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2 Informações da disciplina

• Professora: Deise Monquelate Arndt
• Plano de Ensino 2015-1

3 Diário de aula

{{Cl|12 |20/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Fun.C3.A7.C3.B5es_.C3.9Ateis|Avaliação 1 - Análise no Domínio do Tempo {{Cl|12 |24/03 | 2 | [[PSD-CSTTel_(página)#Fun.C3.A7.C3.B5es_.C3.9Ateis| Transformada Z - Definição]| }}]

Aula	Data	Horas	Conteúdo	Recursos
1	06/02	2	Apresentação da disciplina	Datashow
2	10/02	2	Tutorial de matlab	Datashow
3	13/02	2	Sinais discretos	Datashow
4	20/02	2	Funções úteis	Datashow
5	24/02	2	Defesa de TCC
6	27/02	2	Sistemas discretos	Datashow
7	03/03	2	Resposta a entrada nula	Datashow
8	06/03	2	Resposta ao Impulso e resposta ao estado nulo
9	10/03	2	Resposta ao Impulso e resposta ao estado nulo
10	13/03	2	Estabilidade do Sistema
11	17/03	2	Exercícios	Quadro e Giz
TOTAL		'

3.1 Apresentação da disciplina

Roteiro:

• Apresentação da professora;
• Apresentação plano de ensino da disciplina,
• Apresentação da Área de Processamento de Sinais;
• Apresentação da disciplina (Plano de Ensino);

