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Grade do Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações
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: Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos <math>z = e^{j \Omega}</math>. Como <math>|e^{j \Omega}| = 1</math>, variar <math>\Omega</math> significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência <math>\Omega</math> é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo <math>\Omega</math> sobre o círculo unitário. Ou: | : Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos <math>z = e^{j \Omega}</math>. Como <math>|e^{j \Omega}| = 1</math>, variar <math>\Omega</math> significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência <math>\Omega</math> é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo <math>\Omega</math> sobre o círculo unitário. Ou: | ||
::: <math>H[z] = b_0 \frac{(r_1 e^{j \phi_1}) (r_2 e^{j \phi_2}) ... (r_N e^{j \phi_N})}{(d_1 e^{j \theta_1}) (d_2 e^{j \theta_2}) ... (d_N e^{j \theta_N})}</math> | ::: <math>H[z] = b_0 \frac{(r_1 e^{j \phi_1}) (r_2 e^{j \phi_2}) ... (r_N e^{j \phi_N})}{(d_1 e^{j \theta_1}) (d_2 e^{j \theta_2}) ... (d_N e^{j \theta_N})}</math> | ||
− | + | :: ou | |
− | : | + | ::: <math>H[z] = b_0 \frac{r_1 r_2 ... r_N}{d_1 d_2 ... d_N} e^{j [(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_N) - (\theta_1 + \theta_2 + ... + \theta_N)]}</math> |
+ | :: onde <math>r_i</math> e <math>d_j</math> são os módulos e <math>\phi_i</math> e <math>\theta_j</math> são os ângulos da linha que une o zero <math>i</math> e o polo <math>j</math> ao ponto de ângulo <math>\Omega</math> sobre o círculo unitário. | ||
Edição das 13h05min de 11 de outubro de 2013
MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES
Link curto para esta página: http://bit.ly/PSDIFSC
Ementa e referências bibliográficas
Informações da disciplina
- PROFESSOR: Diego da Silva de Medeiros
- PLANO DE ENSINO
Diário de aula
Aula | Data | Horas | Conteúdo | Recursos | |
---|---|---|---|---|---|
1 | 16/08 | 2 | Apresentação da disciplina | ||
2 | 20/08 | 2 | Introdução à Sinais em Tempo Discreto | ||
3 | 23/08 | 2 | Funções Úteis | ||
4 | 27/08 | 2 | Sistemas em tempo discreto | ||
5 | 30/08 | 2 | Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula | ||
6 | 03/09 | 2 | Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo | ||
7 | 06/09 | 2 | Aula livre para exercícios | ||
8 | 10/09 | 2 | Resposta Total e Estabilidade | ||
9 | 13/09 | 2 | Definição da Transformada Z Direta e Inversa | ||
10 | 17/09 | 2 | Avaliação 1 | ||
11 | 20/09 | 2 | Resolução de exercícios com a Transformada Z | ||
12 | 24/09 | 2 | Aulas suspensas pela Direção do DEPE | ||
13 | 27/09 | 2 | Propriedades da Transformada Z | ||
14 | 01/10 | 2 | Aula livre para a execução de exercícios | ||
15 | 04/10 | 2 | Solução de sistemas usando a Transformada Z | ||
16 | 08/10 | 2 | Solução de sistemas usando a Transformada Z (cont.) | ||
17 | 11/10 | 2 | Resposta em Frequência de Sistemas em tempo discreto e Resposta em frequência pela posição dos polos e zeros | ||
18 | 15/10 | 2 | Laboratório | ||
19 | 18/10 | 2 | Avaliação 2 | ||
TOTAL | ' |
Aulas
Apresentação da disciplina
- Nesta primeira aula, a disciplina foi apresentada. Foi falado sobre a ementa, avaliação, cronograma, etc.
Sinais em tempo discreto
Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.
Introdução à Sinais em Tempo Discreto
- Esta aula é a introdução da disciplina.
- Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).
- Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
- Energia do sinal:
- Potência do sinal:
- Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
- Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
- Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
- Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
- É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
- Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
- Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
- Alteração na taxa de amostragem
- Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
- Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * s.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.1, pg. 226 * Exemplo 3.2, pg. 227 * Exercício E3.1, ppg. 226 * Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
Funções Úteis
- Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
- Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:
- Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
- Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma , onde é o argumento da função e é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base e o argumento são constantes:
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se , , de forma que é uma função crescente;
- Se , encontra-se entre 0 e 1, de forma que é uma função decrescente;
- Se , , de forma que é uma função constante igual a 1.
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- Se , a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a ;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de em transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * d.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232 * Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234 * Exemplos de computador: * C3.1 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10 * C3.2 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
Sistemas em tempo discreto
- Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- = depósito feito no instante
- = saldo na conta no instante , calculado imediatamente após o recebimento do depósito
- = taxa de juros
- O saldo é a soma de:
- Saldo anterior
- Juros obtidos em durante o período
- Depósito
- A equação que relaciona a saída (saldo) com a entrada (depósito) é:
- , onde
- Ou, substituindo por
- , onde
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:
- , com
- ou
- As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo por , a equação fica na forma do operador de atraso:
- , com
- Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é , e a entrada mais avançada no tempo é . Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que
- Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
- Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador para representar um avanço de amostras.
- Exemplo:
- Equação diferença de primeira ordem:
- Equação diferença de segunda ordem:
- Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é
- ou simplesmente
- onde
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
- Exercícios (Lathi)
* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295 * Exemplo 3.8, pg. 247 * Exercício E3.10, pg. 249 * Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10 * Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula
- Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais
- Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
- Referentes à entrada: Resposta de estado nulo
- A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).
- ou
- ou ainda
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
- onde os 's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Para raízes repetidas:
- e a resposta de entrada nula será:
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
- e
- E a resposta de entrada nula será
- Para um sistema real
- e
- E então:
- Nomenclatura:
- = polinônio característico do sistema
- = equação característica do sistema
- = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
- = modos característicos ou modos naturais do sistema
- = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.10, pg. 252 * Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255 * Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo
- Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso .
- Ou:
- Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:
- O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:
- onde é a combinação linear dos modos característicos e e são obtidos da equação diferença do sistema.
Ver exemplo 3.12, pg. 258
- A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução:
- onde é a entrada do sistema e é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.
- As propriedades do somatório de convolução são:
- Comutativa
- Distributiva
- Associativa
- Propriedade do deslocamento
- Se ,
- Convolução com um impulso
- Propriedade da largura
- Se tem elementos (amostras) e tem elementos, tem elementos.
- Causalidade
- para
- para , tal que para
- E a convolução causal é:
Ver exemplo 3.13, pg. 262
- Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.
- Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais e inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, ). Para encontrar o valor de saída para um dado instante , é deslocado de amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais e . O processo de convolução consiste então no deslocamento de por toda a extensão de . Este fato pode ser visto em [1] e [2].
- Slides da aula
- Resolução de alguns exercícios, realizada dia 13/09
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.11, pg. 256 * Exemplo 3.12, pg. 258 * Exercício E3.14, pg. 259 * Exercício 3.7-4, pg. 298 * Exemplo 3.13, pg. 262 * Exercício E3.15, pg. 263 * Exemplo 3.14, pg. 264 * Exemplo de computador C3.6 * Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais
Resposta Total e Estabilidade
- A Resposta total de um sistema é definida como:
- Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo
- Resposta Total =
- A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).
- Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente somável:
- A estabilidade externa de um sistema é caracterizada da seguinte forma:
- Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável
- Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável
- Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável
- Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável
- As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:
- Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis.
- Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.22, pg. 285 * Exercício 3.10-2, pg. 303
Avaliação 1
- Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova.
Transformada Z
Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.
Definição da Transformada Z Direta e Inversa
- A Transformada Z Direta é calculada como a seguir:
- A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:
- onde, ou , sendo denominado razão da sucessão de termos.
- A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link.
- Para a soma de termos de uma PG ( finito):
- Para a soma de infinitos termos de uma PG:
- Para mais informações sobre PGs, ver Link.
- A Transformada Z inversa é definida como:
- Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.1, pg. 444 * Exemplo 5.2, pg. 446 * Exemplo E5.1, pg. 448 * Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516 * Exercício 5.1-4, pg. 517
* Exemplo 5.3, pg. 448 * Exercício E5.2, pg. 451 * Exercício 5.1-5, pg. 517
Resolução de exercícios com a Transformada Z
- A Avaliação 1 realizada na aula passada foi discutida, bem como foram resolvidos exercícios de transformada Z direta e inversa.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.1, pg. 444 * Exemplo 5.3.a, pg. 448
- Resoluções realizadas no semestre 2013-1
- Solução exemplo 5.3.b
- Solução exemplo 5.3.c
Propriedades da Transformada Z
- Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia.
- Nesta aula, as propriedades serão derivadas.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.4, pg. 456 * Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518
Solução de sistemas usando a Transformada Z
- A Transformada é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:
- A equação diferenças é convertida para o domínio utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:
- A equação algébrica no domínio é trabalhada de forma a isolar .
- Com o isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, .
- Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.
- Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):
- então:
- Dada a equação diferenças genérica:
- ou, em notação operacional:
- ou simplesmente:
- onde:
- A Função de Transferência do sistema é:
- A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.
- Se e não possuírem fatores comuns, o denominador de será idêntico à , e:
- sistema assintoticamente estável: Polos de , repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
- sistema assintoticamente instável:
- (i) Ao menos um polo de fora do círculo unitário;
- (ii) Polos de repetidos sobre o círculo unitário
- sistema marginalmente estável: Nenhum polo de fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.5, pg. 461 * Exercício E5.10, pg. 462 * Exercício E5.11, pg. 463 * Exercício E5.12, pg. 464 * Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519
* Exemplo 5.6, pg. 466 * Exercício 5.3-18, pg. 519 * Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520
Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto
- A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo por . Assim, a frequência é indicada por . Usando a seta direcional para representar a relação entrada saída:
- E, fazendo :
- onde é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar:
- Para uma entrada senoidal, considerando que é a parte real de :
- e para uma senoide defasada de :
Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476
- Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período . Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:
- , para inteiro
- Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB.
- A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica:
- encontrando as raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada:
- Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos . Como , variar significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário. Ou:
- ou
- onde e são os módulos e e são os ângulos da linha que une o zero e o polo ao ponto de ângulo sobre o círculo unitário.
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 5.10, pg. 476 * Exercício E5.18, pg. 479 * Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521 * Exercícios 5.5-5, pg. 522
* Exemplo 5.6, pg. 466 * Exercício 5.3-18, pg. 519 * Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520
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