2012-2 a 2014-2
Informações da disciplina
Planos de ensino anteriores - Clicar no "+" para expandir
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Diário de aula
2014-2 - Clicar no "+" para expandir
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2014-1 - Clicar no "+" para expandir
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2013-2 - Clicar no "+" para expandir
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Aulas
Apresentação da disciplina
- Roteiro:
- Apresentação do professor;
- Apresentação da Área de Processamento de Sinais (Slides)
- Apresentação da disciplina (Plano de Ensino);
- Grupo da disciplina: IFSCTelePSD
- Atividade (Trabalho 1)
- Pesquisar um artigo da área de Processamento de Sinais no site IEEEXplore e fazer um pequeno resumo sobre o artigo. Como dica, dar preferências a artigos entre 1960 e 1970, pois estes deverão ser de mais fácil compreensão que artigos mais recentes ou muito antigos.
Tutorial de Matlab
Tutorial Linux.m
Tutorial Windows.m
Sinais em tempo discreto
Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.
Introdução à Sinais em Tempo Discreto
- Esta aula é a introdução da disciplina.
- Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).
- Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
-
![{\displaystyle E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|x[n]\right|}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d7eac8aff3508de94d746317b7b84652ddee3a)
![{\displaystyle P_{x}=\lim _{N\to \infty }{1 \over {2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x[n]\right|}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb94307dc2736261d2ceb0cf05fdad4b1daafb5)
- Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
- Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
- Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
- Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
- É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
- Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
- Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
- Alteração na taxa de amostragem
- Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
- Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
* u.m
* s.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.1, pg. 226
* Exemplo 3.2, pg. 227
* Exercício E3.1, ppg. 226
* Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
Funções Úteis
- Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
-
![{\displaystyle \delta [n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n=0\\0,&{\mbox{se }}n\neq 0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde09c5418f2c174d7ca7a9594c512065bc649ba)
- Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
![{\displaystyle u[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n\geq 0\\0,&{\mbox{se }}n<0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b113bd05f7035be9628fa2610eb748072ab0d88)
- Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma
, onde é o argumento da função e é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base e o argumento são constantes:
![{\displaystyle e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^{n}=\gamma ^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6bef3f4d42a5928718ffb4925f0ec1353798be4)
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de
ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se
, , de forma que é uma função crescente;
- Se
, encontra-se entre 0 e 1, de forma que é uma função decrescente;
- Se
, , de forma que é uma função constante igual a 1.
- Se
é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- Se
, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
- Se
, e , sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a ;
- Se
, e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a ![{\displaystyle b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
- Se
, e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a ![{\displaystyle b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do Lathi).
- A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de
em transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
* u.m
* d.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232
* Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
* Exemplos de computador:
* C3.1 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
* C3.2 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
Sistemas em tempo discreto
- Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
Exemplo de sistema discreto.
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo
. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
= depósito feito no instante ![{\displaystyle n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
= saldo na conta no instante , calculado imediatamente após o recebimento do depósito
= taxa de juros
- O saldo
é a soma de:
- Saldo anterior
![{\displaystyle y[n-1]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9862a8ad5444b16db02655c12ae0a44a1871a00e)
- Juros obtidos em
durante o período
- Depósito
![{\displaystyle x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
- A equação que relaciona a saída
(saldo) com a entrada (depósito) é:
![{\displaystyle y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1742209e98a42c01f99812b3097c579cfe98f5)
![{\displaystyle y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0159ed158e1201aafd3d9ea72e0c2ebcc940e394)
, onde ![{\displaystyle a=1+r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9708bd4d3f8492d9a4523245c2a27c348c73b)
- Ou, substituindo
por
, onde ![{\displaystyle a=1+r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9708bd4d3f8492d9a4523245c2a27c348c73b)
- As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:
, com ![{\displaystyle a_{0}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3873789cb6451e25f63b4d11572ac5c69d7873b)
- ou
![{\displaystyle \left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087ad17f0230e81b2968664c93a39b8cac74012b)
- As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo
por , a equação fica na forma do operador de atraso:
, com ![{\displaystyle a_{0}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3873789cb6451e25f63b4d11572ac5c69d7873b)
- Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é
, e a entrada mais avançada no tempo é . Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que ![{\displaystyle \left.N\geq M\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db87f6a95dca2472247035fbe8766fb8c26bc1f1)
- Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
- Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador
para representar um avanço de amostras.