3.2 Tutorial de Matlab

 Tutorial Linux.m
 Tutorial Windows.m

3.3 Exercício Transformada de Fourier

 transformada_Fourier.m

3.4 Sinais Discretos

Sinais Discretos

3.5 Funções Úteis

Funções Úteis

3.6 Sistemas Discretos

Sistemas Discretos

3.7 Resposta a Entrada Nula

Resposta a entrada Nula

3.8 Resposta ao Impulso e resposta ao estado nulo

Resposta ao Impulso e resposta ao estado nulo

3.9 Estabilidade do Sistema

Estabilidade do Sistema

3.10 Transformada Z - Definição

Transformada Z

3.11 Trabalho Transformada TFTD

Trabalho Transformada Fourier em Tempo Discreto

4 Materiais PSD de semestres anteriores

Clicar no "+" para expandir

5 2012-2 a 2014-2 5.1 Informações da disciplina Professor: Diego da Silva de Medeiros Plano de Ensino 2014-2 Planos de ensino anteriores - Clicar no "+" para expandir Plano de Ensino 2014-1 Plano de Ensino 2013-2 5.2 Diário de aula 2014-2 - Clicar no "+" para expandir Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 04/08 2 Apresentação da disciplina 2 05/08 2 Tutorial de matlab 3 11/08 2 Sinais discretos 4 12/08 2 Funções úteis 5 18/08 2 Sistemas em tempo discreto e Resposta de entrada nula 6 19/08 2 Resposta ao impulso e resposta de estado nulo 7 25/08 2 Resposta total e estabilidade 8 26/08 2 Aula livre para dúvidas 9 01/09 2 Avaliação 1 - Sinais e sistemas discretos 10 02/09 2 Transformada Z 11 08/09 2 Propriedades da Transformada Z 12 09/09 2 Solução de sistemas usando a transformada Z 13 15/09 2 Aula liberada devido à reunião do DEPE 14 16/09 2 Resposta em Frequência de Sistemas em tempo discreto 15 22/09 2 Laboratório de Transformada Z 16 23/09 2 Aula livre oara dúvidas 17 29/09 2 18 30/09 2 19 06/10 2 20 07/10 2 21 13/10 2 22 14/10 2 23 20/10 2 24 21/10 2 25 27/10 2 26 28/10 2 27 03/11 2 28 04/11 2 29 10/11 2 30 11/11 2 31 17/11 2 32 18/11 2 33 24/11 2 34 25/11 2 35 01/12 2 36 02/12 2 37 08/12 2 38 09/12 2 39 15/12 2 Último dia de aula TOTAL ' 2014-1 - Clicar no "+" para expandir Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 10/02 2 Apresentação da disciplina 2 14/02 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 3 17/02 2 Tutorial de Matlab 4 21/02 2 Funções Úteis 5 24/02 2 Sistemas em tempo discreto 6 28/02 2 Aula liberada para defesas de TCC 7 07/03 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 8 10/03 2 Aula liberada para resolução de exercícios 9 14/03 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 10 17/03 2 Visão intuitiva da operação de convolução 11 21/03 2 Aula liberada para resolução de exercícios 12 24/03 2 Avaliação 1 13 28/03 2 Transformada Z 14 31/03 2 Resolução de exercícios de Transformada Z Direta e Reversa 15 04/04 2 Propriedades da Transformada Z 16 07/04 2 Correção da Avaliação 1 17 11/04 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 18 14/04 2 Recuperação da avaliação 1 19 25/04 2 Aula liberada para exercícios devido à minha participação em encontros pedagógicos do Curso Técnico Integrado 20 28/04 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto TOTAL ' 2013-2 - Clicar no "+" para expandir Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 16/08 2 Apresentação da disciplina 2 20/08 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 3 23/08 2 Funções Úteis 4 27/08 2 Sistemas em tempo discreto 5 30/08 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 6 03/09 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 7 06/09 2 Aula livre para exercícios 8 10/09 2 Resposta Total e Estabilidade 9 13/09 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 10 17/09 2 Avaliação 1 11 20/09 2 Resolução de exercícios com a Transformada Z 12 24/09 2 Aulas suspensas pela Direção do DEPE 13 27/09 2 Propriedades da Transformada Z 14 01/10 2 Aula livre para a execução de exercícios 15 04/10 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 16 08/10 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z (cont.) 17 11/10 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 18 15/10 2 Laboratório de Transformada Z 19 18/10 2 Aula livre para a execução de exercícios 20 22/10 2 Semana Nacional de Ciência e Tecnologia 21 25/10 2 Avaliação 2 22 29/10 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 23 01/11 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto 24 05/11 2 Laboratório de Transformada de Fourier 25 08/11 2 Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 26 12/11 2 Filtros Digitais 27 15/11 2 Feriado Nacional - Proclamação da República 28 19/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP 29 22/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP 30 26/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos 31 29/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos 32 03/12 2 Aula livre para realização dos trabalhos 33 06/12 2 A janela Kaiser TOTAL ' 5.3 Aulas 5.3.1 Apresentação da disciplina Roteiro: Apresentação do professor; Apresentação da Área de Processamento de Sinais (Slides) Apresentação da disciplina (Plano de Ensino); Grupo da disciplina: IFSCTelePSD Atividade (Trabalho 1) Pesquisar um artigo da área de Processamento de Sinais no site IEEEXplore e fazer um pequeno resumo sobre o artigo. Como dica, dar preferências a artigos entre 1960 e 1970, pois estes deverão ser de mais fácil compreensão que artigos mais recentes ou muito antigos. 5.3.2 Tutorial de Matlab Tutorial Linux.m Tutorial Windows.m 5.3.3 Sinais em tempo discreto Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224. 5.3.3.1 Introdução à Sinais em Tempo Discreto Esta aula é a introdução da disciplina. Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital). Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência. Energia do sinal: $E_x=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|x[n]|}^2$ Potência do sinal: $P_x=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N{|x[n]|}^2$ Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero. Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita. Alguns sinais não são nem de energia nem de potência É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são: Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo. Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y) Alteração na taxa de amostragem Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal Slides da aula Códigos Matlab desenvolvidos * Simulação.m * u.m * s.m Exercícios (Lathi) * Exemplo 3.1, pg. 226 * Exemplo 3.2, pg. 227 * Exercício E3.1, ppg. 226 * Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230 5.3.3.2 Funções Úteis Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi). Função Impulso Unitário. Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac: $\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }n=0\\ 0,& \text{se }n\ne 0\end{array}$ Função Degrau Unitário. Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo. $u[n]=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }n\ge 0\\ 0,& \text{se }n<0\end{array}$ Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma $e^{\lambda n}$, onde $\lambda$ é o argumento da função e $n$ é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base $e$ e o argumento $\lambda$ são constantes: $e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^n={\gamma }^n$ A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de $\lambda$ ou de $\gamma$. Iniciemos nossa análise considerando que $\lambda$, e por consequência $\gamma$, é real. Se $\lambda >0$, $e^{\lambda }=\gamma >1$, de forma que $e^{\lambda n}={\gamma }^n$ é uma função crescente; Se $\lambda <0$, $e^{\lambda }=\gamma$ encontra-se entre 0 e 1, de forma que $e^{\lambda n}={\gamma }^n$ é uma função decrescente; Se $\lambda =0$, $e^{\lambda }=\gamma =1$, de forma que $e^{\lambda n}={\gamma }^n$ é uma função constante igual a 1. Se $\lambda$ é complexo, ele pode ser escrito na forma $a+jb$, e $e^{\lambda n}=e^{(a+jb)n}=e^{an}{e}^{jbn}$. Desta forma, $\gamma$ também será complexo, ou $\gamma =e^a{e}^{jb}$. A análise é feita então em função de $a$ e $b$. Se $b=0$, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos; Se $a=0$, $\lambda =jb$ e $\gamma =e^{jb}=cos(b)+jsen(b)$, sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a $b$; Se $a>0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^a{e}^{jb}=e^a[cos(b)+jsen(b)]$, sendo ${\gamma }^n$ então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a $b$ Se $a<0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^a{e}^{jb}=e^a[cos(b)+jsen(b)]$, sendo ${\gamma }^n$ então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a $b$ Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do Lathi). A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de $\lambda$ em $\gamma$ transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário. Slides da aula Códigos Matlab desenvolvidos * Simulação.m * u.m * d.m Exercícios (Lathi) * Exemplo 3.3, pg. 232 * Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234 * Exemplos de computador: * C3.1 para o sinal $x_d[n]=(0,7{)}^{-n}$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10 * C3.2 para o sinal $x[n]=3cos(2\pi 0,0909n)$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33 5.3.3.3 Sistemas em tempo discreto Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão. Exemplo de sistema discreto. Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo $T$. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período $T$ e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são: $x[n]$ = depósito feito no instante $n$ $y[n]$ = saldo na conta no instante $n$, calculado imediatamente após o recebimento do depósito $r$ = taxa de juros O saldo $y[n]$ é a soma de: Saldo anterior $y[n-1]$ Juros obtidos em $y[n-1]$ durante o período Depósito $x[n]$ A equação que relaciona a saída $y[n]$ (saldo) com a entrada $x[n]$ (depósito) é: $y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]$ $y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]$ $y[n]-ay[n-1]=x[n]$, onde $a=1+r$ Ou, substituindo $n$ por $n+1$ $y[n+1]-ay[n]=x[n+1]$, onde $a=1+r$ As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é: $\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n+N-k]=\sum _{l=0}^M{b}_{l}x[n+M-l]$, com $a_0=1$ ou $y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]$ As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo $n$ por $n-N$, a equação fica na forma do operador de atraso: $\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{l=0}^M{b}_{l}x[n-l]$, com $a_0=1$ Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é $y[n+N]$, e a entrada mais avançada no tempo é $x[n+M]$. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que $N\ge M$ Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada. Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247 Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador $E^r$ para representar um avanço de $r$ amostras. $\begin{array}{ccc}Ex[n]& :=& x[n+1]\\ E^{2}x[n]& :=& x[n+2]\\ & ⋮& \\ E^{N}x[n]& :=& x[n+N]\end{array}$ Exemplo: Equação diferença de primeira ordem: $\begin{array}{ccc}y[n+1]-ay[n]& =& x[n+1]\\ Ey[n]-ay[n]& =& Ex[n]\\ (E-a)y[n]& =& Ex[n]\end{array}$ Equação diferença de segunda ordem: $\begin{array}{ccc}y[n+2]+\frac{1}{4}y[n+1]+\frac{1}{16}y[n]& =& x[n+2]\\ (E^2+\frac{1}{4}E+\frac{1}{16})y[n]& =& E^{2}x[n]\end{array}$ Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é $(E^N+a_1{E}^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_N)y[n]=(b_0{E}^N+b_1{E}^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_N)x[n]$ ou simplesmente $Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$ onde $Q\left[E\right]=E^N+a_1{E}^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_N$ $P\left[E\right]=b_0{E}^N+b_1{E}^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_N$ Slides da aula Códigos Matlab desenvolvidos * Simulação.m - Solução do exemplo 3.8 Exercícios (Lathi) * Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295 * Exemplo 3.8, pg. 247 * Exercício E3.10, pg. 249 * Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10 * Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional 5.3.3.4 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula Referentes à entrada: Resposta de estado nulo A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea). $Q[E]y_0[n]=0$ ou $(E^N+a_1{E}^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_N)y_0[n]=0$ ou ainda $y_0[n+N]+a_1{y}_0[n+N-1]+...+a_N{y}_0[n]=0$ A solução do problema é então (assumindo raízes distintas): $y_0\left[n\right]=c_1{\gamma }_1^n+c_2{\gamma }_2^n+...+c_N{\gamma }_N^n$ onde os $c_i^{}$'s são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais Para $r$ raízes repetidas: $Q[\gamma ]=(\gamma -{\gamma }_1{)}^r$ e a resposta de entrada nula será: $y_0\left[n\right]=(c_0+c_{1}n+c_2{n}^2...+c_{r-1}{n}^{r-1}){\gamma }_1^n$ Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar: ${\gamma }_{}^{}=\alpha e^{j\beta }$ e ${\gamma }_{}^{}=\alpha e^{-j\beta }$ E a resposta de entrada nula será $y_0^{}[n]=c_1{\gamma }^n+c_2({\gamma }^{*}{)}^n$ Para um sistema real $c_1=\frac{c}{2}{e}^{j\theta }$ e $c_2=\frac{c}{2}{e}^{-j\theta }$ E então: $y_0[n]=\frac{c}{2}{\alpha }^{n}cos(\beta n+\theta )$ Nomenclatura: $Q[\gamma ]$ = polinônio característico do sistema $Q[\gamma ]=0$ = equação característica do sistema ${\gamma }_1,{\gamma }_2,...,{\gamma }_N$ = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema ${\gamma }_1^n,{\gamma }_2^n,...,{\gamma }_N^n$ = modos característicos ou modos naturais do sistema $y_0[n]$ = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos Slides da aula Notas de aula Exercícios (Lathi) * Exemplo 3.10, pg. 252 * Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255 * Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios 5.3.3.5 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema $h[n]$ é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso $\delta [n]$. Ou: $Q\left[E\right]h[n]=P\left[E\right]\delta [n]$ Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas: $h[-1]=h[-2]=...