Se <math>d[n]</math> tem <math>R</math> elementos (amostras) e <math>e[n]</math> tem <math>S</math> elementos, <math>f[n]=d[n]*e[n]</math> tem <math>R+S-1</math> elementos.
| |
− | ::* Causalidade
| |
− | :::<math>x[m] = 0</math> para <math>m<0</math>
| |
− | :::<math>h[m] = 0</math> para <math>m<0</math>, tal que <math>h[n-m] = 0</math> para <math>m>n</math>
| |
− | :: E a convolução causal é:
| |
− | ::: <math>y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{m = 0}^{n} x[m]h[n-m]</math>
| |
− | | |
− | Ver exemplo 3.13, pg. 262
| |
− | | |
− | : Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.
| |
− | : Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais <math>x[m]</math> e <math>h[m]</math> inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, <math>x[m]</math>). Para encontrar o valor de saída para um dado instante <math>n</math>, <math>x[-m]</math> é deslocado de <math>n</math> amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais <math>h[m]</math> e <math>x[-m+n]</math>. O processo de convolução consiste então no deslocamento de <math>x[-m]</math> por toda a extensão de <math>h[m]</math>. Este fato pode ser visto em [http://en.wikipedia.org/wiki/File:Convolution_of_box_signal_with_itself2.gif] e [http://en.wikipedia.org/wiki/File:Convolution_of_spiky_function_with_box2.gif].
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula6_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | :; [[Media:PSD_Aula6_Exercícios.pdf | Resolução de alguns exercícios]], realizada dia 13/09
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 3.11, pg. 256
| |
− | * Exemplo 3.12, pg. 258
| |
− | * Exercício E3.14, pg. 259
| |
− | * Exercício 3.7-4, pg. 298
| |
− | * Exemplo 3.13, pg. 262
| |
− | * Exercício E3.15, pg. 263
| |
− | * Exemplo 3.14, pg. 264
| |
− | * Exemplo de computador C3.6
| |
− | * Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais
| |
− | | |
− | ==== Resposta Total e Estabilidade ====
| |
− | | |
− | : A '''Resposta total''' de um sistema é definida como:
| |
− | ::: Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo
| |
− | ::: Resposta Total = <math>\sum_{j = 1}^{N} c_j \gamma_j^n + x[n] * h[n]</math>
| |
− | | |
− | : A '''estabilidade''' de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).
| |
− | | |
− | : Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso <math>h[n]</math> for absolutamente somável:
| |
− | ::: <math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} |h[n]| < K < \infty</math>
| |
− | | |
− | : A estabilidade interna de um sistema é caracterizada da seguinte forma:
| |
− | ::* Raízes simples ou repetidas '''dentro''' do círculo unitário: '''assintoticamente estável'''
| |
− | ::* Raízes simples '''sobre''' o círculo unitário: '''marginalmente estável'''
| |
− | ::* Raízes repetidas '''sobre''' o círculo unitário: '''assintoticamente instável'''
| |
− | ::* Raízes simples ou repetidas '''fora''' do círculo unitário: '''assintoticamente instável'''
| |
− | | |
− | : As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:
| |
− | ::* Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas '''assintoticamente estáveis''' são '''BIBO estáveis'''.
| |
− | ::* Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas '''marginalmente estáveis''' ou '''assintoticamente instáveis''' são '''BIBO instáveis'''.
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula8_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | :; [[Media:PSD_Convolucao_Visao_intuitiva.pdf | Visão intuitiva da operação de convolução]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 3.22, pg. 285
| |
− | * Exercício 3.10-2, pg. 303
| |
− | | |
− | ==== Avaliação 1 ====
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− | | |
− | : Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova.
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− | {{collapse top | Resultados anteriores - Clicar no "+" para expandir }}
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− | :* [[Media: PSD20706_Avaliacao1_2013-2.pdf | Resultado 2013-2]]
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− | {{collapse bottom}}
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− | | |
− | === Transformada Z ===
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− | | |
− | '''Referência:''' Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.
| |
− | | |
− | * [http://www.academia.edu/783150/DECIFRANDO_A_TRANSFORMADA_Z Por que "Z"?]
| |
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− | ==== Definição da Transformada Z Direta e Inversa ====
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− | | |
− | : A '''Transformada Z Direta''' é calculada como a seguir:
| |
− | :::<math>X[z] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} </math>
| |
− | | |
− | : A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:
| |
− | :::<math>a_1^{}, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n, a_{n+1}, ...</math>
| |
− | :: onde, <math>a_n = a_{n-1} q</math> ou <math>a_n = a_1 q^{n-1}</math>, sendo <math>q</math> denominado '''razão''' da sucessão de termos.
| |
− | | |
− | : A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima [[Media:PSD_Aula9_Planilha.ods | Link]].
| |
− | | |
− | : Para a soma de <math>n</math> termos de uma PG (<math>n</math> finito):
| |
− | :::<math>S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}</math>
| |
− | : Para a soma de infinitos termos de uma PG:
| |
− | :::<math>S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q} ~~~~~~ |q| < 1</math>
| |
− | | |
− | | |
− | : Para mais informações sobre PGs, ver [http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica#Defini.C3.A7.C3.A3o_por_recurs.C3.A3o_e_f.C3.B3rmula_do_termo_geral Link].
