Teorema de Millman

O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.

Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.

O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

$I={\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+{\frac {E_{3}}{R_{3}}}$

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}$

A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:

$E_{M}=I.R\,$

$R_{M}=R\,$

Exemplo

Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.

Solução

Teorema de Milman

Corrente (I):

$I={\frac {V_{1}}{10}}+{\frac {V_{2}}{2}}\,$

$I={\frac {8}{10}}+{\frac {4}{2}}=2,8A\,$

Resistência equivalente (R):

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2}}=1,667\Omega \,$

$V_{M}=I.R=2,8.1,667=4,67V\,$

Logo:

$i={\frac {V_{M}}{R+5//4}}+{\frac {4,67}{1,667+2,22}}=1,2A\,$

$i_{5\Omega }={\frac {i.4}{5+4}}+{\frac {1,2.4}{9}}=0,533A\,$

Associação de Fontes

Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.

A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.

Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.

Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:

$V_{5}={\frac {G_{1}.V_{1}+G_{2}.V2}{G_{1}+G_{2}}}\,$

e

$R_{5}={\frac {R_{1}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\,$

respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.

Fonte de Corrente

A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.a e 4.b), que naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal.

Figura 4 - Associação em paralelo de fontes de corrente.

Nota

A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma indeterminação no nó de interligação, devido a não verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. No nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i₁-i₂=0, ou, o que é o mesmo, i₁=i₂.

Princípio da Superposição

O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para tensões elétricas.

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Exemplo

Superposição (Sistemas Lineares)

A resposta de um circuito linear a várias excitações simultâneas é igual à soma das respostas individuais a cada uma das excitações.

Procedimento:

1. Calcula-se a solução para o estado inicial, anulando-se as entradas (curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de corrente).

2. Calcula-se a solução para cada fonte, anulando-se as condições iniciais e as demais fontes do circuito.

3. Somam-se as soluções individuais.

Figura 1 - Circuito original com uma fonte de tensão e outra de corrente.

Determinar a corrente i

$i=i'+i''\,$

Figura 2 - Circuito a partir da fonte de tensão.

Fonte de tensão

Solução

$i'={\frac {V_{x}}{20}}\,$

$V_{x}={\frac {40.20}{20+10}}=26,7V\,$

$i'={\frac {26,7}{20}}=1,33A\,$

Figura 3 - Circuito a partir da fonte de corrente.

Fonte de corrente

Solução

$i''={\frac {2.10}{10+20}}=0,67A\,$

Resultado

Solução

$i=i'+i''\,$

$i=1,33+0,67=2A\,$

Verificação através da análise de malha

Solução

malha 1

$30i_{1}-20i_{2}=40\,$

malha 2

$i_{2}=-2A\,$

Logo

$30i_{1}-20.(-2)=40\,$

$i_{1}={\frac {40-40}{30}}=0A\,$

Como:

$i=i_{1}-i_{2}=0-(-2)=2A\,$

Exercícios

Superposição

[1] Determinar a Corrente I no circuito abaixo usando o teorema da Superposição.

[2] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms?