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Edição das 10h37min de 7 de agosto de 2014
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Ementa e referências bibliográficas
Informações da disciplina
- Professor: Diego da Silva de Medeiros
- Plano de Ensino 2014-2
Planos de ensino anteriores - Clicar no "+" para expandir |
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Diário de aula
2014-2 - Clicar no "+" para expandir | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2013-2 - Clicar no "+" para expandir | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Aulas
Apresentação da disciplina
- Primeira aula:
- Apresentação do professor;
- Apresentação da Área de Processamento de Sinais (Slides)
- Apresentação da disciplina (Plano de Ensino);
- Grupo da disciplina: IFSCTelePSD
Tutorial de Matlab
Tutorial Linux.m Tutorial Windows.m
Sinais em tempo discreto
Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.
Introdução à Sinais em Tempo Discreto
- Esta aula é a introdução da disciplina.
- Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).
- Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
- Energia do sinal:
- Potência do sinal:
- Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
- Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
- Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
- Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
- É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
- Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
- Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
- Alteração na taxa de amostragem
- Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
- Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * s.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.1, pg. 226 * Exemplo 3.2, pg. 227 * Exercício E3.1, ppg. 226 * Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
Funções Úteis
- Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
- Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:
- Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
- Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma , onde é o argumento da função e é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base e o argumento são constantes:
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se , , de forma que é uma função crescente;
- Se , encontra-se entre 0 e 1, de forma que é uma função decrescente;
- Se , , de forma que é uma função constante igual a 1.
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- Se , a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a ;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de em transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * d.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232 * Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234 * Exemplos de computador: * C3.1 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10 * C3.2 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
Sistemas em tempo discreto
- Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- = depósito feito no instante
- = saldo na conta no instante , calculado imediatamente após o recebimento do depósito
- = taxa de juros
- O saldo é a soma de:
- Saldo anterior
- Juros obtidos em durante o período
- Depósito
- A equação que relaciona a saída (saldo) com a entrada (depósito) é:
- , onde
- Ou, substituindo por
- , onde
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:
- , com
- ou
- As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo por , a equação fica na forma do operador de atraso:
- , com
- Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é , e a entrada mais avançada no tempo é . Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que
- Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
- Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador para representar um avanço de amostras.
- Exemplo:
- Equação diferença de primeira ordem:
- Equação diferença de segunda ordem:
- Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é
- ou simplesmente
- onde
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m - Solução do exemplo 3.8
- Exercícios (Lathi)
* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295 * Exemplo 3.8, pg. 247 * Exercício E3.10, pg. 249 * Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10 * Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula
- Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais
- Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
- Referentes à entrada: Resposta de estado nulo
- A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).
- ou
- ou ainda
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
- onde os 's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Para raízes repetidas:
- e a resposta de entrada nula será:
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
- e
- E a resposta de entrada nula será
- Para um sistema real
- e
- E então:
- Nomenclatura:
- = polinônio característico do sistema
- = equação característica do sistema
- = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
- = modos característicos ou modos naturais do sistema
- = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.10, pg. 252 * Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255 * Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo
- Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso .
- Ou:
- Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:
- O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:
- onde é a combinação linear dos modos característicos e e são obtidos da equação diferença do sistema.
Ver exemplo 3.12, pg. 258
- A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução:
- onde é a entrada do sistema e é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.
- As propriedades do somatório de convolução são:
- Comutativa
- Distributiva
- Associativa
- Propriedade do deslocamento
- Se ,
- Convolução com um impulso
- Propriedade da largura
- Se tem elementos (amostras) e tem elementos, tem elementos.
- Causalidade
- para
- para , tal que para
- E a convolução causal é:
Ver exemplo 3.13, pg. 262
- Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.
- Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais e inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, ). Para encontrar o valor de saída para um dado instante , é deslocado de amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais e . O processo de convolução consiste então no deslocamento de por toda a extensão de . Este fato pode ser visto em [1] e [2].
- Slides da aula
- Resolução de alguns exercícios, realizada dia 13/09
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.11, pg. 256 * Exemplo 3.12, pg. 258 * Exercício E3.14, pg. 259 * Exercício 3.7-4, pg. 298 * Exemplo 3.13, pg. 262 * Exercício E3.15, pg. 263 * Exemplo 3.14, pg. 264 * Exemplo de computador C3.6 * Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais
Resposta Total e Estabilidade
- A Resposta total de um sistema é definida como:
- Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo
- Resposta Total =
- A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).
- Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente somável:
- A estabilidade interna de um sistema é caracterizada da seguinte forma:
- Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável
- Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável
- Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável
- Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável
- As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:
- Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis.
- Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.22, pg. 285 * Exercício 3.10-2, pg. 303
Avaliação 1
- Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova.
Resultados anteriores - Clicar no "+" para expandir |
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Transformada Z
Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.
Definição da Transformada Z Direta e Inversa
- A Transformada Z Direta é calculada como a seguir:
- A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:
- onde, ou , sendo denominado razão da sucessão de termos.
- A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link.
- Para a soma de termos de uma PG ( finito):
- Para a soma de infinitos termos de uma PG:
- Para mais informações sobre PGs, ver Link.
- A Transformada Z inversa é definida como:
- Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.1, pg. 444 * Exemplo 5.2, pg. 446 * Exercício E5.1, pg. 448 * Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516 * Exercício 5.1-4, pg. 517
* Exemplo 5.3, pg. 448 * Exercício E5.2, pg. 451 * Exercício 5.1-5, pg. 517
Resolução de exercícios com a Transformada Z
- A Avaliação 1 realizada na aula passada foi discutida, bem como foram resolvidos exercícios de transformada Z direta e inversa.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.1, pg. 444 * Exemplo 5.3.a, pg. 448
- Resoluções realizadas no semestre 2013-1
- Solução exemplo 5.3.b
- Solução exemplo 5.3.c
Propriedades da Transformada Z
- Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia.
- Nesta aula, as propriedades serão derivadas.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.4, pg. 456 * Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518
Solução de sistemas usando a Transformada Z
- A Transformada é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:
- A equação diferenças é convertida para o domínio utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:
- A equação algébrica no domínio é trabalhada de forma a isolar .
- Com o isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, .
- Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.
- Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):
- então:
- Dada a equação diferenças genérica:
- ou, em notação operacional:
- ou simplesmente:
- onde:
- A Função de Transferência do sistema é:
- A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.
- Se e não possuírem fatores comuns, o denominador de será idêntico à , e:
- sistema assintoticamente estável: Polos de , repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
- sistema assintoticamente instável:
- (i) Ao menos um polo de fora do círculo unitário;
- (ii) Polos de repetidos sobre o círculo unitário
- sistema marginalmente estável: Nenhum polo de fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.5, pg. 461 * Exercício E5.10, pg. 462 * Exercício E5.11, pg. 463 * Exercício E5.12, pg. 464 * Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519
* Exemplo 5.6, pg. 466 * Exercício 5.3-18, pg. 519 * Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520
- Resoluções realizadas no semestre 2014-1
- Solução exercício E5.10
Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto
- A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo por . Assim, a frequência é indicada por . Usando a seta direcional para representar a relação entrada saída:
- E, fazendo :
- onde é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar:
- Para uma entrada senoidal, considerando que é a parte real de :
- e para uma senoide defasada de :
Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476
- Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período . Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:
- , para inteiro
- Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB.
- A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica:
- encontrando as raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada:
- Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos . Como , variar significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário. Ou:
- ou
- onde e são os módulos e e são os ângulos da linha que une o zero e o polo ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário.
- Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas
- Como a magnitude de é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à , incluir um zero próximo de um determinado ângulo do círculo unitário reduz a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido.
- Como a magnitude de é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à , incluir um polo próximo de um determinado ângulo do círculo unitário aumenta a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo sobre o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável.
- Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito).
- Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB Fdatool.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.10, pg. 476 * Exercício E5.18, pg. 479 * Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521 * Exercícios 5.5-5, pg. 522
* Exercício 5.6-1, pg. 522
Laboratório de Transformada Z
- Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da Transformada Z na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a Função de Transferência será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema.
- Pré laboratório
- Estudar o help do matlab das funções:
- polar() - Plot em coordenadas polares
- poly() - Encontra os coeficientes de um polinômio com base em suas raízes
- roots() - Encontra as raízes de um polinômio com base em seus coeficientes
- freqz() - Retorna a resposta em frequência de um sistema com base na sua equação diferença
- Laboratório
- Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros:
- Filtro passa-baixas
- Filtro passa-altas
- Filtro passa-faixa
- Filtro rejeita-faixa
- Plotar os polos (x) e os zeros (o) no círculo unitário usando a função polar()
- Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz()
- Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros.
- Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros
- Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento
Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto
Referência: Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738.
Série de Fourier de Tempo Discreto
- Periodicidade de uma senoide discreta
- Uma senoide discreta é periódica com período inteiro se . Esta equação é verdadeira quando , com inteiro. Assim, a senoide será periódica se:
- um número racional (representado pela divisão de dois números inteiros)
- O Período Fundamental da senoide será então:
- sendo a Frequência Fundamental da senoide e o menor inteiro que faz um número inteiro.
- O Período Fundamental da senoide será então:
- Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental:
- Mas como:
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é finita, com termos.
- Mas como:
- A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por:
- onde é o coeficiente associado à frequência angular , definido por:
- Espectro de Fourier de um Sinal Discreto
- A Série de Fourier tem componentes:
- onde as frequências de cada componente. Considerando que é em geral complexo, na forma
- Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de com a frequência do termo. Este é o Espectro de Fourier do sinal.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Periodicidade_senoide.m * Espectro_Fourier.m * ExemploC9_2.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 9.2, pg. 745 * Exercício E9.2, pg. 744 * Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
- As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos periódicos através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é aperiódico a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito.
- Sendo assim, o par de Transformadas de Fourier é definido como:
- Transformada Direta
- Transformada Inversa
- Informações relevantes
-
- Espectro é uma função contínua de
- Espectro é uma função periódica de :
- Espectro Periódico X Amostrado
- Sinal periódico:
- Séries de Fourier
- Espectro discreto (harmônicas)
- Sinal aperiódico:
- Espectro contínuo
- Sinal discreto (amostrado)
- Espectro periódico (repetido a cada Hz ou )
- Sinal contínuo
- Espectro aperiódico
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 9.3, pg. 752 * Exemplo 9.4, pg. 753 * Exemplo 9.5, pg. 754 * Exemplo 9.6, pg. 756 * Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756
Laboratório de Transformada de Fourier
- Criação de sinais digitais no Matlab.
- Funções do Matlab apresentadas:
linspace() - função utilizada para criar vetores em intervalos lineares fft() - função que calcula a transformada de Fourier fftshift() - função auxiliar no trabalho com a transformada de Fourier
Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier
Atividades dos semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir |
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Filtros Digitais
Referência: Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi.
Introdução aos Filtros Digitais
- As respostas clássicas de filtros analógicos também se aplicam aos filtros digitais:
- Os filtros digitais são sistemas descritos por equações diferenças, que na sua forma genérica é:
- A Função de Transferência dos filtros digitais é encontrada via Transformada Z:
- Fazendo , obtemos a Resposta em Frequência do filtro:
- Nota-se que é um número complexo, que pode então ser descrito na forma polar:
- onde é o módulo da resposta em frequência (Resposta de Magnitude) e é a fase da resposta em frequência (Resposta de Fase).
- O processo de filtragem de um sinal por um filtro digital é descrito através da operação de convolução. "Filtrar" um sinal significa realizar a convolução da resposta ao impulso do filtro com o sinal em questão:
- Que no domínio da frequência é:
- ou:
- Ou seja, o espectro de magnitude do sinal filtrado é o produto do espectro de magnitude do sinal original pela resposta de magnitude do filtro, enquanto que o espectro de fase do sinal filtrado é a soma do espectro de fase do sinal original pela resposta de fase do filtro.
Filtros FIR e IIR
- Os filtros FIR e IIR serão apresentados através dos dois seguintes exemplos:
- Exemplos
- , tendo como condições iniciais e , e sinal de entrada
- O resultado deste exemplo é
- , com sinal de entrada
- O resultado deste exemplo é
- É visível que há diferenças nos resultados dos exemplos. No primeiro exemplo, o sinal de saída inicia em e se estende até o infinito, dado que não há nenhuma limitação no tempo na equação. Já no segundo exemplo, o sinal de saída é limitado a existir apenas nos instantes e . Sendo assim, temos no primeiro exemplo um sinal de duração infinita e no segundo um sinal de duração finita. Como o sinal de entrada dos sistemas é um impulso (), os sinais em questão são as respostas ao impulso dos respectivos sistemas.