| |
− | | |
− | : A '''Transformada Z inversa''' é definida como:
| |
− | :::<math>x[n] = \frac{1}{2 \pi j} \oint X[z] z^{n-1} dz </math>
| |
− | | |
− | : Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da [http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform#Table_of_common_Z-transform_pairs Wikipédia]). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula9_Slides.pdf | Slides da aula]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 5.1, pg. 444
| |
− | * Exemplo 5.2, pg. 446
| |
− | * Exercício E5.1, pg. 448
| |
− | * Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516
| |
− | * Exercício 5.1-4, pg. 517
| |
− | | |
− | * Exemplo 5.3, pg. 448
| |
− | * Exercício E5.2, pg. 451
| |
− | * Exercício 5.1-5, pg. 517
| |
− | | |
− | :; [[Media:PSD_Aula11_Quadro1.pdf | Solução dos exemplos]]
| |
− | | |
− | :; Resoluções realizadas no semestre 2013-1
| |
− | :; [[Media:PSD_Aula11_Quadro2.pdf | Solução exemplo 5.3.b]]
| |
− | :; [[Media:PSD_Aula11_Quadro3.pdf | Solução exemplo 5.3.c]]
| |
− | | |
− | ==== Propriedades da Transformada Z ====
| |
− | | |
− | : Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da [http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform#Properties Wikipédia].
| |
− | | |
− | : Nesta aula, as propriedades serão derivadas.
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi)
| |
− | | |
− | * Exemplo 5.4, pg. 456
| |
− | * Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518
| |
− | | |
− | ==== Solução de sistemas usando a Transformada Z ====
| |
− | | |
− | : A Transformada <math>Z</math> é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:
| |
− | | |
− | :* A equação diferenças é convertida para o domínio <math>Z</math> utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:
| |
− | :::<math>x[n-m]u[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^m} X[z] + \frac{1}{z^m} \sum_{k=1}^{m}x[-k]z^k</math>
| |
− | | |
− | :* A equação algébrica no domínio <math>Z</math> é trabalhada de forma a isolar <math>Y[z]</math>.
| |
− | | |
− | :* Com o <math>Y[z]</math> isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio <math>n</math> através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, <math>y[n]</math>.
| |
− | | |
− | : Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de '''entrada nula''' e de '''estado nulo''' em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.
| |
− | | |
− | | |
− | : Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à '''Função de transferência''' de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):
| |
− | ::: <math>Y[z] = X[z]H[z]</math>
| |
− | :: então:
| |
− | ::: <math>H[z] = \frac{Y[z]}{X[z]} = \frac{\mbox{Resposta total}}{\mbox{Entrada}}</math>
| |
− | | |
− | : Dada a equação diferenças genérica:
| |
− | ::: <math>\left. y[n+N] + a_1 y[n+N-1] + ... + a_N y[n] = b_0 x[n+M] + b_1 x[n+M-1] + ... + b_M x[n] \right.</math>
| |
− | :: ou, em notação operacional:
| |
− | ::: <math>\left(E^N + a_1 E^{N-1} + ... + a_{N-1} E + a_N \right) y[n] = \left(b_0 E^N + b_1 E^{N-1} + ... + b_{N-1} E + b_N \right) x[n]</math>
| |
− | :: ou simplesmente:
| |
− | ::: <math>Q\left[E\right]y[n] = P\left[E\right]x[n]</math>
| |
− | :: onde:
| |
− | ::: <math>Q\left[E\right] = E^N + a_1 E^{N-1} + ... + a_{N-1} E + a_N</math>
| |
− | ::: <math>P\left[E\right] = b_0 E^N + b_1 E^{N-1} + ... + b_{N-1} E + b_N</math>
| |
− | : A Função de Transferência do sistema é:
| |
− | ::: <math>H[z] = \frac{P[z]}{Q[z]} = \frac{b_0 z^N + b_1 z^{N-1} + ... + b_{N-1} z + b_N}{z^N + a_1 z^{N-1} + ... + a_{N-1} z + a_N}</math>
| |
− | | |
− | | |
− | : A '''estabilidade do sistema''' pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de <math>H[z]</math> estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.