![{\displaystyle {\begin{matrix}Ex[n]&{}:={}&x[n+1]\\E^{2}x[n]&{}:={}&x[n+2]\\{}&\vdots &{}\\E^{N}x[n]&{}:={}&x[n+N]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff62ebe23b4dea33b5d635425074d80e3c0f801)
- Exemplo:
- Equação diferença de primeira ordem:
![{\displaystyle {\begin{matrix}y[n+1]-ay[n]&{}={}&x[n+1]\\Ey[n]-ay[n]&{}={}&Ex[n]\\(E-a)y[n]&{}={}&Ex[n]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf078b71b20b341b17ce7a9c5f33245646ee5cb)
- Equação diferença de segunda ordem:
![{\displaystyle {\begin{matrix}y[n+2]+{\frac {1}{4}}y[n+1]+{\frac {1}{16}}y[n]&{}={}&x[n+2]\\(E^{2}+{\frac {1}{4}}E+{\frac {1}{16}})y[n]&{}={}&E^{2}x[n]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600184911c6c561e6e1c54f9e3bcea2986ee4b22)
- Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é
![{\displaystyle \left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5c2a6ca591349928c765d04dfe1943cd64f881)
- ou simplesmente
![{\displaystyle Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510732922035500fd4e01bd8619eb241868d1300)
- onde
![{\displaystyle Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e72d8d0c7c25ccd06f71a789715fa0ce292f24)
![{\displaystyle P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e848c908d06d7398df2ca479e6169208a23edd75)
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m - Solução do exemplo 3.8
- Exercícios (Lathi)
* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
* Exemplo 3.8, pg. 247
* Exercício E3.10, pg. 249
* Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
* Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula
- Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais
- Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
- Referentes à entrada: Resposta de estado nulo
- A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).
![{\displaystyle \left.Q[E]y_{0}[n]=0\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bf422af648d3e9d5a05c72d54873ed425c3b96)
- ou
![{\displaystyle \left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y_{0}[n]=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf79b88547450699772fc77ccbbdc8a72ba6303)
- ou ainda
![{\displaystyle \left.y_{0}[n+N]+a_{1}y_{0}[n+N-1]+...+a_{N}y_{0}[n]=0\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f47806f0d4766ce1619bf8848caf505cb73291e)
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bdb5520d800bc410726f194382d9c6429beae0)
- onde os
's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Para
raízes repetidas:
![{\displaystyle \left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879292fd3efebd76fe3c7871843b05b7e6c6a5d4)
- e a resposta de entrada nula será:
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d6aa801c8bb09cc71c1ae146f1f684b270f1ed)
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
e ![{\displaystyle \gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56ac21e6e59ea7296b03d1aea30764219cd08be)
- E a resposta de entrada nula será
![{\displaystyle y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6530515453e6d5d8b2970bc32242862920643e)
- Para um sistema real
e ![{\displaystyle c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d55131818818a0ef57b18f4738f39183f77c55)
- E então:
![{\displaystyle y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4819fe9451c8938ca5714136f2be518b65be55)
- Nomenclatura:
= polinônio característico do sistema
= equação característica do sistema
= raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
= modos característicos ou modos naturais do sistema
= resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Slides da aula
- Notas de aula
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo
- Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema
é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso .
- Ou:
![{\displaystyle Q\left[E\right]h[n]=P\left[E\right]\delta [n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327be95aa42b8e6df877e9fe659b974c03d0465d)
- Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:
![{\displaystyle h[-1]=h[-2]=...=h[-N]=0_{}^{}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2922e98f1b5e667bf56f93e8469a7012fb2afc3)
- O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:
![{\displaystyle h[n]={\frac {b_{N}}{a_{N}}}\delta [n]+y_{c}[n]u[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863dda49371d92be76f98046d396ae3a12b1bf7f)
- onde
é a combinação linear dos modos característicos e e são obtidos da equação diferença do sistema.
Ver exemplo 3.12, pg. 258
- A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução:
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f4f905e9395ee717396a3846fa285b56efee5f)
- onde
é a entrada do sistema e é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.
- As propriedades do somatório de convolução são:
-
![{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]=x_{2}[n]*x_{1}[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29184a31bbaf093b9a55e3fa51b5a0d237102c9f)
![{\displaystyle x_{1}[n]*(x_{2}[n]+x_{3}[n])=x_{1}[n]*x_{2}[n]+x_{1}[n]*x_{3}[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359368cab158126a20a01174fa6c7c4d6ff35df9)
![{\displaystyle x_{1}[n]*(x_{2}[n]*x_{3}[n])=(x_{1}[n]*x_{2}[n])*x_{3}[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056e048a64c0ad3aa2e82632ad610569f2185b8a)
- Propriedade do deslocamento
- Se
, ![{\displaystyle x_{1}[n-m]*x_{2}[n-p]=c[n-m-p]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a771f99e20e9302103263f4cdc29e092d51ff94d)
- Convolução com um impulso
![{\displaystyle x[n]*\delta [n]=x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723678a4dbf0cbd22ad3a2bd503dd40e788cc8ad)
- Se
tem elementos (amostras) e tem elementos, tem elementos.
para ![{\displaystyle m<0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba378205efd9dc579591efdd5baa301f4f6e2fa)
para , tal que para ![{\displaystyle m>n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637039c4a193f33fee72ebfeb6cb003593696160)
- E a convolução causal é:
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=0}^{n}x[m]h[n-m]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11914bd7ff7144073dcd5b1a61f4f446ed94fad)
Ver exemplo 3.13, pg. 262
- Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.
- Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais
e inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, ). Para encontrar o valor de saída para um dado instante , é deslocado de amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais e . O processo de convolução consiste então no deslocamento de por toda a extensão de . Este fato pode ser visto em [1] e [2].
- Slides da aula
- Resolução de alguns exercícios, realizada dia 13/09
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.11, pg. 256
* Exemplo 3.12, pg. 258
* Exercício E3.14, pg. 259
* Exercício 3.7-4, pg. 298
* Exemplo 3.13, pg. 262
* Exercício E3.15, pg. 263
* Exemplo 3.14, pg. 264
* Exemplo de computador C3.6
* Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais
Resposta Total e Estabilidade
- A Resposta total de um sistema é definida como:
- Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo
- Resposta Total =
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}\gamma _{j}^{n}+x[n]*h[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3947878e1d1dd0663e16741c250233556f5a40f)
- A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).
- Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso
for absolutamente somável:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<K<\infty }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e847f0cd6c1f4ad09d55a0cf1af95848c3b2f62)
- A estabilidade interna de um sistema é caracterizada da seguinte forma:
- Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável
- Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável
- Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável
- Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável
- As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:
- Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis.
- Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis.
- Slides da aula
- Visão intuitiva da operação de convolução
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.22, pg. 285
* Exercício 3.10-2, pg. 303
Avaliação 1
- Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova.
Resultados anteriores - Clicar no "+" para expandir
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Transformada Z
Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.
Definição da Transformada Z Direta e Inversa
- A Transformada Z Direta é calculada como a seguir:
![{\displaystyle X[z]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568fafa157ba8d6cb45167766d604e81c0eb7887)
- A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:
![{\displaystyle a_{1}^{},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n},a_{n+1},...}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3beb68ddc4ac645aa9abdf374db2862a241098f)
- onde,
ou , sendo denominado razão da sucessão de termos.
- A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link.
- Para a soma de
termos de uma PG ( finito):
![{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d0491382e2119527192147c5d8161d4dd2c2fc)
- Para a soma de infinitos termos de uma PG:
![{\displaystyle S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-q}}~~~~~~|q|<1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690b6a394fd624fcbd3f87fc859c9a2888d547d0)
- Para mais informações sobre PGs, ver Link.
- A Transformada Z inversa é definida como:
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint X[z]z^{n-1}dz}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd369e22aa04bd5bb23073c030bec09e5e01d12)
- Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.
- Slides da aula
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.1, pg. 444
* Exemplo 5.2, pg. 446
* Exercício E5.1, pg. 448
* Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516
* Exercício 5.1-4, pg. 517
* Exemplo 5.3, pg. 448
* Exercício E5.2, pg. 451
* Exercício 5.1-5, pg. 517
- Solução dos exemplos
- Resoluções realizadas no semestre 2013-1
- Solução exemplo 5.3.b
- Solução exemplo 5.3.c
Propriedades da Transformada Z
- Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia.
- Nesta aula, as propriedades serão derivadas.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.4, pg. 456
* Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518
Solução de sistemas usando a Transformada Z
- A Transformada
é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:
- A equação diferenças é convertida para o domínio
utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:
![{\displaystyle x[n-m]u[n]\Leftrightarrow {\frac {1}{z^{m}}}X[z]+{\frac {1}{z^{m}}}\sum _{k=1}^{m}x[-k]z^{k}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b194a475e6e161141fe1fb3e8d753e939c363f83)
- A equação algébrica no domínio
é trabalhada de forma a isolar .
- Com o
isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, .
- Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.
- Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):
![{\displaystyle Y[z]=X[z]H[z]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5002486e506d5e6123a770d3cc0eb7714422746a)
- então:
![{\displaystyle H[z]={\frac {Y[z]}{X[z]}}={\frac {\mbox{Resposta total}}{\mbox{Entrada}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76926fc25ecae04cd823b1490abc740f589f552)
- Dada a equação diferenças genérica:
![{\displaystyle \left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087ad17f0230e81b2968664c93a39b8cac74012b)
- ou, em notação operacional:
![{\displaystyle \left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5c2a6ca591349928c765d04dfe1943cd64f881)
- ou simplesmente:
![{\displaystyle Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510732922035500fd4e01bd8619eb241868d1300)
- onde:
![{\displaystyle Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e72d8d0c7c25ccd06f71a789715fa0ce292f24)
![{\displaystyle P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e848c908d06d7398df2ca479e6169208a23edd75)
- A Função de Transferência do sistema é:
![{\displaystyle H[z]={\frac {P[z]}{Q[z]}}={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f31f9f2cefec83ec89a39b2847e51fcba3c1dbb)
- A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de
estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.
- Se
e não possuírem fatores comuns, o denominador de será idêntico à , e:
- sistema assintoticamente estável: Polos de
, repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
- sistema assintoticamente instável:
- (i) Ao menos um polo de
fora do círculo unitário;
- (ii) Polos de
repetidos sobre o círculo unitário
- sistema marginalmente estável: Nenhum polo de
fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.5, pg. 461
* Exercício E5.10, pg. 462
* Exercício E5.11, pg. 463
* Exercício E5.12, pg. 464
* Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519
* Exemplo 5.6, pg. 466
* Exercício 5.3-18, pg. 519
* Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520
- Resoluções realizadas no semestre 2014-1
- Solução exercício E5.10
Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto
- A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo
por . Assim, a frequência é indicada por . Usando a seta direcional para representar a relação entrada saída:
![{\displaystyle z^{n}\Rightarrow H[z]z^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f189d769958ca6ff1c326825c6499811bf5eb36)
- E, fazendo
:
![{\displaystyle e^{j\Omega n}\Rightarrow H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2320a3ae4e22dfd313b4b5a79b55198ebac98c8)
- onde
é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar:
![{\displaystyle H[e^{j\Omega }]=|H[e^{j\Omega }]|e^{j\angle {H[e^{j\Omega }]}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d541fc734de394fdd9e18627bbe52c2e0db92716)
- Para uma entrada senoidal, considerando que
é a parte real de :
![{\displaystyle \cos(\Omega n)\Rightarrow \Re (H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497a33c6844b27a89347a5954412329fcaec7b0a)
![{\displaystyle \cos(\Omega n)\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\angle {H[e^{j\Omega }]})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca436bc71c885e27197dbf3281844f72306e4d74)
- e para uma senoide defasada de
:
![{\displaystyle \cos(\Omega n+\theta )\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\theta +\angle {H[e^{j\Omega }]})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ad826c9d3dae41659ac7a73c381a5e32a0cfa7)
Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476
- Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período
. Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:
, para inteiro
- Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB.
- A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica:
![{\displaystyle H[z]={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083766f8b1f515779e4c38268105dd593e8bc8d7)
- encontrando as
raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada:
![{\displaystyle H[z]=b_{0}{\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})...(z-z_{N})}{(z-\gamma _{1})(z-\gamma _{2})...(z-\gamma _{N})}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475523e536aa45a5dd3c323bf908dd02eacdab8e)
- Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos
. Como , variar significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário. Ou:
![{\displaystyle H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {(r_{1}e^{j\phi _{1}})(r_{2}e^{j\phi _{2}})...(r_{N}e^{j\phi _{N}})}{(d_{1}e^{j\theta _{1}})(d_{2}e^{j\theta _{2}})...(d_{N}e^{j\theta _{N}})}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a7a2b189291544eecc60a47dc708c38c587d3b)
- ou
![{\displaystyle H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {r_{1}r_{2}...r_{N}}{d_{1}d_{2}...d_{N}}}e^{j[(\phi _{1}+\phi _{2}+...+\phi _{N})-(\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{N})]}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740dadffaa75359849050fa3256a2505193ea6d8)
- onde
e são os módulos e e são os ângulos da linha que une o zero e o polo ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário.
- Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas
- Como a magnitude de
é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à , incluir um zero próximo de um determinado ângulo do círculo unitário reduz a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido.
- Como a magnitude de
é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à , incluir um polo próximo de um determinado ângulo do círculo unitário aumenta a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo sobre o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável.
- Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito).
- Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB Fdatool.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.10, pg. 476
* Exercício E5.18, pg. 479
* Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521
* Exercícios 5.5-5, pg. 522
* Exercício 5.6-1, pg. 522
Laboratório de Transformada Z
- Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da Transformada Z na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a Função de Transferência será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema.
- Pré laboratório
- Estudar o help do matlab das funções:
- polar() - Plot em coordenadas polares
- poly() - Encontra os coeficientes de um polinômio com base em suas raízes
- roots() - Encontra as raízes de um polinômio com base em seus coeficientes
- freqz() - Retorna a resposta em frequência de um sistema com base na sua equação diferença
- Laboratório
- Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros:
- Filtro passa-baixas
- Filtro passa-altas
- Filtro passa-faixa
- Filtro rejeita-faixa
- Plotar os polos (x) e os zeros (o) no círculo unitário usando a função polar()
- Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz()
- Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros.
- Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros
- Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento
Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto
Referência: Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738.
Série de Fourier de Tempo Discreto
- Periodicidade de uma senoide discreta
- Uma senoide discreta
é periódica com período inteiro se . Esta equação é verdadeira quando , com inteiro. Assim, a senoide será periódica se:
Conjunto dos números reais [fonte: Wikipedia]
um número racional (representado pela divisão de dois números inteiros)
- O Período Fundamental da senoide será então:
![{\displaystyle N_{0}=m\left({\frac {2\pi }{\Omega _{0}}}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c884b20eeb3951fbf9a3216068920c6066b8185)
- sendo
a Frequência Fundamental da senoide e o menor inteiro que faz um número inteiro.
- Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental:
![{\displaystyle e^{j0n},e^{\pm j\Omega _{0}n},e^{\pm j2\Omega _{0}n},e^{\pm j3\Omega _{0}n},\ldots }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d64973770b3e6763b9a7fc2d6ad2d5cf573d4fb)
- Mas como:
![{\displaystyle g_{r+N_{0}}=e^{j(r+N_{0})\Omega _{0}n}=e^{j(r\Omega _{0}n+N_{0}\Omega _{0}n)}=e^{j(r\Omega _{0}n+2\pi n)}=e^{jr\Omega _{0}n}=g_{r}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f818cbb2e8e0ed7e80325e21d0b1b548454825)
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é finita, com
termos.
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por:
![{\displaystyle x[n]=\sum _{r=0}^{N_{0}-1}D_{r}e^{jr\Omega _{0}n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd500fbdb63f5d14ef47b595cc7cc8f8d029c47b)
- onde
é o coeficiente associado à frequência angular , definido por:
![{\displaystyle D_{r}={\frac {1}{N_{0}}}\sum _{k=0}^{N_{0}-1}x[k]e^{-jr\Omega _{0}k}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b67f6612f88a6e5cc0b04bda58058e0fd5f14f)
- Espectro de Fourier de um Sinal Discreto
Espectro de Fourier de um Sinal Discreto
- A Série de Fourier tem
componentes:
![{\displaystyle D_{0},D_{1}e^{j\Omega _{0}n},D_{2}e^{j2\Omega _{0}n},\ldots ,D_{N_{0}-1}e^{j(N_{0}-1)\Omega _{0}n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657fa24eb492f7bc4fb29d674f340eb1e705fa15)
- onde
as frequências de cada componente. Considerando que é em geral complexo, na forma
![{\displaystyle D_{r}=|D_{r}|e^{j\angle {D_{r}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d961c33ff439e637ec31a4ac6708735c1a9ebe96)
- Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de
com a frequência do termo. Este é o Espectro de Fourier do sinal.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Periodicidade_senoide.m
* Espectro_Fourier.m -- Simples
* ExemploC9_2.m
* Espectro_Fourier_3D.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 9.2, pg. 745
* Exercício E9.2, pg. 744
* Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
- As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos periódicos através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é aperiódico a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito.
- Sendo assim, o par de Transformadas de Fourier é definido como:
Transformada Direta
Transformada Inversa
- Informações relevantes
-
- Espectro é uma função contínua de
![{\displaystyle \Omega }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
- Espectro é uma função periódica de
:
![{\displaystyle X(\Omega +2\pi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j(\Omega +2\pi )n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}e^{-j2\pi n}=X(\Omega )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e016a5ef52cad912a44ee42f4755b5a614eb26d)
- Espectro Periódico X Amostrado
-
- Séries de Fourier
- Espectro discreto (harmônicas)
-
- Sinal discreto (amostrado)
- Espectro periódico (repetido a cada
Hz ou )
-
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 9.3, pg. 752
* Exemplo 9.4, pg. 753
* Exemplo 9.5, pg. 754
* Exemplo 9.6, pg. 756
* Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756
Laboratório de Transformada de Fourier
- Criação de sinais digitais no Matlab.
- Funções do Matlab apresentadas:
linspace() - função utilizada para criar vetores em intervalos lineares
fft() - função que calcula a transformada de Fourier
fftshift() - função auxiliar no trabalho com a transformada de Fourier
Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier
Atividades dos semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir
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Laboratório de Processamento Digital de Imagens
Este laboratório é uma apresentação da Área de Processamento Digital de Imagens. É baseado em alguns materiais de alunos do professor Manuel Menezes de Oliveira Neto (página), da UFRGS.
Filtros Digitais
Referência: Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi.
Introdução aos Filtros Digitais
- As respostas clássicas de filtros analógicos também se aplicam aos filtros digitais:
Respostas em Magnitude ideais de filtros
- Os filtros digitais são sistemas descritos por equações diferenças, que na sua forma genérica é:
![{\displaystyle y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+...+a_{N}y[n-N]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]+...+b_{N}x[n-N]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b8b8263bf78092a44ca7ba6db5007344a50c82)
- A Função de Transferência dos filtros digitais é encontrada via Transformada Z:
![{\displaystyle H[z]={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{\sum _{l=0}^{N}a_{l}z^{-l}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cb1ccad828a473d8809167e5eb5d73d6f97b42)
- Fazendo
, obtemos a Resposta em Frequência do filtro:
![{\displaystyle H[e^{j\Omega }]={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}e^{-j\Omega k}}{\sum _{l=0}^{N}a_{l}z^{-j\Omega l}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfa6482c9ba1178ab1c955ee9b113b5d6934a3a)
- Nota-se que
é um número complexo, que pode então ser descrito na forma polar:
![{\displaystyle H[e^{j\Omega }]=M_{H}e^{F_{H}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6a9eb7f9b9ccb87f33cf8364bb632adba53cfc)
- onde
é o módulo da resposta em frequência (Resposta de Magnitude) e é a fase da resposta em frequência (Resposta de Fase).
- O processo de filtragem de um sinal por um filtro digital é descrito através da operação de convolução. "Filtrar" um sinal significa realizar a convolução da resposta ao impulso do filtro com o sinal em questão:
![{\displaystyle y[n]=h[n]*x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dece33292cf37ef651c64416c35838856a2934e0)
- Que no domínio da frequência é:
![{\displaystyle Y[e^{j\Omega }]=H[e^{j\Omega }]X[e^{j\Omega }]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e996664aa2582eb3cb8f737257013d975b91fec8)
- ou:
![{\displaystyle Y[e^{j\Omega }]=|H[e^{j\Omega }]|\times |X[e^{j\Omega }]|e^{\angle {H[e^{j\Omega }]}+\angle {X[e^{j\Omega }]}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e0cc8407ffe9f14cf85d65a669db86b87b0e2e)
- Ou seja, o espectro de magnitude do sinal filtrado é o produto do espectro de magnitude do sinal original pela resposta de magnitude do filtro, enquanto que o espectro de fase do sinal filtrado é a soma do espectro de fase do sinal original pela resposta de fase do filtro.
Filtros FIR e IIR
- Os filtros FIR e IIR serão apresentados através dos dois seguintes exemplos:
- Exemplos
, tendo como condições iniciais e , e sinal de entrada ![{\displaystyle x[n]=\delta [n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3a1d1f62221490f06d8e0cfcf5ff795da047a2)
- O resultado deste exemplo é
![{\displaystyle y[n]={\frac {5}{6}}\delta [n]+{\frac {23}{2}}2^{n}u[n]+{\frac {46}{3}}3^{n}u[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa45e3edd70eec8974137d201c1bbb2039aed96)
, com sinal de entrada ![{\displaystyle x[n]=\delta [n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3a1d1f62221490f06d8e0cfcf5ff795da047a2)
- O resultado deste exemplo é
![{\displaystyle y[n]=3\delta [n-1]+5\delta [n-2]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71e68bfe2a2274c973b148023e0613d1a5e7637)
- É visível que há diferenças nos resultados dos exemplos. No primeiro exemplo, o sinal de saída inicia em
e se estende até o infinito, dado que não há nenhuma limitação no tempo na equação. Já no segundo exemplo, o sinal de saída é limitado a existir apenas nos instantes e . Sendo assim, temos no primeiro exemplo um sinal de duração infinita e no segundo um sinal de duração finita. Como o sinal de entrada dos sistemas é um impulso ( ), os sinais em questão são as respostas ao impulso dos respectivos sistemas.
- Sendo assim, os filtros são classificados numa das duas formas:
- Filtros com Resposta ao Impulso Finita (FIR - Finite Impulse Response)
- Filtros com Resposta ao Impulso Infinita (IIR - Infinite Impulse Response)
Filtros FIR janelados
- A resposta de magnitude ideal de um filtro passa baixas pode ser descrita através da seguinte equação:
![{\displaystyle |H_{\text{LP}}[e^{j\Omega }]|=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}|\Omega |\leq \Omega _{c}\\0,&{\mbox{se }}|\Omega |>\Omega _{c}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e9b37ec974b0f141e312be1c9ee8afb2df6049)
- Ao calcular a transformada inversa de Fourier da resposta em questão, o seguinte sinal é obtido:
![{\displaystyle h_{\text{LP}}[n]={\frac {\Omega _{c}}{\pi }}\mathrm {sinc} (\Omega _{c}n)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7500233a14a5ed935c67456335f6831fcbd70b)
- ou de outra forma:
![{\displaystyle h_{\text{LP}}[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\Omega _{c}}{\pi }},&n=0\\{\frac {\sin(\Omega _{c}n)}{\pi n}},&n\neq 0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e4b2ac4f11e6c2b5f458ca2ba84c7bb9b8c3b7)
- Para outros filtros:
-
![{\displaystyle h_{\text{HP}}=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\Omega _{c}}{\pi }},&n=0\\-{\frac {\sin(\Omega _{c}n)}{\pi n}},&n\neq 0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b7b2865580c7422f88a11ac3aa1bde4916d9b8)
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_{\text{BP}}[n] = \left \{ \begin{matrix} \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}, & n = 0 \\ \frac{1}{\pi n} \[ \sin(\Omega_c_2 n) - \sin(\Omega_c_1 n) \], & n \ne 0 \end{matrix}\right.}
- Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. Servidor ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reportou: "Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify"): {\displaystyle h_{\text{BS}}=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }},&n=0\\{\frac {1}{\pi n}}[\sin(\Omega _{c}_{1}n)-\sin(\Omega _{c}_{2}n)],&n\neq 0\end{matrix}}\right.}
- Observação: Todas essas equações consideram o uso de uma frequência de amostragem
. Caso uma outra frequência de amostragem seja utilizada, cuidar com as seguintes situações:
- A distância entre as amostras não serão de uma unidade. Assim, sempre que o termo
aparecer, este deve ser substituído por . Com isso, a distância entre as amostras irá depender da frequência de amostragem utilizada.
- No filtro rejeita faixa, o termo em
da subtração deve ser substituído pela frequência de amostragem, ficando a equação ![{\displaystyle f_{s}-{\frac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c712af72318e0562d27becf7961ffbe9f8d78585)
- Estas são as respostas ao impulso dos filtros ideais. Uma questão importante destas respostas é que elas são ilimitadas no tempo, ou seja, possuem duração infinita. Para que estas repostas sejam realizáveis através de filtros FIR, é necessário limitar o número de amostras da resposta ao impulso
:
![{\displaystyle h_{{\text{LP}}_{M}}[n]=\left\{{\begin{matrix}h_{\text{LP}}[n],&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebf4c4467e43728787e9abe14708e31a30ede2c)
- ou seja, amostras fora do intervalo
são descartadas.
Impacto do truncamento da resposta ao impulso.
- Um filtro passa baixas truncado não possui mais a resposta em frequência ideal, já que para obter aquela resposta seriam necessárias infinitas amostras. Considerando que o truncamento pode ser representado pela multiplicação da resposta ao impulso original por uma janela retangular:
![{\displaystyle w_{R}[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ec9561b5058fdc9af3475995ce7c4290f93edb)
- a resposta em frequência do filtro truncado será a convolução da resposta em frequência ideal do fitro pela transformada de fourier da janela retangular utilizada no truncamento da resposta. Ou:
![{\displaystyle H_{{\text{LP}}_{M}}[e^{j\Omega }]=H_{\text{LP}}[e^{j\Omega }]*W_{R}[e^{j\Omega }]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dba44fac84270dd162e35244b39ee65e6117a0)
- onde
é a transformada de Fourier da janela retangular:
![{\displaystyle W_{R}[e^{j\Omega }]=2M\mathrm {sinc} (\Omega M)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40db61c0ed25477c3adb7175a554633c1982dc8d)
- A janela retangular não é a única opção de truncamento disponível. A seguir, as principais janelas serão apresentadas:
-
![{\displaystyle w_{\text{bar}}[n]=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {|n|}{M+1}},&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024342ec00cccb873f42bf4a8237436e07bec4b4)
-
![{\displaystyle w_{\text{han}}[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\times [1+\cos({\frac {2\pi n}{2M+1}})],&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75471dfba0db67f523e7e1089e524c1cf4bbd88)
-
![{\displaystyle w_{\text{ham}}[n]=\left\{{\begin{matrix}0.54+0.46\times \cos({\frac {2\pi n}{2M+1}}),&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65ccce7059961bd418c0f1b7bbd63d080e3f2a6)
-
![{\displaystyle w_{\text{bla}}[n]=\left\{{\begin{matrix}0.42+0.5\times \cos({\frac {2\pi n}{2M+1}})+0.08\times \cos({\frac {4\pi n}{2M+1}}),&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92387362d1220dc79d26c0a1c7b89d801bd80ecd)
- Os impactos do uso destas e muitas outras janelas podem ser vistos no Matlab, na ferramenta fdatool. Para mais informações, ver Link.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
A janela Kaiser
Máxima variação nas bandas de rejeição e passagem.
Máxima variação na transição entre as bandas.
- Nas janelas anteriores não há um controle sobre a resposta em frequência dos filtros. Visando obter tal controle, a janela de Kaiser foi desenvolvida.
- Na janela de Kaiser, o parâmetro
é utilizado para indicar a máxima flutuação da resposta nas bandas de rejeição e passagem, assim como o parâmetro indica a taxa de transição entre as duas bandas. Desta forma têm-se um controle total sobre a resposta em frequência do filtro.
- Para encontrar a resposta ao impulso da Janela de Kaiser, deve-se seguir os passos:
![{\displaystyle \alpha _{s}=-20\log _{10}^{}(\delta )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41c2c406870277c304666e5f87c5ba3fc8136ab)
![{\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{lc}0,1102(\alpha _{s}-8,7),&\alpha _{s}>50\\0,5842(\alpha _{s}-21)^{0,4}+0,07886(\alpha _{s}-21),&21\leq \alpha _{s}\leq 50\\0,&\alpha <21\end{array}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eb3feca48ae58d5c3edae978c72905db58aafc)
- Número de amostras da resposta ao impulso
![{\displaystyle {}=N=2M={\frac {\alpha _{s}-8}{2,285\Delta \omega }}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afebd44a964da7cf191e71028ee047e1950c078)
- Janela de Kaiser:
![{\displaystyle w[n]={\frac {{\text{I}}_{0}\left\{\beta {\sqrt {1-({\frac {n}{M}})^{2}}}\right\}}{{\text{I}}_{0}\left\{\beta \right\}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c7f3aa26c31b083d20f44c95f3693bfb0e4e02)
- onde:
Função de Bessel de ordem zero modificada (para fazer no Matlab, ver função besseli)
Laboratório
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Avaliação 4
Descrição das atividades
Trabalho final 2014-1 - Clicar no "+" para expandir
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- A avaliação 4 será feita através de um trabalho em grupo. A descrição do trabalho encontra-se no Link. Para a parte 3, utilizar o arquivo de áudio disponível aqui.
- Como combinado faremos 4 equipes (digitem o nome dos alunos das equipes):
- Equipe 1: Luana, Thiago e Wagner
- Equipe 2: Thiego e Muriel
- Equipe 3: Renan
- Equipe 4: Leonardo, Renan Gonçalves, Ricardo
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Avaliações de Recuperação
- Como acordado no dia 29/11, as avaliações de recuperação serão realizadas após a aula, às 17:30, pela seguinte programação:
- Dia 12/12 - Quinta-feira - 18:30-20:20 - Recuperação da avaliação 2 - Transformada Z
- Dia 17/12 - Terça-feira - 15:30-17:30 - Recuperação da avaliação 1 - Sinais e sistemas em tempo discreto
- Os trabalhos terão como data limite o seguinte:
- Trabalho 1 - DTMF: Agendar horário de apresentação até sexta-feira, 13/12
- Trabalho 2 - Filtros: Entregar código e relatório até segunda-feira, 16/12
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