=h[-N]=0_{}^{}$ O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação: $h[n]=\frac{b_N}{a_N}\delta [n]+y_c[n]u[n]$ onde $y_c[n]$ é a combinação linear dos modos característicos e $a_N$ e $b_N$ são obtidos da equação diferença do sistema. Ver exemplo 3.12, pg. 258 A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução: $y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]h[n-m]$ onde $x[n]$ é a entrada do sistema e $h[n]$ é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução. As propriedades do somatório de convolução são: Comutativa $x_1[n]*x_2[n]=x_2[n]*x_1[n]$ Distributiva $x_1[n]*(x_2[n]+x_3[n])=x_1[n]*x_2[n]+x_1[n]*x_3[n]$ Associativa $x_1[n]*(x_2[n]*x_3[n])=(x_1[n]*x_2[n])*x_3[n]$ Propriedade do deslocamento Se $x_1[n]*x_2[n]=c[n]$, $x_1[n-m]*x_2[n-p]=c[n-m-p]$ Convolução com um impulso $x[n]*\delta [n]=x[n]$ Propriedade da largura Se $d[n]$ tem $R$ elementos (amostras) e $e[n]$ tem $S$ elementos, $f[n]=d[n]*e[n]$ tem $R+S-1$ elementos. Causalidade $x[m]=0$ para $m<0$ $h[m]=0$ para $m<0$, tal que $h[n-m]=0$ para $m>n$ E a convolução causal é: $y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=0}^{n}x[m]h[n-m]$ Ver exemplo 3.13, pg. 262 Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263. Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais $x[m]$ e $h[m]$ inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, $x[m]$). Para encontrar o valor de saída para um dado instante $n$, $x[-m]$ é deslocado de $n$ amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais $h[m]$ e $x[-m+n]$. O processo de convolução consiste então no deslocamento de $x[-m]$ por toda a extensão de $h[m]$. Este fato pode ser visto em [1] e [2]. Slides da aula Resolução de alguns exercícios, realizada dia 13/09 Exercícios (Lathi) * Exemplo 3.11, pg. 256 * Exemplo 3.12, pg. 258 * Exercício E3.14, pg. 259 * Exercício 3.7-4, pg. 298 * Exemplo 3.13, pg. 262 * Exercício E3.15, pg. 263 * Exemplo 3.14, pg. 264 * Exemplo de computador C3.6 * Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais 5.3.3.6 Resposta Total e Estabilidade A Resposta total de um sistema é definida como: Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo Resposta Total = $\sum _{j=1}^N{c}_j{\gamma }_j^n+x[n]*h[n]$ A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica). Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso $h[n]$ for absolutamente somável: $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|<K<\mathrm{\infty }$ A estabilidade interna de um sistema é caracterizada da seguinte forma: Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma: Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis. Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis. Slides da aula Visão intuitiva da operação de convolução Exercícios (Lathi) * Exemplo 3.22, pg. 285 * Exercício 3.10-2, pg. 303 5.3.3.7 Avaliação 1 Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova. Resultados anteriores - Clicar no "+" para expandir Resultado 2013-2 5.3.4 Transformada Z Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442. Por que "Z"? 5.3.4.1 Definição da Transformada Z Direta e Inversa A Transformada Z Direta é calculada como a seguir: $X[z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$ A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos: $a_1^{},a_2,a_3,...,a_{n-1},a_n,a_{n+1},...$ onde, $a_n=a_{n-1}q$ ou $a_n=a_1{q}^{n-1}$, sendo $q$ denominado razão da sucessão de termos. A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link. Para a soma de $n$ termos de uma PG ($n$ finito): $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ Para a soma de infinitos termos de uma PG: $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a_1}{1-q}|q|<1$ Para mais informações sobre PGs, ver Link. A Transformada Z inversa é definida como: $x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X[z]z^{n-1}dz$ Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela. Slides da aula Exercícios (Lathi) * Exemplo 5.1, pg. 444 * Exemplo 5.2, pg. 446 * Exercício E5.1, pg. 448 * Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516 * Exercício 5.1-4, pg. 517 * Exemplo 5.3, pg. 448 * Exercício E5.2, pg. 451 * Exercício 5.1-5, pg. 517 Solução dos exemplos Resoluções realizadas no semestre 2013-1 Solução exemplo 5.3.b Solução exemplo 5.3.c 5.3.4.2 Propriedades da Transformada Z Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia. Nesta aula, as propriedades serão derivadas. Exercícios (Lathi) * Exemplo 5.4, pg. 456 * Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518 5.3.4.3 Solução de sistemas usando a Transformada Z A Transformada $Z$ é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir: A equação diferenças é convertida para o domínio $Z$ utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z: $x[n-m]u[n]\iff \frac{1}{z^m}X[z]+\frac{1}{z^m}\sum _{k=1}^{m}x[-k]z^k$ A equação algébrica no domínio $Z$ é trabalhada de forma a isolar $Y[z]$. Com o $Y[z]$ isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio $n$ através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, $y[n]$. Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico. Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero): $Y[z]=X[z]H[z]$ então: $H[z]=\frac{Y[z]}{X[z]}=\frac{\text{Resposta total}}{\text{Entrada}}$ Dada a equação diferenças genérica: $y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]$ ou, em notação operacional: $(E^N+a_1{E}^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_N)y[n]=(b_0{E}^N+b_1{E}^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_N)x[n]$ ou simplesmente: $Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$ onde: $Q\left[E\right]=E^N+a_1{E}^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_N$ $P\left[E\right]=b_0{E}^N+b_1{E}^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_N$ A Função de Transferência do sistema é: $H[z]=\frac{P[z]}{Q[z]}=\frac{b_0{z}^N+b_1{z}^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_N}{z^N+a_1{z}^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_N}$ A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de $H[z]$ estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável. Se $P[z]$ e $Q[z]$ não possuírem fatores comuns, o denominador de $H[z]$ será idêntico à $Q[z]$, e: sistema assintoticamente estável: Polos de $H[z]$, repetidos ou simples, dentro do círculo unitário sistema assintoticamente instável: (i) Ao menos um polo de $H[z]$ fora do círculo unitário; (ii) Polos de $H[z]$ repetidos