| |
− | | |
− | : Se <math>P[z]</math> e <math>Q[z]</math> não possuírem fatores comuns, o denominador de <math>H[z]</math> será idêntico à <math>Q[z]</math>, e:
| |
− | :* '''sistema assintoticamente estável''': Polos de <math>H[z]</math>, repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
| |
− | :* '''sistema assintoticamente instável''':
| |
− | ::* (i) Ao menos um polo de <math>H[z]</math> fora do círculo unitário;
| |
− | ::* (ii) Polos de <math>H[z]</math> repetidos sobre o círculo unitário
| |
− | :* '''sistema marginalmente estável''': Nenhum polo de <math>H[z]</math> fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi)
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− | * Exemplo 5.5, pg. 461
| |
− | * Exercício E5.10, pg. 462
| |
− | * Exercício E5.11, pg. 463
| |
− | * Exercício E5.12, pg. 464
| |
− | * Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519
| |
− | | |
− | * Exemplo 5.6, pg. 466
| |
− | * Exercício 5.3-18, pg. 519
| |
− | * Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520
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− | | |
− | :; Resoluções realizadas no semestre 2014-1
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− | :; [[Media:PSD_Aula_2014-1.pdf | Solução exercício E5.10]]
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− | ==== Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto ====
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− | | |
− | : A '''Resposta em Frequência''' de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo <math>z</math> por <math>e^{j \Omega}</math>. Assim, a frequência é indicada por <math>\Omega</math>. Usando a seta direcional para representar a relação '''entrada''' <math>\Rightarrow</math> '''saída''':
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− | | |
− | ::: <math>z^n \Rightarrow H[z] z^n</math>
| |
− | :: E, fazendo <math>z = e^{j \Omega}</math>:
| |
− | ::: <math>e^{j \Omega n} \Rightarrow H[e^{j \Omega}] e^{j \Omega n}</math>
| |
− | :: onde <math>H[e^{j \Omega}]</math> é a '''Resposta em Frequência''' do sistema, que expressa na forma polar:
| |
− | ::: <math>H[e^{j \Omega}] = |H[e^{j \Omega}]| e^{j \angle{H[e^{j \Omega}]}}</math>
| |
− | | |
− | : Para uma entrada senoidal, considerando que <math>\cos(\Omega n)</math> é a parte real de <math>e^{j \Omega n}</math>:
| |
− | ::: <math>\cos(\Omega n) \Rightarrow \Re (H[e^{j \Omega}] e^{j \Omega n} )</math>
| |
− | ::: <math>\cos(\Omega n) \Rightarrow |H[e^{j \Omega}]| \cos(\Omega n + \angle{H[e^{j \Omega}]})</math>
| |
− | :: e para uma senoide defasada de <math>\theta</math>:
| |
− | ::: <math>\cos(\Omega n + \theta) \Rightarrow |H[e^{j \Omega}]| \cos(\Omega n + \theta + \angle{H[e^{j \Omega}]})</math>
| |
− | | |
− | Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476
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− | | |
− | : Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é '''Periódica''' com período <math>2 \pi</math>. Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:
| |
− | ::: <math>\cos[(\Omega +- 2 \pi m) n] = \cos(\Omega n)</math>, para <math>m</math> inteiro
| |
− | : Isto pode ser confirmado pelo seguinte [[Media:PSD_Aula4_3_5_Matlab1.m | Código MATLAB]].
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− | | |
− | | |
− | : A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela '''posição dos seus polos e zeros'''. Para uma Função de Transferência genérica:
| |
− | ::: <math>H[z] = \frac{b_0 z^N + b_1 z^{N-1} + ... + b_{N-1} z + b_N}{z^N + a_1 z^{N-1} + ... + a_{N-1} z + a_N}</math>
| |
− | :: encontrando as <math>N</math> raízes de ambos os polinômios, a '''Forma Fatorada da Função de Transferência''' é encontrada:
| |
− | ::: <math>H[z] = b_0 \frac{(z-z_1) (z-z_2) ... (z-z_N)}{(z-\gamma_1) (z-\gamma_2) ... (z-\gamma_N)}</math>
| |
− | | |
− | : Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos <math>z = e^{j \Omega}</math>. Como <math>|e^{j \Omega}| = 1</math>, variar <math>\Omega</math> significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência <math>\Omega</math> é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo <math>\Omega</math> sobre o círculo unitário. Ou:
| |
− | ::: <math>H[e^{j \Omega}] = b_0 \frac{(r_1 e^{j \phi_1}) (r_2 e^{j \phi_2}) ... (r_N e^{j \phi_N})}{(d_1 e^{j \theta_1}) (d_2 e^{j \theta_2}) ... (d_N e^{j \theta_N})}</math>
| |
− | :: ou
| |
− | ::: <math>H[e^{j \Omega}] = b_0 \frac{r_1 r_2 ... r_N}{d_1 d_2 ... d_N} e^{j [(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_N) - (\theta_1 + \theta_2 + ... + \theta_N)]}</math>
| |
− | :: onde <math>r_i</math> e <math>d_j</math> são os módulos e <math>\phi_i</math> e <math>\theta_j</math> são os ângulos da linha que une o zero <math>i</math> e o polo <math>j</math> ao ponto de ângulo <math>\Omega</math> sobre o círculo unitário.
| |
− | | |
− | | |
− | : Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas
| |
− | ::* Como a magnitude de <math>H[e^{j \Omega}]</math> é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à <math>e^{j \Omega}</math>, incluir um '''zero próximo de um determinado ângulo''' do círculo unitário '''reduz''' a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido.
| |
− | ::* Como a magnitude de <math>H[e^{j \Omega}]</math> é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à <math>e^{j \Omega}</math>, incluir um '''polo próximo de um determinado ângulo''' do círculo unitário '''aumenta''' a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo '''sobre''' o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável.
| |
− | ::* Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito).
| |
− | | |
− | | |
− | : Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB '''Fdatool'''.
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− | | |
− | :; Exercícios (Lathi)
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− | * Exemplo 5.10, pg. 476
| |
− | * Exercício E5.18, pg. 479
| |
− | * Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521
| |
− | * Exercícios 5.5-5, pg. 522
| |
− | | |
− | * Exercício 5.6-1, pg. 522
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− | | |
− | ==== Laboratório de Transformada Z ====
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− | | |
− | : Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da '''Transformada Z''' na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a '''Função de Transferência''' será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema.
