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Álgebra Booleana

O termo "álgebra booleana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A álgebra booleana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.

Leia mais em: https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana

Na Álgebra de Boole existem apenas três operadores AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO). Estas três funções são as únicas operações necessárias para efetuar comparações ou as quatro operações aritméticas base.

Em 1937, cerca de 75 anos após a morte de Boole, Claude Shannon, então estudante no MIT - Boston, USA - estabeleceu a relação entre a Álgebra de Boole e os circuitos eletrônicos transferindo os dois estados lógicos (SIM e NÃO) para diferentes diferenças de potencial no circuito.

Atualmente todos os computadores usam a Álgebra de Boole materializada em microchips que contêm milhares de interruptores miniaturizados combinados em portas (gates) lógicos que produzem os resultados das operações utilizando uma linguagem binária.

Descrição de Circuitos

Para descrever os circuitos que podem ser construídos pela combinação de portas lógicas, um novo tipo de álgebra é necessário, uma em que as variáveis e funções podem ter apenas valores 0 e 1. Tal álgebra é denominada álgebra booleana.

Do mesmo modo que existem funções em álgebra comum, também existem funções na álgebra booleana. Uma função booleana tem uma ou mais variáveis de entrada e fornece somente um resultado que depende apenas dos valores destas variáveis. Essas variáveis normalmente estão associadas a uma letra maiúscula, por exemplo: A,B,C,D,E....

Como uma função de n variáveis possui apenas 2n conjuntos possíveis de valores de entrada, a função pode ser descrita completamente através de uma tabela de 2n linhas, cada linha mostrando o valor da função para uma combinação diferente dos valores de entrada. Tal tabela é denominada tabela verdade.

Tabelas Verdades

Abaixo, seguem algumas das principais portas lógicas existente, não são as únicas, mas as outras portas existentes são combinações destas portas básicas, e todos os circuitos digitais podem ser montados a partir destas portas.

AND

A função AND (E) pode ser definida em linguagem natural como 1 se todas as entradas forem 1 e 0 se apenas uma das entradas for 0. Pode se dizer que se trata da "multiplicação" de números binários.

Porta lógica

Expressão algébrica

$S=A.B\,$

Tabela Verdade

(AND)

A B	S
A B	S
0 0	0
0 1	0
1 0	0
1 1	1

A tabela verdade de uma função básica como a função AND ,possui um conjunto de funções da álgebra booleana e têm implementação eletrônica através de transistores e são conhecidas como portas lógicas.

Um circuito digital é regido pela álgebra de Boole, e com as portas lógicas existentes é possível implementar qualquer função da álgebra booleana. A seguir veremos as principais portas lógica, simbologia e tabela verdade.

OR

A função OR (OU) também pode ser definida em linguagem natural ela é 0 se todas as entradas forem 0 e 1 se existir uma entrada em 1.

Porta lógica

Expressão algébrica

$S=A+B\,$

Tabela verdade

(OR)

A B	S
A B	S
0 0	0
0 1	1
1 0	1
1 1	1

NOT

A função NOT é implementada na conhecida porta inversora.

Porta lógica

Expressão algébrica

$S={\bar {A}}$

Tebela verdade

(NOT)

A	S
A	S
0	1
1	0

XOR

A função XOR conhecida como ou exclusivo ('OR exclusive) é muito parecido com a OR.

Porta lógica

Expressão algébrica

$S=A\oplus B$

Tebela verdade

(XOR)

A B	S
A B	S
0 0	0
0 1	1
1 0	1
1 1	0

Referência

Trabalho por Ricardo K. L. Ferreira - Estudante de Ciência da Computação – Mackenzie .

Material de Apoio

• [Slides da Aula]

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