sobre o círculo unitário sistema marginalmente estável: Nenhum polo de $H[z]$ fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário. Exercícios (Lathi) * Exemplo 5.5, pg. 461 * Exercício E5.10, pg. 462 * Exercício E5.11, pg. 463 * Exercício E5.12, pg. 464 * Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519 * Exemplo 5.6, pg. 466 * Exercício 5.3-18, pg. 519 * Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520 Resoluções realizadas no semestre 2014-1 Solução exercício E5.10 5.3.4.4 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo $z$ por $e^{j\mathrm{\Omega }}$. Assim, a frequência é indicada por $\mathrm{\Omega }$. Usando a seta direcional para representar a relação entrada $\Rightarrow$ saída: $z^n\Rightarrow H[z]z^n$ E, fazendo $z=e^{j\mathrm{\Omega }}$: $e^{j\mathrm{\Omega }n}\Rightarrow H[e^{j\mathrm{\Omega }}]e^{j\mathrm{\Omega }n}$ onde $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar: $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]=|H[e^{j\mathrm{\Omega }}]|e^{j\mathrm{\angle }H[e^{j\mathrm{\Omega }}]}$ Para uma entrada senoidal, considerando que $\cos (\mathrm{\Omega }n)$ é a parte real de $e^{j\mathrm{\Omega }n}$: $\cos (\mathrm{\Omega }n)\Rightarrow \mathrm{\Re }(H[e^{j\mathrm{\Omega }}]e^{j\mathrm{\Omega }n})$ $\cos (\mathrm{\Omega }n)\Rightarrow |H[e^{j\mathrm{\Omega }}]|\cos (\mathrm{\Omega }n+\mathrm{\angle }H[e^{j\mathrm{\Omega }}])$ e para uma senoide defasada de $\theta$: $\cos (\mathrm{\Omega }n+\theta )\Rightarrow |H[e^{j\mathrm{\Omega }}]|\cos (\mathrm{\Omega }n+\theta +\mathrm{\angle }H[e^{j\mathrm{\Omega }}])$ Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476 Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período $2\pi$. Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo: $\cos [(\mathrm{\Omega }+-2\pi m)n]=\cos (\mathrm{\Omega }n)$, para $m$ inteiro Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB. A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica: $H[z]=\frac{b_0{z}^N+b_1{z}^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_N}{z^N+a_1{z}^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_N}$ encontrando as $N$ raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada: $H[z]=b_0\frac{(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_N)}{(z-{\gamma }_1)(z-{\gamma }_2)...(z-{\gamma }_N)}$ Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos $z=e^{j\mathrm{\Omega }}$. Como $|e^{j\mathrm{\Omega }}|=1$, variar $\mathrm{\Omega }$ significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência $\mathrm{\Omega }$ é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo $\mathrm{\Omega }$ sobre o círculo unitário. Ou: $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]=b_0\frac{(r_1{e}^{j{\varphi }_1})(r_2{e}^{j{\varphi }_2})...(r_N{e}^{j{\varphi }_N})}{(d_1{e}^{j{\theta }_1})(d_2{e}^{j{\theta }_2})...(d_N{e}^{j{\theta }_N})}$ ou $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]=b_0\frac{r_1{r}_2...r_N}{d_1{d}_2...d_N}{e}^{j[({\varphi }_1+{\varphi }_2+...+{\varphi }_N)-({\theta }_1+{\theta }_2+...+{\theta }_N)]}$ onde $r_i$ e $d_j$ são os módulos e ${\varphi }_i$ e ${\theta }_j$ são os ângulos da linha que une o zero $i$ e o polo $j$ ao ponto de ângulo $\mathrm{\Omega }$ sobre o círculo unitário. Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas Como a magnitude de $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\mathrm{\Omega }}$, incluir um zero próximo de um determinado ângulo do círculo unitário reduz a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido. Como a magnitude de $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\mathrm{\Omega }}$, incluir um polo próximo de um determinado ângulo do círculo unitário aumenta a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo sobre o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável. Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito). Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB Fdatool. Exercícios (Lathi) * Exemplo 5.10, pg. 476 * Exercício E5.18, pg. 479 * Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521 * Exercícios 5.5-5, pg. 522 * Exercício 5.6-1, pg. 522 5.3.4.5 Laboratório de Transformada Z Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da Transformada Z na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a Função de Transferência será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema. Pré laboratório Estudar o help do matlab das funções: polar() - Plot em coordenadas polares poly() - Encontra os coeficientes de um polinômio com base em suas raízes roots() - Encontra as raízes de um polinômio com base em seus coeficientes freqz() - Retorna a resposta em frequência de um sistema com base na sua equação diferença Laboratório Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros: Filtro passa-baixas Filtro passa-altas Filtro passa-faixa Filtro rejeita-faixa Plotar os polos (x) e os zeros (o) no círculo unitário usando a função polar() Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz() Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros. Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento 5.3.5 Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto Referência: Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738. 5.3.5.1 Série de Fourier de Tempo Discreto Periodicidade de uma senoide discreta Uma senoide discreta $\cos ({\mathrm{\Omega }}_{0}n)$ é periódica com período inteiro $N_0$ se $\cos [{\mathrm{\Omega }}_0(n+N_0)]=\cos ({\mathrm{\Omega }}_{0}n)$. Esta equação é verdadeira quando ${\mathrm{\Omega }}_0{N}_0=2\pi m$, com $m$ inteiro. Assim, a senoide $\cos ({\mathrm{\Omega }}_{0}n)$ será periódica se: Conjunto dos números reais [fonte: Wikipedia] $\frac{{\mathrm{\Omega }}_0}{2\pi }=\frac{m}{N_0}=$ um número racional (representado pela divisão de dois números inteiros) O Período Fundamental da senoide será então: $N_0=m\left(\frac{2\pi }{{\mathrm{\Omega }}_0}\right)$ sendo ${\mathrm{\Omega }}_0$ a Frequência Fundamental da senoide e $m$ o menor inteiro que faz $N_0$ um número inteiro. Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto A Série de Fourier de Tempo Discreto é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental: $e^{j0n},e^{\pm j{\mathrm{\Omega }}_{0}n},e^{\pm j2{\mathrm{\Omega }}_{0}n},e^{\pm j3{\mathrm{\Omega }}_{0}n},\dots$ Mas como: $g_{r+N_0}=e^{j(r+N_0){\mathrm{\Omega }}_{0}n}=e^{j(r{\mathrm{\Omega }}_{0}n+N_0{\mathrm{\Omega }}_{0}n)}=e^{j(r{\mathrm{\Omega }}_{0}n+2\pi n)}=e^{jr{\mathrm{\Omega }}_{0}n}=g_r$ A Série de Fourier de Tempo Discreto é finita, com $N_0$ termos. A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por: $x[n]=\sum _{r=0}^{N_0-1}{D}_r{e}^{jr{\mathrm{\Omega }}_{0}n}$ onde $D_r$ é o coeficiente associado à frequência angular $r{\mathrm{\Omega }}_0$, definido por: $D_r=\frac{1}{N_0}\sum _{k=0}^{N_0-1}x[k]e^{-jr{\mathrm{\Omega }}_{0}k}$ Espectro de Fourier de um Sinal Discreto Espectro de Fourier de um Sinal Discreto A Série de Fourier tem $N_0$ componentes: $D_0,D_1{e}^{j{\mathrm{\Omega }}_{0}n},D_2{e}^{j2{\mathrm{\Omega }}_{0}n},\dots ,D_{N_0-1}{e}^{j(N_0-1){\mathrm{\Omega }}_{0}n}$ onde $0,{\mathrm{\Omega }}_0,2{\mathrm{\Omega }}_0,\dots ,(N_0-1){\mathrm{\Omega }}_0$ as frequências de cada componente. Considerando que $D_r$ é em geral complexo, na forma $D_r=|D_r|e^{j\mathrm{\angle }{D}_r}$ Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de $D_r$ com a frequência do termo. Este é o Espectro de Fourier do sinal. Códigos Matlab desenvolvidos * Periodicidade_senoide.m * Espectro_Fourier.m -- Simples * ExemploC9_2.m * Espectro_Fourier_3D.m Exercícios (Lathi) * Exemplo 9.2, pg. 745 * Exercício E9.2, pg. 744 * Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783 5.3.5.2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos periódicos através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é aperiódico a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito. Sendo assim, o par de Transformadas de Fourier é definido como: $x(\mathrm{\Omega })=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\mathrm{\Omega }n}\Rightarrow$ Transformada Direta $x[n]=\frac{1}{2\pi }\underset{2\pi }{\int }X(\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }n}d\mathrm{\Omega }\Rightarrow$ Transformada Inversa Informações relevantes Espectro é uma função contínua de $\mathrm{\Omega }$ Espectro é uma função periódica de $\mathrm{\Omega }$: $X(\mathrm{\Omega }+2\pi )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j(\mathrm{\Omega }+2\pi )n}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\mathrm{\Omega }n}{e}^{-j2\pi n}=X(\mathrm{\Omega })$ Direita Espectro Periódico X Amostrado Sinal periódico: Séries de Fourier Espectro discreto (harmônicas) Sinal aperiódico: Espectro contínuo Sinal discreto (amostrado) Espectro periódico (repetido a cada $f_s$ Hz ou $2\pi$) Sinal contínuo Espectro aperiódico Exercícios (Lathi) * Exemplo 9.3, pg. 752 * Exemplo 9.4, pg. 753 * Exemplo 9.5, pg. 754 * Exemplo 9.6, pg. 756 * Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756 5.3.5.3 Laboratório de Transformada de Fourier Criação de sinais digitais no Matlab. Funções do Matlab apresentadas: linspace() - função utilizada para criar vetores em intervalos lineares fft() - função que calcula a transformada de Fourier fftshift() - função auxiliar no trabalho com a transformada de Fourier 5.3.5.4 Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 2014-2 - Descrição do trabalho Áudio da palestra Atividades dos semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir 2013-2 - Descrição do trabalho 2014-1 - Descrição do trabalho Áudio da palestra 5.3.5.5 Laboratório de Processamento Digital de Imagens Este laboratório é uma apresentação da Área de Processamento Digital de Imagens. É baseado em alguns materiais de alunos do professor Manuel Menezes de Oliveira Neto (página), da UFRGS. Descrição das atividades Imagens para as simulações Variáveis criadas no dia 3/11 5.3.6 Filtros Digitais Referência: Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi. 5.3.6.1 Introdução aos Filtros Digitais As respostas clássicas de filtros analógicos também se aplicam aos filtros digitais: Respostas em Magnitude ideais de filtros Os filtros digitais são sistemas descritos por equações diferenças, que na sua forma genérica é: $y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+...+a_{N}y[n-N]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]+...+b_{N}x[n-N]$ A Função de Transferência dos filtros digitais é encontrada via Transformada Z: $H[z]=\frac{\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}{\sum _{l=0}^N{a}_l{z}^{-l}}$ Fazendo $z=e^{j\mathrm{\Omega }}$, obtemos a Resposta em Frequência do filtro: $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]=\frac{\sum _{k=0}^N{b}_k{e}^{-j\mathrm{\Omega }k}}{\sum _{l=0}^N{a}_l{z}^{-j\mathrm{\Omega }l}}$ Nota-se que $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é um número complexo, que pode então ser descrito na forma polar: $H[e^{j\mathrm{\Omega }}]=M_H{e}^{F_H}$ onde $M_H=|H[e_{}^{j\mathrm{\Omega }}]|$ é o módulo da resposta em frequência (Resposta de Magnitude) e $F_H=\mathrm{\angle }H[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é a fase da resposta em frequência (Resposta de Fase). O processo de filtragem de um sinal por um filtro digital é descrito através da operação de convolução. "Filtrar" um sinal significa realizar a convolução da resposta ao impulso do filtro com o sinal em questão: $y[n]=h[n]*x[n]$ Que no domínio da frequência é: $Y[e^{j\mathrm{\Omega }}]=H[e^{j\mathrm{\Omega }}]X[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ ou: $Y[e^{j\mathrm{\Omega }}]=|H[e^{j\mathrm{\Omega }}]|\times |X[e^{j\mathrm{\Omega }}]|e^{\mathrm{\angle }H[e^{j\mathrm{\Omega }}]+\mathrm{\angle }X[e^{j\mathrm{\Omega }}]}$ Ou seja, o espectro de magnitude do sinal filtrado é o produto do espectro de magnitude do sinal original pela resposta de magnitude do filtro, enquanto que o espectro de fase do sinal filtrado é a soma do espectro de fase do sinal original pela resposta de fase do filtro. 5.3.6.2 Filtros FIR e IIR Os filtros FIR e IIR serão apresentados através dos dois seguintes exemplos: Exemplos $y[n+2]-5y[n+1]+6y[n]=3x[n+1]+5x[n]$, tendo como condições iniciais $y[-1]=\frac{11}{6}$ e $y[-2]=\frac{37}{36}$, e sinal de entrada $x[n]=\delta [n]$ O resultado deste exemplo é $y[n]=\frac{5}{6}\delta [n]+\frac{23}{2}{2}^{n}u[n]+\frac{46}{3}{3}^{n}u[n]$ $y[n]=3x[n-1]+5x[n-2]$, com sinal de entrada $x[n]=\delta [n]$ O resultado deste exemplo é $y[n]=3\delta [n-1]+5\delta [n-2]$ É visível que há diferenças nos resultados dos exemplos. No primeiro exemplo, o sinal de saída inicia em $0$ e se estende até o infinito, dado que não há nenhuma limitação no tempo na equação. Já no segundo exemplo, o sinal de saída é limitado a existir apenas nos instantes $1$ e $2$. Sendo assim, temos no primeiro exemplo um sinal de duração infinita e no segundo um sinal de duração finita. Como o sinal de entrada dos sistemas é um impulso ($\delta [n]$), os sinais em questão são as respostas ao impulso dos respectivos sistemas. Sendo assim, os filtros são classificados numa das duas formas: Filtros com Resposta ao Impulso Finita (FIR - Finite Impulse Response) Filtros com Resposta ao Impulso Infinita (IIR - Infinite Impulse Response) 5.3.6.3 Filtros FIR janelados A resposta de magnitude ideal de um filtro passa baixas pode ser descrita através da seguinte equação: $|H_{\text{LP}}[e^{j\mathrm{\Omega }}]|=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }|\mathrm{\Omega }|\le {\mathrm{\Omega }}_c\\ 0,& \text{se }|\mathrm{\Omega }|>{\mathrm{\Omega }}_c\end{array}$ Ao calcular a transformada inversa de Fourier da resposta em questão, o seguinte sinal é obtido: $h_{\text{LP}}[n]=\frac{{\mathrm{\Omega }}_c}{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}({\mathrm{\Omega }}_{c}n)$ ou de outra forma: $h_{\text{LP}}[n]=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\Omega }}_c}{\pi },& n=0\\ \frac{\sin ({\mathrm{\Omega }}_{c}n)}{\pi n},& n\ne 0\end{array}$ Para outros filtros: Filtro passa altas: $h_{\text{HP}}=\{\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\Omega }}_c}{\pi },& n=0\\ -\frac{\sin ({\mathrm{\Omega }}_{c}n)}{\pi n},& n\ne 0\end{array}$ Filtro passa faixa: Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\begin{matrix}'): {\displaystyle h_{\text{BP}}[n] = \left \{ \begin{matrix} \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}, & n = 0 \\ \frac{1}{\pi n} \[ \sin(\Omega_c_2 n) - \sin(\Omega_c_1 n) \], & n \ne 0 \end{matrix}\right.} Filtro rejeita faixa: $h_{\text{BS}}=\{\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\Omega }}_{c_2}-{\mathrm{\Omega }}_{c_1}}{\pi },& n=0\\ \frac{1}{\pi n}[\sin ({\mathrm{\Omega }}_c{}_{1}n)-\sin ({\mathrm{\Omega }}_c{}_{2}n)],& n\ne 0\end{array}$ Observação: Todas essas equações consideram o uso de uma frequência de amostragem $f_s=1$. Caso uma outra frequência de amostragem seja utilizada, cuidar com as seguintes situações: A distância entre as amostras não serão de uma unidade. Assim, sempre que o termo $n$ aparecer, este deve ser substituído por $n\times t_s$. Com isso, a distância entre as amostras irá depender da frequência de amostragem utilizada. No filtro rejeita faixa, o termo em $1$ da subtração $1-\frac{{\mathrm{\Omega }}_{c_2}-{\mathrm{\Omega }}_{c_1}}{\pi }$ deve ser substituído pela frequência de amostragem, ficando a equação $f_s-\frac{{\mathrm{\Omega }}_{c_2}-{\mathrm{\Omega }}_{c_1}}{\pi }$ Estas são as respostas ao impulso dos filtros ideais. Uma questão importante destas respostas é que elas são ilimitadas no tempo, ou seja, possuem duração infinita. Para que estas repostas sejam realizáveis através de filtros FIR, é necessário limitar o número de amostras da resposta ao impulso $h_{\text{LP}}$: $h_{{\text{LP}}_M}[n]=\{\begin{array}{cc}{h}_{\text{LP}}[n],& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ ou seja, amostras fora do intervalo $-M\le n\le M$ são descartadas. Impacto do truncamento da resposta ao impulso. Um filtro passa baixas truncado não possui mais a resposta em frequência ideal, já que para obter aquela resposta seriam necessárias infinitas amostras. Considerando que o truncamento pode ser representado pela multiplicação da resposta ao impulso original por uma janela retangular: $w_R[n]=\{\begin{array}{cc}1,& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ a resposta em frequência do filtro truncado será a convolução da resposta em frequência ideal do fitro pela transformada de fourier da janela retangular utilizada no truncamento da resposta. Ou: $H_{{\text{LP}}_M}[e^{j\mathrm{\Omega }}]=H_{\text{LP}}[e^{j\mathrm{\Omega }}]*W_R[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ onde $W_R[e^{j\mathrm{\Omega }}]$ é a transformada de Fourier da janela retangular: $W_R[e^{j\mathrm{\Omega }}]=2M\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\mathrm{\Omega }M)$ A janela retangular não é a única opção de truncamento disponível. A seguir, as principais janelas serão apresentadas: Janela de Bartlett. Bartlett (triangular): $w_{\text{bar}}[n]=\{\begin{array}{cc}1-\frac{|n|}{M+1},& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ Janela de Hanning. Hann: $w_{\text{han}}[n]=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\times [1+\cos (\frac{2\pi n}{2M+1})],& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ Janela de Hamming. Hamming: $w_{\text{ham}}[n]=\{\begin{array}{cc}0.54+0.46\times \cos (\frac{2\pi n}{2M+1}),& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ Janela de Blackman. Blackman: $w_{\text{bla}}[n]=\{\begin{array}{cc}0.42+0.5\times \cos (\frac{2\pi n}{2M+1})+0.08\times \cos (\frac{4\pi n}{2M+1}),& |n|\le M\\ 0,& \text{fora}\end{array}$ Os impactos do uso destas e muitas outras janelas podem ser vistos no Matlab, na ferramenta fdatool. Para mais informações, ver Link. Códigos Matlab desenvolvidos * Simulação.m 5.3.6.4 A janela Kaiser Máxima variação nas bandas de rejeição e passagem. Máxima variação na transição entre as bandas. Nas janelas anteriores não há um controle sobre a resposta em frequência dos filtros. Visando obter tal controle, a janela de Kaiser foi desenvolvida. Na janela de Kaiser, o parâmetro $\delta$ é utilizado para indicar a máxima flutuação da resposta nas bandas de rejeição e passagem, assim como o parâmetro $\mathrm{\Delta }\omega$ indica a taxa de transição entre as duas bandas. Desta forma têm-se um controle total sobre a resposta em frequência do filtro. Para encontrar a resposta ao impulso da Janela de Kaiser, deve-se seguir os passos: ${\alpha }_s=-20{\log }_{10}^{}(\delta )$ $\beta =\{\begin{array}{lc}0,1102({\alpha }_s-8,7),& {\alpha }_s>50\\ 0,5842({\alpha }_s-21{)}^{0,4}+0,07886({\alpha }_s-21),& 21\le {\alpha }_s\le 50\\ 0,& \alpha <21\end{array}$ Número de amostras da resposta ao impulso ${\displaystyle }=N=2M=\frac{{\alpha }_s-8}{2,285\mathrm{\Delta }\omega }$ Janela de Kaiser: $w[n]=\frac{{\text{I}}_0\left\{\beta \sqrt{1-(\frac{n}{M}{)}^2}\right\}}{{\text{I}}_0\left\{\beta \right\}}$ onde: ${\text{I}}_0\{x\}=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(\frac{x}{2}{)}^k}{k!}\right]}^2=$ Função de Bessel de ordem zero modificada (para fazer no Matlab, ver função besseli) 5.3.6.5 Laboratório Descrição das atividades - Parte 1 Descrição das atividades - Parte 2 Arquivo de áudio 5.3.6.6 Avaliação 4 Descrição das atividades Sinais de áudio Trabalho final 2014-1 - Clicar no "+" para expandir A avaliação 4 será feita através de um trabalho em grupo. A descrição do trabalho encontra-se no Link. Para a parte 3, utilizar o arquivo de áudio disponível aqui. Como combinado faremos 4 equipes (digitem o nome dos alunos das equipes): Equipe 1: Luana, Thiago e Wagner Equipe 2: Thiego e Muriel Equipe 3: Renan Equipe 4: Leonardo, Renan Gonçalves, Ricardo 5.4 Avaliações de Recuperação Como acordado no dia 29/11, as avaliações de recuperação serão realizadas após a aula, às 17:30, pela seguinte programação: Dia 12/12 - Quinta-feira - 18:30-20:20 - Recuperação da avaliação 2 - Transformada Z Dia 17/12 - Terça-feira - 15:30-17:30 - Recuperação da avaliação 1 - Sinais e sistemas em tempo discreto Os trabalhos terão como data limite o seguinte: Trabalho 1 - DTMF: Agendar horário de apresentação até sexta-feira, 13/12 Trabalho 2 - Filtros: Entregar código e relatório até segunda-feira, 16/12