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− | | |
− | | |
− | :; Pré laboratório:
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− | :* Estudar o help do matlab das funções:
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− | ::* polar() - Plot em coordenadas polares
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− | ::* poly() - Encontra os coeficientes de um polinômio com base em suas raízes
| |
− | ::* roots() - Encontra as raízes de um polinômio com base em seus coeficientes
| |
− | ::* freqz() - Retorna a resposta em frequência de um sistema com base na sua equação diferença
| |
− | | |
− | :; Laboratório:
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− | | |
− | :* Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros:
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− | ::* Filtro passa-baixas
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− | ::* Filtro passa-altas
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− | ::* Filtro passa-faixa
| |
− | ::* Filtro rejeita-faixa
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− | | |
− | :* Plotar os polos ('''x''') e os zeros ('''o''') no círculo unitário usando a função polar()
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− | | |
− | :* Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz()
| |
− | ::* Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros.
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− | | |
− | :* Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros
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− | | |
− | :* Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento
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− | | |
− | === Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto ===
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− | | |
− | '''Referência:''' Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738.
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− | | |
− | ==== Série de Fourier de Tempo Discreto ====
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− | | |
− | ;: Periodicidade de uma senoide discreta
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− | | |
− | : Uma senoide discreta <math>\cos( \Omega_0 n )</math> é periódica com período inteiro <math>N_0</math> se <math>\cos[ \Omega_0 (n + N_0) ] = \cos( \Omega_0 n )</math>. Esta equação é verdadeira quando <math>\Omega_0 N_0 = 2 \pi m</math>, com <math>m</math> inteiro. Assim, a senoide <math>\cos ( \Omega_0 n )</math> será periódica se:
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− | | |
− | [[Imagem:PSD_SF_Conjunto_reais.png|thumb|Direita|Conjunto dos números reais [fonte: Wikipedia]]]
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− | | |
− | ::: <math>\frac{\Omega_0}{2 \pi} = \frac{m}{N_0} = {}</math> um '''número racional''' (representado pela divisão de dois números inteiros)
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− | | |
− | :: O '''Período Fundamental''' da senoide será então:
| |
− | ::: <math>N_0 = m \left(\frac{2 \pi}{\Omega_0} \right)</math>
| |
− | :: sendo <math>\Omega_0</math> a '''Frequência Fundamental''' da senoide e <math>m</math> o menor inteiro que faz <math>N_0</math> um número inteiro.
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− | | |
− | | |
− | ;: Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto
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− | | |
− | : A '''Série de Fourier de Tempo Discreto''' é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental:
| |
− | ::: <math>e^{j 0 n}, e^{\pm j \Omega_0 n}, e^{\pm j 2 \Omega_0 n}, e^{\pm j 3 \Omega_0 n}, \ldots</math>
| |
− | | |
− | :: Mas como:
| |
− | ::: <math>g_{r+N_0} = e^{j (r+N_0) \Omega_0 n} = e^{j (r \Omega_0 n + N_0 \Omega_0 n)} = e^{j (r \Omega_0 n + 2 \pi n)} = e^{j r \Omega_0 n} = g_r</math>
| |
− | :: A Série de Fourier de Tempo Discreto é '''finita''', com <math>N_0</math> termos.
| |
− | | |
− | | |
− | : A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por:
| |
− | ::: <math>x[n] = \sum_{r=0}^{N_0-1} D_r e^{j r \Omega_0 n}</math>
| |
− | :: onde <math>D_r</math> é o coeficiente associado à frequência angular <math>r \Omega_0</math>, definido por:
| |
− | ::: <math>D_r = \frac{1}{N_0} \sum_{k = 0}^{N_0-1} x[k] e^{-j r \Omega_0 k}</math>
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− | | |
− | | |
− | ;: Espectro de Fourier de um Sinal Discreto
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− | | |
− | [[Imagem:PSD_SF_Espectro_Fourier.png|thumb|Direita|Espectro de Fourier de um Sinal Discreto]]
| |
− | | |
− | : A Série de Fourier tem <math>N_0</math> componentes:
| |
− | ::: <math>D_0, D_1 e^{j \Omega_0 n}, D_2 e^{j 2 \Omega_0 n}, \ldots , D_{N_0-1} e^{j (N_0-1) \Omega_0 n}</math>
| |
− | :: onde <math>0, \Omega_0, 2 \Omega_0, \ldots , (N_0-1) \Omega_0</math> as frequências de cada componente. Considerando que <math>D_r</math> é em geral complexo, na forma
| |
− | ::: <math>D_r = |D_r| e^{j \angle{D_r}}</math>
| |
− | :: Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de <math>D_r</math> com a frequência do termo. Este é o '''Espectro de Fourier''' do sinal.
| |
− | | |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | :; Códigos Matlab desenvolvidos
| |
− | * [[Media:PSD_AulaSF_Matlab1.m | Periodicidade_senoide.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_AulaSF_Matlab2.m | Espectro_Fourier.m]] -- Simples
| |
− | * [[Media:PSD_AulaSF_Matlab3.m | ExemploC9_2.m]]
| |
− | * [[Media:PSD_AulaSF_Matlab4.m | Espectro_Fourier_3D.m]]
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 9.2, pg. 745
| |
− | * Exercício E9.2, pg. 744
| |
− | * Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783
| |
− | | |
− | ==== Transformada de Fourier de Tempo Discreto ====
| |
− | | |
− | : As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos '''periódicos''' através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é '''aperiódico''' a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, '''formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito'''.
| |
− | | |
− | : Sendo assim, o par de '''Transformadas de Fourier''' é definido como:
| |
− | | |
− | ::: <math>x(\Omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \Omega n} \Rightarrow {} </math> '''Transformada Direta'''
| |
− | ::: <math>x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{2 \pi} X(\Omega) e^{j \Omega n} d\Omega \Rightarrow {} </math> '''Transformada Inversa'''
| |
− | | |
− | ; Informações relevantes
| |
− | :* Espectro é uma função contínua de <math>\Omega</math>
| |
− | :* Espectro é uma função periódica de <math>\Omega</math>:
| |
− | ::: <math>X(\Omega + 2 \pi) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j (\Omega + 2 \pi)n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \Omega n} e^{-j 2 \pi n} = X(\Omega)</math>
| |
− | | |
− | [[Imagem:PSD_TF_Tebela_Sinal_Espectro.png|thumb|Relação entre natureza do sinal e espectro correspondente|600px|Direita]]
| |
− | | |
− | ; Espectro Periódico X Amostrado
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− | :* Sinal periódico:
| |
− | ::* Séries de Fourier
| |
− | ::* Espectro discreto (harmônicas)
| |
− | | |
− | :* Sinal aperiódico:
| |
− | ::* Espectro contínuo
| |
− | | |
− | :* Sinal discreto (amostrado)
| |
− | ::* Espectro periódico (repetido a cada <math>f_s</math> Hz ou <math>2 \pi</math>)
| |
− | | |
− | :* Sinal contínuo
| |
− | ::* Espectro aperiódico
| |
− | | |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | :; Exercícios (Lathi):
| |
− | * Exemplo 9.3, pg. 752
| |
− | * Exemplo 9.4, pg. 753
| |
− | * Exemplo 9.5, pg. 754
| |
− | * Exemplo 9.6, pg. 756
| |
− | * Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756
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− | | |
− | ==== Laboratório de Transformada de Fourier ====
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− | | |
− | :* Criação de sinais digitais no Matlab.
| |
− | :* Funções do Matlab apresentadas:
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− | linspace() - função utilizada para criar vetores em intervalos lineares
| |
− | fft() - função que calcula a transformada de Fourier
| |
− | fftshift() - função auxiliar no trabalho com a transformada de Fourier
| |
− | | |
− | ==== Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier ====
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− | *[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2014-1.pdf | 2014-2 - Descrição do trabalho]]
| |
− | :*[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2014-1_audio.rar | Áudio da palestra]]
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− | | |
− | {{collapse top | Atividades dos semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir }}
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− | | |
− | *[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2013-2.pdf | 2013-2 - Descrição do trabalho]]
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− | *[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2014-1.pdf | 2014-1 - Descrição do trabalho]]
| |
− | :*[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2014-1_audio.rar | Áudio da palestra]]
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− | {{collapse bottom}}
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− | ==== Laboratório de Processamento Digital de Imagens ====
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− | Este laboratório é uma apresentação da Área de Processamento Digital de Imagens. É baseado em alguns materiais de alunos do professor Manuel Menezes de Oliveira Neto ([http://inf.ufrgs.br/~oliveira/ página]), da UFRGS.
| |
− | | |
− | * [[Media:PSD_Lab_Imagens.pdf|Descrição das atividades]]
| |
− | :* [[Media:PSD_Lab_Imagens_arquivos.zip|Imagens para as simulações]]
| |
− | :* [[Media:PSD_Lab_Imagens_variaveis.zip|Variáveis criadas no dia 3/11]]
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− | | |
− | === Filtros Digitais ===
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− | | |
− | '''Referência:''' Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi.
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− | ==== Introdução aos Filtros Digitais ====
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− | | |
− | : As respostas clássicas de filtros analógicos também se aplicam aos filtros digitais:
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− | | |
− | [[Imagem:PSD_Filtros_Respostas.png|thumb|Respostas em Magnitude ideais de filtros|500px|center]]
| |
− | <br style="clear:both;">
| |
− | | |
− | : Os filtros digitais são sistemas descritos por equações diferenças, que na sua forma genérica é:
| |
− | ::: <math>y[n] + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_N y[n-N] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_N x[n-N]</math>
| |
− | | |
− | : A '''Função de Transferência''' dos filtros digitais é encontrada via Transformada Z:
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− | ::: <math>H[z] = \frac{\sum_{k=0}^{N} b_k z^{-k}}{\sum_{l=0}^{N} a_l z^{-l}}</math>
| |
− | | |
− | : Fazendo <math>z = e^{j \Omega}</math>, obtemos a '''Resposta em Frequência''' do filtro:
| |
− | ::: <math>H[e^{j \Omega}] = \frac{\sum_{k=0}^{N} b_k e^{-j \Omega k}}{\sum_{l=0}^{N} a_l z^{-j \Omega l}}</math>
| |
− | | |
− | : Nota-se que <math>H[e^{j \Omega}]</math> é um número complexo, que pode então ser descrito na forma polar:
| |
− | ::: <math>H[e^{j \Omega}] = M_H e^{F_H}</math>
| |
− | :: onde <math>M_H = |H[e_{}^{j \Omega}]| </math> é o módulo da resposta em frequência ('''Resposta de Magnitude''') e <math>F_H = \angle {H[e^{j \Omega}]}</math> é a fase da resposta em frequência ('''Resposta de Fase''').
