CEL18702 2017 2 AULA07

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Teorema de Millman

O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.

Fig49 CEL18702.png

Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.

O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:

Exemplo

Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.

Fig50 CEL18702.png


Solução
Teorema de Milman

Corrente (I):

Resistência equivalente (R):

Logo:


Associação de Fontes

Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.


A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.


Fig106 CEL18702.png

Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.


A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.


Fig107 CEL18702.png

Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:

e


respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.


Fonte de Corrente

A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.a e 4.b), que naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal.

Fig130 CEL18702.png

Figura 4 - Associação em paralelo de fontes de corrente.


Nota
A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma indeterminação no nó de interligação, devido a não verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. No nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i1-i2=0, ou, o que é o mesmo, i1=i2.

Princípio da Superposição

O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para tensões elétricas.

Video aula

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Exemplo

Superposição (Sistemas Lineares)

A resposta de um circuito linear a várias excitações simultâneas é igual à soma das respostas individuais a cada uma das excitações.

Procedimento:

1. Calcula-se a solução para o estado inicial, anulando-se as entradas (curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de corrente).

2. Calcula-se a solução para cada fonte, anulando-se as condições iniciais e as demais fontes do circuito.

3. Somam-se as soluções individuais.


Fig45 CEL18702.png

Figura 1 - Circuito original com uma fonte de tensão e outra de corrente.

Determinar a corrente i

Fig45b CEL18702.png

Figura 2 - Circuito a partir da fonte de tensão.

Fonte de tensão
Solução



Fig45c CEL18702.png

Figura 3 - Circuito a partir da fonte de corrente.

Fonte de corrente
Solução




Resultado
Solução




Verificação através da análise de malha
Solução


malha 1

malha 2

Logo

Como:


Exercícios

Superposição

[1] Determinar a Corrente I no circuito abaixo usando o teorema da Superposição.


Fig62 CEL18702.png


[2] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms?


Fig99 CEL18702.png

[3] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:

a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)

b) O Princípio da Superposição (5 escores)


Fig112 CEL18702.png


Resposta

V0=-8V


[4] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I0, utilizando:

a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)

b) O Princípio da Superposição (5 escores)


Fig113 CEL18702.png


Resposta

I0=-1A


[5] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:

a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)

b) O Princípio da Superposição (5 escores)


Fig114 CEL18702.png


Resposta

V0=-4,5V (confirmar)

[6] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:

a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)

b) O Princípio da Superposição (5 escores)


Fig115 CEL18702.png


Resposta

V0=-30V (confirmar)


[7] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I0, utilizando:

a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)

b) O Princípio da Superposição (5 escores)


Fig116 CEL18702.png


Resposta

I0=-2A

Millman

[1] Calcule, utilizando o teorema de Millman, o circuito equivalente ao circuito dado, visto de (A e B). Calcule tensão e corrente em .


Fig48 CEL18702.png
Solução


[2] Calcule VAB com o circuito em aberto e depois com Rc=3Ω ligada ao circuito.

Fig102 CEL18702.png


Respostas

VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V


[3] Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω.


Fig109 CEL18702.png


Respostas


V=6,9V



[4] Calcule a tensão sobre o resistor de 6Ω.


Fig108 CEL18702.png


Respostas


V=-14,8V


[5] Utilizando o método dos nós calcular a corrente I0 para o circuito abaixo.


Fig105 CEL18702.png


Respostas

I0=0,33uA


[6] Utilizando análise de nós, determine o valor de VX para o circuito abaixo.

Fig104 CEL18702.png


Respostas

VX=26,3mV


[7] Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito abaixo. Calcule VAB com Rc=3Ω ligada ao circuito.

Fig102 CEL18702.png


Respostas

VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V


[8] Calcule os equivalentes de Thévenin e de Norton para o circuito abaixo. Calcule VAB com RL ligada ao circuito.

Fig103 CEL18702.png


Solução
Thevenin

Só existe uma malha de corrente no circuito e é a de 2mA. Lembre-se que entre A e B está aberto.Como não há corrente circulando pelo R2, a tensão VAB é a soma da queda de tensão no resistor R1 mais a fonte de 4V.

Sabendo que a corrente de malha é 2mA fica:


Para calcular a resistência equivalente a fonte de corrente fica em aberto enquanto a fonte de tensão fica em curto, logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{eq}=2k+3k=5k\Omega\,}


Para calcular o IN fazemos:


Colocando de volta o resistor da carga RL, o VAB que é a tensão sobre a carga fica:

então, o novo VAB é


Confirmando todos os resutados:

VTh=8V; RTh=RN=5kΩ; IN=1,60mA; VAB=-1,33V


Norton

Pessoal, como não gosto de deixar coisas mal resolvidas, vejam como fica a análise principal do circuito, com Norton, utilizando a Lei de Kirchoff (foi aí que "erramos"). O sentido da corrente i1 é entrando no nó, juntamente com a corrente de 2mA. Logo, a corrente i2 que sai do nó é soma de i1 mais 2mA. Vejam como fica:

Equação 1:

Logo,

Equação 2: (passando pela malha de fora)


Resolvendo o sistema (Cramer)



Daí é só fazer os outros cálculos.


Prof. Douglas A.

Referências

[1] http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf

[2] http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/assocfon.htm

[3] http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea612/node140.html



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