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6 Anterior a 2012-2 6.1 Listas de Exercício Pelo menos 3 exercícios diferentes de cada seção devem ser entregues resolvidos. Os desafios não precisam ser entregues, faça se quiser Faça os seguintes exercícios: a) Da Seção 3.1 (3 ex), b) 3.2-3, c) 3.3.1 (a||b||c||d) e (e) 3.3.2 (b||c||d||e); CAPÍTULO BACKGROUND B35, B36, B37 CAPÍTULO 3 Seção 3.1: 1, 2, 4, 5 Seção 3.2: 1, 2, 3, 4 Seção 3.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Seção 3.4: 1, 2, 3, 4, 7, 8 Seção 3.5: 1, 2, 3, 4, 5 Seção 3.6: 1, 2, 3, 4, 5, 7 Seção 3.7: 1, 2, 3 Seção 3.8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18 media:Ex3.5-5.pdf CAPÍTULO 5 Seção 5.1: 4, 5, 6, Seção 5.2: 1, 2, 3, 4, 5, 9 Seção 5.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 , [25*] FILTROS DIGITAIS 6.2 Avaliações Avaliação P1 - Analise no tempo de LDIT (26/10/2011) Avaliação P2 - Transformada Z (08/12/2011) Avaliação P3 - Entrega do Projeto de Filtros Digitais (20/12/2011 - 20h00) em .pdf por email. Avaliação de recuperação P1 e P2 (22/12/2011) Nas avaliações o aluno tem direito a consulta ao livro texto e a 1 folha resumo manuscrita tamanho A4 (sem exercicios resolvidos). 6.3 Grupos de Discussão em Telecomunicações 6.4 Alguns assuntos correlatos Números Inteiros Aritmética de ponto fixo Representação de números com sinal ponto "decimal" Aritmética de ponto flutuante IEEE 754 Ciclo Limite Transformação Bilinear Invariância ao Impulso 6.5 Links de auxílio MATLAB Wikipedia MATLAB Wikibook Curso de MATLAB da UFMS Matlab Tutorial - for beginers Alternativas ao MATLAB [3] Fragmentos de códigos em MATLAB UFTPR DSP Apostila de Filtros Digitais - UFTPR Apostila de DSP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto http://www.eas.asu.edu/~midle/jdsp/jdsp.html Recent Advances in Digital Processing of Images and Audio - Vídeo-conferência do MIT (September 29, 2006). Using Psychoacoustics to Explore Cochlear Function: Basic Mechanisms and Applications to Hearing Aids - Vídeo-conferência do MIT (November 17, 2006). Does Texas Instruments Have a 'D' or and 'I' in Signal Processing? - Vídeo-conferência do MIT (February 10, 2003). Convolução gráfica Discreta. 6.6 Erratas e Códigos .m Errata de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Compilado pelos alunos e professores do CEFETSC. Códigos .m de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Fornecido pelo autor do livro

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