| |
− | | |
− | : O processo de filtragem de um sinal por um filtro digital é descrito através da operação de convolução. "Filtrar" um sinal significa realizar a '''convolução''' da '''resposta ao impulso''' do filtro com o sinal em questão:
| |
− | ::: <math>y[n] = h[n] * x[n]</math>
| |
− | :: Que no domínio da frequência é:
| |
− | ::: <math>Y[e^{j \Omega}] = H[e^{j \Omega}] X[e^{j \Omega}]</math>
| |
− | :: ou:
| |
− | ::: <math>Y[e^{j \Omega}] = |H[e^{j \Omega}]| \times |X[e^{j \Omega}]| e^{\angle {H[e^{j \Omega}]} + \angle {X[e^{j \Omega}]}}</math>
| |
− | :: Ou seja, '''o espectro de magnitude do sinal filtrado é o produto do espectro de magnitude do sinal original pela resposta de magnitude do filtro''', enquanto que '''o espectro de fase do sinal filtrado é a soma do espectro de fase do sinal original pela resposta de fase do filtro'''.
| |
− | | |
− | ==== Filtros FIR e IIR ====
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− | | |
− | : Os filtros FIR e IIR serão apresentados através dos dois seguintes exemplos:
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− | | |
− | ;: Exemplos:
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− | | |
− | :* <math>y[n+2] - 5 y[n+1] + 6 y[n] = 3 x[n+1] + 5 x[n]</math>, tendo como condições iniciais <math>y[-1] = \frac{11}{6}</math> e <math>y[-2] = \frac{37}{36}</math>, e sinal de entrada <math>x[n] = \delta[n]</math>
| |
− | ::: O resultado deste exemplo é <math>y[n] = \frac{5}{6} \delta[n] + \frac{23}{2} 2^n u[n] + \frac{46}{3} 3^n u[n]</math>
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− | | |
− | | |
− | :* <math>y[n] = 3 x[n-1] + 5 x[n-2]</math>, com sinal de entrada <math>x[n] = \delta[n]</math>
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− | ::: O resultado deste exemplo é <math>y[n] = 3 \delta[n-1] + 5 \delta[n-2]</math>
| |
− | | |
− | | |
− | : É visível que há diferenças nos resultados dos exemplos. No primeiro exemplo, o sinal de saída inicia em <math>0</math> e se estende até o infinito, dado que não há nenhuma limitação no tempo na equação. Já no segundo exemplo, o sinal de saída é limitado a existir apenas nos instantes <math>1</math> e <math>2</math>. Sendo assim, temos no primeiro exemplo '''um sinal de duração infinita''' e no segundo '''um sinal de duração finita'''. Como o sinal de entrada dos sistemas é um impulso (<math>\delta[n]</math>), os sinais em questão são as '''respostas ao impulso''' dos respectivos sistemas.
| |
− | | |
− | | |
− | : Sendo assim, os filtros são classificados numa das duas formas:
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− | :* Filtros com Resposta ao Impulso Finita (FIR - ''Finite Impulse Response'')
| |
− | :* Filtros com Resposta ao Impulso Infinita (IIR - ''Infinite Impulse Response'')
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− | | |
− | ==== Filtros FIR janelados ====
| |
− | | |
− | : A resposta de magnitude ideal de um filtro passa baixas pode ser descrita através da seguinte equação:
| |
− | ::: <math>|H_{\text{LP}}[e^{j \Omega}]| = \left\{\begin{matrix}
| |
− | 1, & \mbox{se } |\Omega|\le\Omega_c \\
| |
− | 0, & \mbox{se } |\Omega|>\Omega_c \end{matrix}\right.</math>
| |
− | | |
− | | |
− | : Ao calcular a transformada inversa de Fourier da resposta em questão, o seguinte sinal é obtido:
| |
− | ::: <math>h_{\text{LP}}[n] = \frac{\Omega_c}{\pi} \mathrm{sinc}(\Omega_c n)</math>
| |
− | :: ou de outra forma:
| |
− | ::: <math>h_{\text{LP}}[n] = \left\{\begin{matrix}
| |
− | \frac{\Omega_c}{\pi}, & n = 0 \\
| |
− | \frac{\sin(\Omega_c n)}{\pi n}, & n \ne 0 \end{matrix}\right.</math>
| |
− | | |
− | | |
− | : Para outros filtros:
| |
− | | |
− | :* Filtro passa altas:
| |
− | ::: <math>h_{\text{HP}} = \left\{\begin{matrix}
| |
− | 1 - \frac{\Omega_c}{\pi}, & n = 0 \\
| |
− | -\frac{\sin(\Omega_c n)}{\pi n}, & n \ne 0 \end{matrix}\right.</math>
| |
− | | |
− | :* Filtro passa faixa:
| |
− | | |
− | ::: [[Imagem:PSD_Filtros_PF.png|frameless||300px|left]]
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− | | |
− | ::: <math>h_{\text{BP}}[n] = \left \{ \begin{matrix}
| |
− | \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}, & n = 0 \\
| |
− | \frac{1}{\pi n} \[ \sin(\Omega_c_2 n) - \sin(\Omega_c_1 n) \], & n \ne 0
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− | \end{matrix}\right.</math>
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− | | |
− | <br style="clear:both;">
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− | | |
− | :* Filtro rejeita faixa:
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− | | |
− | ::: [[Imagem:PSD_Filtros_RF.png|frameless||300px|left]]
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− | | |
− | ::: <math>h_{\text{BS}} = \left\{\begin{matrix}
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− | 1 - \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}, & n = 0 \\
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− | \frac{1}{\pi n} [ \sin(\Omega_c_1 n) - \sin(\Omega_c_2 n) ], & n \ne 0 \end{matrix}\right.</math>
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− | | |
− | :'''Observação''': Todas essas equações consideram o uso de uma frequência de amostragem <math>f_s = 1</math>. Caso uma outra frequência de amostragem seja utilizada, cuidar com as seguintes situações:
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− | ::* A distância entre as amostras não serão de uma unidade. Assim, sempre que o termo <math>n</math> aparecer, este deve ser substituído por <math>n \times t_s</math>. Com isso, a distância entre as amostras irá depender da frequência de amostragem utilizada.
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− | ::* No filtro rejeita faixa, o termo em <math>1</math> da subtração <math>1 - \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}</math> deve ser substituído pela frequência de amostragem, ficando a equação <math>f_s - \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}</math>
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− | | |
− | <br style="clear:both;">
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− | | |
− | : Estas são as respostas ao impulso dos filtros ideais. Uma questão importante destas respostas é que elas são ilimitadas no tempo, ou seja, possuem '''duração infinita'''. Para que estas repostas sejam realizáveis através de filtros FIR, é necessário limitar o número de amostras da resposta ao impulso <math>h_{\text{LP}}</math>:
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− | ::: <math>h_{\text{LP}_M}[n] = \left\{\begin{matrix}
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− | h_{\text{LP}}[n], & |n| \le M \\
| |
− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | :: ou seja, amostras fora do intervalo <math>-M \le n \le M</math> são descartadas.
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− | | |
− | [[Imagem:PSD_Filtros_Janelamento.png|thumb|Impacto do truncamento da resposta ao impulso.|400px|right]]
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− | : Um filtro passa baixas truncado não possui mais a resposta em frequência ideal, já que para obter aquela resposta seriam necessárias infinitas amostras. Considerando que o truncamento pode ser representado pela multiplicação da resposta ao impulso original por uma '''janela retangular''':
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− | ::: <math>w_R[n] = \left\{\begin{matrix}
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− | 1, & |n| \le M \\
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− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | :: a resposta em frequência do filtro truncado será a '''convolução da resposta em frequência ideal do fitro pela transformada de fourier da janela retangular utilizada no truncamento da resposta'''. Ou:
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− | ::: <math>H_{\text{LP}_M}[e^{j \Omega}] = H_{\text{LP}}[e^{j \Omega}] * W_R[e^{j \Omega}]</math>
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− | :: onde <math>W_R[e^{j \Omega}]</math> é a transformada de Fourier da janela retangular:
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− | ::: <math>W_R[e^{j \Omega}] = 2 M \mathrm{sinc}(\Omega M)</math>
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− | <br style="clear:both;">
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− | : A janela retangular não é a única opção de truncamento disponível. A seguir, as principais janelas serão apresentadas:
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− | [[Imagem:PSD_Filtros_Bartlett.png|thumb|Janela de Bartlett.|300px|right]]
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− | :* Bartlett (triangular):
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− | ::: <math>w_{\text{bar}}[n] = \left\{\begin{matrix}
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− | 1 - \frac{|n|}{M+1}, & |n| \le M \\
| |
− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | <br style="clear:both;">
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− | | |
− | [[Imagem:PSD_Filtros_hann.png|thumb|Janela de Hanning.|300px|right]]
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− | :* Hann:
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− | ::: <math>w_{\text{han}}[n] = \left\{\begin{matrix}
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− | \frac{1}{2} \times [ 1 + \cos(\frac{2 \pi n}{2 M + 1}) ], & |n| \le M \\
| |
− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | <br style="clear:both;">
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− | [[Imagem:PSD_Filtros_hamm.png|thumb|Janela de Hamming.|300px|right]]
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− | :* Hamming:
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− | ::: <math>w_{\text{ham}}[n] = \left\{\begin{matrix}
| |
− | 0.54 + 0.46 \times \cos(\frac{2 \pi n}{2 M + 1}), & |n| \le M \\
| |
− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | <br style="clear:both;">
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− | [[Imagem:PSD_Filtros_black.png|thumb|Janela de Blackman.|300px|right]]
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− | :* Blackman:
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− | ::: <math>w_{\text{bla}}[n] = \left\{\begin{matrix}
| |
− | 0.42 + 0.5 \times \cos(\frac{2 \pi n}{2 M + 1}) + 0.08 \times \cos(\frac{4 \pi n}{2 M + 1}), & |n| \le M \\
| |
− | 0, & \text{fora} \end{matrix}\right.</math>
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− | <br style="clear:both;">
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− | : Os impactos do uso destas e muitas outras janelas podem ser vistos no Matlab, na ferramenta '''fdatool'''. Para mais informações, ver [http://www.mathworks.com/help/signal/ug/opening-fdatool.html Link].
