Introdução

Qualquer circuito linear (fontes independentes) pode ser substituído, em dois terminais A e B, por uma fonte de tensão em série $V_{Th}\,$ com uma resistência $R_{Th}\,$ , sendo que:

A tensão

V_{Th}\,

é o valor da diferença de potencial entre os terminais A e B, quando a rede linear do resto do circuito (diferença de potencial entre A e B em circuito aberto) é isolado.

A resistência

R_{Th}\,

é a resistência vista a partir dos terminais A e B, e é determinada por curto-circuito de todas as fontes de tensão e substituída por circuitos abertos em fontes de corrente.

Teoremas de circuitos

Objetivo: Simplificar a análise de circuitos.
Aplicável: Somente a circuitos lineares.

Teoremas de Thevenin e Norton

Suponha que precisamos determinar a tensão (ou a corrente) em um único bipolo de um circuito, visto na Figura 1, constituído por qualquer número de fontes e de outros resistores.

Figura 1 - Circuito com fontes e resistores.

O Teorema de Thévenin nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito equivalente contendo uma fonte de tensão em série com um resistor.

Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por circuito equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor.

Consideremos um circuito elétrico que foi rearranjado na forma de outros dois circuitos, chamados de A e B.

Circuito A: deve ser um circuito linear:

Fontes independentes;
Bipolos lineares; e
Fontes dependentes lineares.

Circuito B: pode conter também elementos não–lineares.

Restrição importante: Nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser controlada por uma corrente ou tensão do circuito B e vice versa.

Figura 2 - Circuito equivalente de Thevenin.

Teorema de Thévenin

É definido como sendo uma tensão V_AB que aparece nos terminais de A se o circuito B é desconectado, de forma que nenhuma corrente fluí do circuito A para o circuito B. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de tensão V_AB for conectada em série com o circuito A "desativado".

Desativar fontes:

Substituir fontes independentes de corrente por circuitos abertos.

Substituir fontes independentes de tensão por curtos-circuitos.

Teorema de Norton

É definido como sendo uma corrente I_cc que flui nos terminais de A se os pontos de conexão entre A e B são curto-circuitados, de forma que nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de corrente I_cc for conectada em paralelo com o circuito A "desativado".

Exemplo

Determinar a Corrente I no circuito abaixo usando o teorema de Thevenin.

Figura 3 - Circuito exemplo.

Para o exemplo mostrado na Figura 3, considera-se a resistência de 6 omhs como sendo o circuito B. Desta forma é preciso retira-la do circuito equivalente de Thevenin segundo o método que foi apresentado. A Figura 4 mostra como ficou o circuito.

Figura 4 - Exemplo sem o resistor de 6 ohms.

1) Cálculo do equivalente de Thevenin

$V_{Th}=V_{AB}=140-20I_{1}\,$

Malha 1

$-140+20I_{1}+5(I_{1}+18)=0\,$

$-140+25I_{1}+90=0\,$

$I_{1}={\frac {140-90}{25}}=2A\,$

Logo

$V_{Th}=V_{AB}=140-20.2=100V\,$

2) Cálculo do $R_{Th}$ (Figura 5)

Figura 5 - Circuito da resistência equivalente.

A Figura 5 mostra como fazer o cálculo da resistência equivalente vista pelos pontos A e B do circuito, levando em consideração que as fontes de tensão são curto-circuitadas e as fontes de corrente são colocadas em aberto.

$R_{Th}=R_{eq}=20//5={\frac {20.5}{20+5}}=4\Omega$

Após calcular VTh e RTh, pode-se obter o circuito equivalente, visto da Figura 6 [1], para daí a corrente a corrente que passa pelo resistor de 6 ohms como mostra a Figura 6 [2].

Figura 6 - [1] Circuito equivalente de Thevenin e [2] Circuito da corrente de carga.

A corrente de carga pode ser calculada da seguinte maneira:

$I_{L}={\frac {V_{Th}}{4+6}}$

$I_{L}={\frac {100}{4+6}}=10A$

Como

$V_{Th}=R_{Th}.I_{N}\,$

$I_{N}={\frac {V_{Th}}{R_{Th}}}\,$

Assim

$I_{N}={\frac {100}{4}}=25A\,$

Figura 7 - [1] Circuito equivalente de Norton e [2] Circuito equivalente de carga.

Circuitos Equivalentes

Thevenin

O Teorema de Thévenin nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito equivalente contendo uma fonte de tensão em série com um resistor.

Figura 1 - Teorema de Thevenin.

Norton

Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por circuito equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor.

Figura 2 - Teorema de Norton.

Logo

$R_{Th}=R_{Eq}=R_{N}\,$

$V_{Th}=R_{Th}.I_{N}\,$

$I_{N}={\frac {V_{Th}}{R_{Th}}}\,$

Exemplo

[1] Calcule $V_{Th}\,$ , $R_{Th}\,$ e $I_{N}\,$ para o circuito abaixo

Resultado

Solução

Lembrando:

Para tornar o circuito mais simples:

Calcular tensão de circuito aberto;
Calcular corrente de curto circuito;
Obter $R_{Th}\,$ , $V_{Th}\,$ ou $I_{N}\,$ .