- Sendo assim, os filtros são classificados numa das duas formas:
- Filtros com Resposta ao Impulso Finita (FIR - Finite Impulse Response)
- Filtros com Resposta ao Impulso Infinita (IIR - Infinite Impulse Response)
Filtros FIR janelados
- A resposta de magnitude ideal de um filtro passa baixas pode ser descrita através da seguinte equação:
- Ao calcular a transformada inversa de Fourier da resposta em questão, o seguinte sinal é obtido:
- ou de outra forma:
- Para outros filtros:
- Filtro passa altas:
- Filtro passa faixa:
- Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\begin{matrix}'): {\displaystyle h_{\text{BP}}[n] = \left \{ \begin{matrix} \frac{\Omega_{c_2} - \Omega_{c_1}}{\pi}, & n = 0 \\ \frac{1}{\pi n} \[ \sin(\Omega_c_2 n) - \sin(\Omega_c_1 n) \], & n \ne 0 \end{matrix}\right.}
- Filtro rejeita faixa:
- Falhou ao verificar gramática (Erro de conversão. Servidor ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reportou: "Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify"): {\displaystyle h_{\text{BS}}=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }},&n=0\\{\frac {1}{\pi n}}[\sin(\Omega _{c}_{1}n)-\sin(\Omega _{c}_{2}n)],&n\neq 0\end{matrix}}\right.}
- Observação: Todas essas equações consideram o uso de uma frequência de amostragem . Caso uma outra frequência de amostragem seja utilizada, cuidar com as seguintes situações:
- A distância entre as amostras não serão de uma unidade. Assim, sempre que o termo aparecer, este deve ser substituído por . Com isso, a distância entre as amostras irá depender da frequência de amostragem utilizada.
- No filtro rejeita faixa, o termo em da subtração deve ser substituído pela frequência de amostragem, ficando a equação
- Estas são as respostas ao impulso dos filtros ideais. Uma questão importante destas respostas é que elas são ilimitadas no tempo, ou seja, possuem duração infinita. Para que estas repostas sejam realizáveis através de filtros FIR, é necessário limitar o número de amostras da resposta ao impulso :
- ou seja, amostras fora do intervalo são descartadas.
- Um filtro passa baixas truncado não possui mais a resposta em frequência ideal, já que para obter aquela resposta seriam necessárias infinitas amostras. Considerando que o truncamento pode ser representado pela multiplicação da resposta ao impulso original por uma janela retangular:
- a resposta em frequência do filtro truncado será a convolução da resposta em frequência ideal do fitro pela transformada de fourier da janela retangular utilizada no truncamento da resposta. Ou:
- onde é a transformada de Fourier da janela retangular:
- A janela retangular não é a única opção de truncamento disponível. A seguir, as principais janelas serão apresentadas:
- Bartlett (triangular):
- Hann:
- Hamming:
- Blackman:
- Os impactos do uso destas e muitas outras janelas podem ser vistos no Matlab, na ferramenta fdatool. Para mais informações, ver Link.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
A janela Kaiser
- Nas janelas anteriores não há um controle sobre a resposta em frequência dos filtros. Visando obter tal controle, a janela de Kaiser foi desenvolvida.
- Na janela de Kaiser, o parâmetro é utilizado para indicar a máxima flutuação da resposta nas bandas de rejeição e passagem, assim como o parâmetro indica a taxa de transição entre as duas bandas. Desta forma têm-se um controle total sobre a resposta em frequência do filtro.
- Para encontrar a resposta ao impulso da Janela de Kaiser, deve-se seguir os passos:
- Número de amostras da resposta ao impulso
- Janela de Kaiser:
- onde:
- Função de Bessel de ordem zero modificada (para fazer no Matlab, ver função besseli)
Avaliação 4
- A avaliação 4 será feita através de um trabalho em grupo. A descrição do trabalho encontra-se no Link. Para a parte 3, utilizar o arquivo de áudio disponível aqui.
- Como combinado faremos 4 equipes (digitem o nome dos alunos das equipes):
- Equipe 1: Luana, Thiago e Wagner
- Equipe 2: Thiego e Muriel
- Equipe 3: Renan
- Equipe 4: Leonardo, Renan Gonçalves, Ricardo
Avaliações de Recuperação
- Como acordado no dia 29/11, as avaliações de recuperação serão realizadas após a aula, às 17:30, pela seguinte programação:
- Dia 12/12 - Quinta-feira - 18:30-20:20 - Recuperação da avaliação 2 - Transformada Z
- Dia 17/12 - Terça-feira - 15:30-17:30 - Recuperação da avaliação 1 - Sinais e sistemas em tempo discreto
- Os trabalhos terão como data limite o seguinte:
- Trabalho 1 - DTMF: Agendar horário de apresentação até sexta-feira, 13/12
- Trabalho 2 - Filtros: Entregar código e relatório até segunda-feira, 16/12
Materiais PSD de semestres anteriores
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Listas de Exercício
Avaliações
Grupos de Discussão em TelecomunicaçõesAlguns assuntos correlatos
Links de auxílio
Erratas e Códigos .m
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