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− | :; Códigos Matlab desenvolvidos
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− | * [[Media:PSD_Filtros_Matlab1.m | Simulação.m]]
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− | ==== A janela Kaiser ====
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− | [[Imagem:PSD_Filtros_Kaiser1.png|thumb|Máxima variação nas bandas de rejeição e passagem.|400px|left]]
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− | [[Imagem:PSD_Filtros_Kaiser2.png|thumb|Máxima variação na transição entre as bandas.|400px|right]]
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− | : Nas janelas anteriores não há um controle sobre a resposta em frequência dos filtros. Visando obter tal controle, a janela de Kaiser foi desenvolvida.
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− | : Na janela de Kaiser, o parâmetro <math>\delta</math> é utilizado para indicar a máxima flutuação da resposta nas bandas de rejeição e passagem, assim como o parâmetro <math>\Delta\omega</math> indica a taxa de transição entre as duas bandas. Desta forma têm-se um controle total sobre a resposta em frequência do filtro.
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− | <br style="clear:both;">
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− | : Para encontrar a resposta ao impulso da Janela de Kaiser, deve-se seguir os passos:
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− | :* <math>\alpha_s = -20 \log_{10}^{} (\delta)</math>
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− | :* <math> \beta = \left\{ \begin{array}{lc}
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− | 0,1102(\alpha_s - 8,7), & \alpha_s > 50 \\
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− | 0,5842 (\alpha_s - 21)^{0,4} + 0,07886(\alpha_s - 21), & 21 \le \alpha_s \le 50 \\
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− | 0, & \alpha < 21 \end{array} \right. </math>
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− | :* Número de amostras da resposta ao impulso <math>{} = N = 2 M = \frac{\alpha_s - 8}{2,285 \Delta\omega}</math>
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− | :* Janela de Kaiser:
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− | ::: <math>w[n] = \frac{\text{I}_0 \left\{ \beta \sqrt{1 - ( \frac{n}{M} )^2} \right\}}{\text{I}_0 \left\{ \beta \right\}}</math>
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− | :: onde:
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− | ::: <math>\text{I}_0 \{ x \} = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{(\frac{x}{2})^k}{k!} \right]^2 = {}</math> Função de Bessel de ordem zero modificada (para fazer no Matlab, ver função '''besseli''')
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− | ==== Laboratório ====
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− | :* [[Media:PSD_Lab_Filtros_Parte1.pdf|Descrição das atividades - Parte 1]]
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− | :* [[Media:PSD_Lab_Filtros_Parte2.pdf|Descrição das atividades - Parte 2]]
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− | ::*[[Media: PSD20706_Avaliacao_3_2014-1_audio.rar | Arquivo de áudio]]
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− | ==== Avaliação 4 ====
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− | [[Media:PSD_Avaliacao_final_2014-2.pdf |Descrição das atividades]]
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− | :* [[Media:PSD20706_Avaliacao_final_2014-2_audios.zip | Sinais de áudio]]
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− | {{collapse top | Trabalho final 2014-1 - Clicar no "+" para expandir }}
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− | : A avaliação 4 será feita através de um trabalho em grupo. A descrição do trabalho encontra-se no [[Media:PSD_Avaliacao4_2014-1.pdf | Link]]. Para a parte 3, utilizar o arquivo de áudio disponível [[Media:PSD20706_Avaliacao_3_2014-1_audio.rar | aqui]].
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− | : Como combinado faremos 4 equipes (digitem o nome dos alunos das equipes):
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− | :* Equipe 1: Luana, Thiago e Wagner
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− | :* Equipe 2: Thiego e Muriel
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− | :* Equipe 3: Renan
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− | :* Equipe 4: Leonardo, Renan Gonçalves, Ricardo
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− | == Avaliações de Recuperação ==
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− | : Como acordado no dia 29/11, as avaliações de recuperação serão realizadas '''após a aula''', às 17:30, pela seguinte programação:
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− | ::* Dia 12/12 - Quinta-feira - 18:30-20:20 - Recuperação da avaliação 2 - '''Transformada Z'''
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− | ::* Dia 17/12 - Terça-feira - 15:30-17:30 - Recuperação da avaliação 1 - '''Sinais e sistemas em tempo discreto'''
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− | : Os trabalhos terão como data limite o seguinte:
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− | ::* Trabalho 1 - DTMF: Agendar horário de apresentação até sexta-feira, 13/12
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− | ::* Trabalho 2 - Filtros: Entregar código e relatório até segunda-feira, 16/12
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