Parte [1]

$V_{ab}={\frac {10.2000}{2000+100}}=9,5V\,$

$V_{ab}=V_{Th}\,$

Parte [2]

$R_{eq}=2k//(50+200)=222,2\,\Omega$

$V_{eq}={\frac {10.222,2}{100+222,2}}=6,9V$

$I_{N}={\frac {6,9}{50+200}}=27,6mA$

Parte [3]

- Cálculo de $R_{Th}\,$ matando as fontes:

Fontes de tensão em curto circuito;

Fontes de corrente em aberto;

Aplicar associação de resistores.

$R_{Th}={\frac {V_{Th}}{I_{N}}}={\frac {9,5}{27,6^{-3}}}=344,2\Omega \,$

$R_{eq}=50+(100//2000)+200=345,2\,\Omega$

Exercícios

[1] Calcule o circuito equivalente utilizando o teorema de Thevenin

- Determine a tensão e a corrente na resistência de carga de 70k $\Omega$ .

- Lembre-se: Você deve fazer os cálculos sem o o resistor de 70k $\Omega$ .

Resultado

Solução

$V_{Th}=30V\,$

$R_{Th}=35k\Omega \,$

$I_{N}=0,857mA\,$

Cálculo da resistência de Thevenin:

$R_{Th}=(20.10^{3}//60.10^{3})+(40.10^{3}//40.10^{3})=35k\Omega \,$

Cálculo da tensão de Thevenin $V_{Th}=V_{AB}$

$V_{Th}=V_{AB}=V_{40k}-V_{20k}$

$V_{Th}={\frac {120.40.10^{3}}{40.10^{3}+40.10^{3}}}-{\frac {120.20.10^{3}}{20.10^{3}+60.10^{3}}}=30V\,$

Cálculo da resistência de Norton:

$R_{N}=R_{Th}==35k\Omega \,$

Cálculo da corrente de curto-circuito:

$I_{N}=I_{20k}-I_{60k}\,$

$R_{eq1}=(20.10^{3}//40.10^{3})=13,3k\Omega \,$

$R_{eq2}=(60.10^{3}//40.10^{3})=24k\Omega \,$

$V_{1}={\frac {120.24.10^{3}}{24.10^{3}+13,3.10^{3}}}=77,2V\,$

$I_{20k}={\frac {120-77,2}{20.10^{3}}}=2,14mA\,$

$I_{60k}={\frac {77,2}{60.10^{3}}}=1,29mA\,$

$I_{N}=2,14.10^{-3}-1,29.10^{-3}=0,854mA\,$

[2] Determinar a corrente no resistor $R_{AB}$ utilizando o teorema de Thevenin.

- Lembre-se: Você deve fazer os cálculos sem o o resistor de 10 $\Omega$ .

Resultado

Solução

$V_{Th}=-14V\,$

$R_{Th}=6,6\Omega \,$

[3] Diga qual o valor da resistência que solicita uma corrente de 5A quando ligada aos pontos a e b do circuito abaixo:

Solução
$R=6\Omega \,$

[4] Encontre o equivalente de Norton para o circuito abaixo:

Solução

$R_{Th}=16\Omega \,,V_{Th}=-50V$

[5] Determine R para que a corrente que que passe pelos pontas A e B seja de 2A:

Solução

[5.1] Substituindo as três primeiras fontes de tensão por fonte de corrente:

[5.2] Fazendo a substituição das quatro fontes de corrente em paralelo (teorema de Millman):

$I_{eq}=2+4,86-7-2,6=-2,74A\,$

[5.3] Fazendo a substituição da resistência equivalente desse paralelo:

${\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}=0,92\Omega \,$

[5.4] Substituindo a fonte de corrente equivalente por fonte de tensão, juntamente com a resistência equivalente:

$V_{eq}=I_{eq}.R_{eq}=-2,74*0,92=-2,52V\,$

[5.5] Sabendo-se que a corrente $I_{2}=2A$ tem-se:

Malha 1

$2,52+0,92i_{1}+6i_{1}+1(i_{1}-i_{2})-48=0\,$

$2,52+0,92i_{1}+6i_{1}+1i_{1}-2-48=0\,$

$7,92i_{1}=48-2,52+2\,$

$i_{1}={\frac {47,44}{7,92}}=6A\,$

Malha 2

$R.i_{2}-54+48+1(i_{2}-i_{1})=0\,$

$2R-54+48+1(2-6)=0\,$

$R={\frac {54-48+4}{2}}=5\Omega \,$

Resultado

$R=5\Omega \,$

[6] Encontre os circuitos equivalentes de Thevenin e de Norton, vistos pelos pontos A e B, para os circuitos abaixo. Não esqueça de retirar o resistor (entres os pontos a e b) para fazer a análise e os cálculos.

[6a] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms?