Mudanças entre as edições de "PSD29007-Engtelecom(2020-1) - Prof. Marcos Moecke"
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;Casos em que o ganho na banda de passagem é <math> A_p = 3 dB </math>: | ;Casos em que o ganho na banda de passagem é <math> A_p = 3 dB </math>: | ||
+ | *Considerando o caso de filtro Butterworth com frequência de passagem <math> {\Omega_p} </math> e frequência de stopband (rejeição) de <math> \Omega_s </math>, com ganho unitário em <math> {\Omega = 0} </math> | ||
+ | |||
*Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser <math> G_p = 1/\sqrt{2} = 0,707 </math>, que corresponde a um ganho (em escala log) <math> G_p = - 3 dB </math>, ou atenuação <math> A_p = 3 dB </math>. | *Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser <math> G_p = 1/\sqrt{2} = 0,707 </math>, que corresponde a um ganho (em escala log) <math> G_p = - 3 dB </math>, ou atenuação <math> A_p = 3 dB </math>. | ||
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− | :1) determinar a ordem <math> n </math> do filtro: | + | *Obtemos o fator <math> \epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p}-1}</math>, como sendo <math> \epsilon = 1 </math>. Esse fator no caso dos filtros com atenuação <math> A_p = 3 dB </math>, acaba desaparecendo das equação de projeto. Para atenuações diferentes de 3 dB, ele ajusta a magnitude dos pólos. |
+ | ==ATUAL== | ||
+ | *Assim, para projetar o filtro é necessário: | ||
+ | |||
+ | :1) determinar a ordem <math> n </math> do filtro utilizando a equação: | ||
::<math> n \ge \frac {\log(10^{0.1A_s}-1)} {2 \log \Omega_s} </math> | ::<math> n \ge \frac {\log(10^{0.1A_s}-1)} {2 \log \Omega_s} </math> | ||
− | :2) obter os polos do filtro: | + | :2) e em seguida obter os polos do filtro: |
::<math> p_k = e^{\left[ j \frac{(2 k + n - 1)} {2 n} \pi \right]}, k = 1, 2, 3, ... n</math> | ::<math> p_k = e^{\left[ j \frac{(2 k + n - 1)} {2 n} \pi \right]}, k = 1, 2, 3, ... n</math> | ||
− | :3) | + | :3) Com os pólos <math> p_k </math> botem-se o denominador <math> D(p)=\prod_{k=1}^{n} \left ( p-p_{k} \right ) </math> da função de transferência do filtro. |
− | : | + | :4) E assim obtém-se a função de transferência do filtro protótipo <math> H(p)= \frac{1}{D(p)} </math> |
− | : | + | :5) Para obter a função de transferência do filtro analógico LP é necessário fazer uma transformação de frequência <math> H(p) -> H(s) </math> |
::<math>H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. </math> | ::<math>H(s) = H(p)\left|\begin{matrix} \\ p=\frac{s}{\omega_p} \end{matrix}\right. </math> | ||
+ | |||
+ | :6) Se o ganho na frequência <math> {\omega = 0} </math> não for unitário G0, é ainda necessário ajustar o ganho do filtro do fator de ganho. Considerando que o valor do Ganho G0 seja dado em dB, teremos que <math> 20*log10(G_{0-linear}) = G_0_{dB} </math>, ou seja <math> G_0_{linear} = 10^{G_{0-dB}/20} </math> | ||
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+ | {{collapse top| bg=lightyellow | Exemplo Filtro LP Butterworth}} | ||
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+ | Projete um filtro Butterworth LP com ganho em <math> \omega = 0 </math> G_0= 5dB, frequência de passagem <math> {\omega_p} = 1000 rad/s </math> com ganho no mínimo de <math> A_p = 2 dB </math>, frequência de rejeição de <math> \omega_s = 5000 rad/s </math>, na qual o ganho deve ser inferior a -25 dB. | ||
+ | :Dados de <math> Hs(s) </math> | ||
+ | ::<math> \omega_p = </math> | ||
+ | ::<math> \omega_s = </math> | ||
+ | ::<math> \G_0 (dB) = </math> | ||
+ | ::<math> \G_p (dB) = </math> | ||
+ | ::<math> \G_s (dB) = </math> | ||
+ | |||
+ | :Especificações de <math> Hp(p) </math> | ||
+ | ::<math> \Omega_p = </math> | ||
+ | ::<math> \Omega_s = </math> | ||
+ | ::<math> \A_0 (dB) = </math> | ||
+ | ::<math> \A_p (dB) = </math> | ||
+ | ::<math> \A_s (dB) = </math> | ||
+ | |||
+ | :Determinação de <math> Hp(p) </math> | ||
+ | ::<math> \epsilon = </math> | ||
+ | ::<math> n = </math> | ||
+ | ::<math> p_k = </math> | ||
+ | ::<math> D(p) = </math> | ||
+ | ::<math> Hp(p) = </math> | ||
+ | |||
+ | :Determinação de <math> Hs(s) </math> | ||
+ | ::<math> Hs(s) = </math> | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
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;Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor <math> A_p </math> qualquer: | ;Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor <math> A_p </math> qualquer: |
Edição das 01h07min de 30 de março de 2020
Registro on-line das aulas
Unidade 1
Unidade 1 | ||||||||||
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ATUAL
profile on
profile viewer Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz).
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Unidade 2
Unidade 2 | |||||||||||||||||||||||||
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Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência.
%%Definição do filtro
% Definindo os coeficientes do filtro
b = [1 1]; % Numerador
a = [1 1 5]; % Denominador
% Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador)
% Método 1 - usando a função tf2zp
[z1,p1,k]=tf2zp(b,a)
% Método 2 - obtendo as raízes
z2 = roots(b);
p2 = roots(a);
zplane(b,a);
%% Obtendo a resposta em frequência
% substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz
freqs(b,a);
% Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx
syms s w
H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5);
pretty(H(1j*w))
latex(H(1j*w))
%%
ws = logspace(-2, 1, 1000);
h = H(1j*ws);
subplot(211)
plot(ws,abs(h)); grid on;
%semilogx(ws,abs(h)); grid on;
subplot(212)
plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
%semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on;
Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência utilizam os polinômios de Butterworth mostrados na tabela a seguir:
ATUAL
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Avaliações
- Atividades extraclasse
- AE1 - Cálculo de uma DFT de comprimento 8.
- Determine a transformada discreta de Fourier X(w) a partir da sequencia discreta x(n) indicada na tabela abaixo.
- Utilize a equação da DFT
- O algoritmo FFT indicado na tabela, onde dt é decimação no tempo (Fig 3.9) e df é decimação na frequência (Fig 3.13)
- Use uma folha de papel para anotar os valores dos produtos intermediários tanto da DFT como da FFT.
- Compare os resultados obtidos para de X(k) obtido com os dois cálculos.
- Poste no Moodle a folha de cálculos (digitalize usando scanner ou smartphone).
- Prova escrita A1
- Entrega do Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos:
- PFe - Documento de Especificação (apresentado no relatório);
- PFp - Implementação do Projeto;
- PFr - Relatório do Projeto (excluído a especificação);
- PFi - Avaliação individual do aluno no projeto (conceito subjetivo atribuído pelo professor a partir da observação e da apresentação do projeto).
Referências Bibliográficas
- ↑ 1,0 1,1 DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235
- ↑ SHENOI, B. A. Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. 1.ed. New Jersey: John Wiley-Interscience, 2006. 440 p. ISBN 978-0471464822