PSD29007-Engtelecom(2017-1) - Prof. Marcos Moecke

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Unidade 1

Aula 1 (10 Fev)

• Apresentação da disciplina

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Resposta de sistemas LTI (Experimento 1.1)

• Relembrar o conceito de equação de diferenças de um sistema LTI discreto e resposta ao impulso.
• Resposta ao delta de Kronecker do sistema LTI discreto

$a_{0}y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+...+a_{N}y[n-N]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]+...+b_{M}x[n-M]$

onde $a_{0}=1$, $a_{1}=-1/\alpha$ e $b_{1}=1$ logo $y[n]=1/\alpha .y[n-1]+x[n]$

%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.1
alpha = 1.15; N = 256;
x = [1 zeros(1,N)];
y = filter(1,[1 -1/alpha],x);
stem(y);

• Amostragem de Sinais (Experimento 1.2)

• Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing.
• Notar que as amostras de um sinal $s_{1}(t)=cos(2\pi \times 3t)$ (3 Hz) e um sinal $s_{2}(t)=cos(2\pi \times 7t)$ (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz.

%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.2
fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais
Ts = 1/fs; fase = 0;
time = 0:Ts:(1-Ts);
f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1
f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2
s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase);
s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase);
fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais
Tsa = 1/fsa;
time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa);
figure(1);
stem(time,s_1,'ob');
hold on;
plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k');
stem(time,s_2,'+r');
plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m');
hold off;
legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo')

• Uso do Matlab: Help, F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m, Execução de seções e variação de valores nos scripts,
• Ver no Matlab: zeros, ones, plot, stem, subplot, filter.
• Uso de gráficos no Matlab.

• Ver pag. 65 a 71 de
• Ver também PDF Documentation for MATLAB. Principalmente MATLAB Primer.

Aula 2 (13 Fev)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Filtragem de Sinais (Experimentos 1.3, 2.1 e 2.2)
• Consulte a documentação do Matlab sobre

   roots, poly, linspace, logspace
  

• Uso de residue, residuez, pretty, latex, freqs, freqz, syms, symfun, zplane.
• Ver também o Publish para a geração automática de relatórios em html, doc, pdf, latex ou ppt. Ver também Publishing MATLAB Code.
• Ver pag. 138 a 141 de

Variação do Experimento 2.2

% Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 2.2 % Resposta em frequencia usando a função freqz N = 1; num = [1 0 0 0]; den = poly([0.8 0.2]) %den = [1 0.6 -0.16]; % modo 1 %[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 2 %[H,w]=freqz(num,den); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 3 %[H,w]=freqz(num, den, 'whole'); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 4 freqz(num, den, 'whole'); figure(2); zplane(num,den); %% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw) syms z Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z); pretty(Hf) latex(Hf) N = 1; w = [0:pi/100:N*pi-pi/100]; plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w)))) %title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex') text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex') xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex') Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8]. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1] verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i] verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado

Aula 3 (17 Fev)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Filtragem de Sinais

Variação do Experimento 3.1

%% Variação do Experimento 3.1 do livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Ex3_1.m % Exemplificando as possiveis formas de realizar a filtragem de um sinal x(n) clc; clear all; close all; %% Definindo valores iniciais Nh = 10; Nx = 20; %Nh = 400; Nx = 10000; x = ones(1,Nx); % A resposta ao inpulso de um sistema h(n) % no filtro FIR aos coeficientes b(n) = h(n) h = [1:Nh]; b = h; %% Filtrando o sinal e medindo tempos % Filtragem utilizando a convolução % NOTE: length(y) = length(x) + length(h) -1 tic; % iniciar a contagem do tempo y1 = conv(x,h); t(1) = toc; % terminar acontagem e mostrar tempo no console % filtragem utilizando a equação recursiva % NOTE: length(y) = length(x) tic; y2 = filter(b,1,x); t(2) = toc; % filtragem utilizando a equação recursiva % aumentando o tamanho de x para que length(y3) = length(y1) x3 = [x zeros(1,length(h)-1)]; tic; y3 = filter(h,1,x3); t(3) = toc; length_y = length(x) + length(h) - 1; % filtragem utilizando a FFT % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic; X = fft(x,length_y); H = fft(h,length_y); Y4 = X.*H; y4 = ifft(Y4); t(4) = toc; % filtragem utilizando a função fftfilt % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic y5 = fftfilt(h,x3); t(5) = toc; disp('Comprimento do vetor de saída length(y)') disp([' ' num2str([length(y1) length(y2) length(y3) length(y4) length(y5)])]) disp('Tempo usado na filtragem em micro segundos') disp([' ' num2str(t*1e6) ' us']) %% Plotando o gráfico subplot(411);stem(y1); hold on; stem(y2,'xr'); stem(y3,'+m'); legend('y1', 'y2', 'y3') hold off subplot(412);stem(y1, 'ob');legend('y1') subplot(413);stem(y2, 'xr'); hold on; stem(zeros(size(y1)),'.w');hold off; legend('y2') subplot(414);stem(y3, '+m');legend('y3')

• Análise de Sinais (Experimento 3.2) - Análise de um sistema h[n] correspondente a um filtro passa-faixa, utilizando um sinal de entrada x[n] senoidal (ou um sinal r[n] de ruído branco). Análise da entrada x[n] e saída y[n] usando a fft.

Variação do Experimento 3.2

%% Variação do Experimento 3.2 do livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Ex3_2.m % Análise de sinais no domínio da frequência fs = 200; % frequência de amostragem f_sinal = 10; A_sinal = 1; % freqüência e amplitude do sinal T = 1; % Duração do sinal k_noise = 0.2; % Intensidade do ruído snr = 0; time = 0 : 1/fs : (T-1/fs); L = length(time); freq = time * fs/T; % Sinal x(n) com amplitude A_sinal e frequencia de f_sinal (Hz) x = A_sinal*sin(2*pi*f_sinal.*time); % Adicionando um ruido com a função randn noise = k_noise*randn(1,fs*T); x1 = x + noise; % Adicionando um ruido com a função awgn x2 = awgn(x,snr); % Obtendo o sinal no domínio da frequencia X = abs(fft(x))/L; X1 = abs(fft(x1))/L; X2 = abs(fft(x2))/L; % Obtendo os plots dos sinais no dominio do tempo e domínio da frequencia figure(1); subplot(211);plot(time,x, 'b', time,x1, 'g', time, x2, 'r'); legend('x(n)', 'x(n)+rand', 'x(n)awgn', 'Location','south') xlabel('Tempo (seg)'); ylabel('Magnitude (linear)'); subplot(212);plot(freq, (abs(X)), 'b'); hold on ;plot(freq, (abs(X1)),'g');plot(freq,(abs(X2)),'r'); legend('X(f)', 'X(f)+rand', 'X(f)+awgn', 'Location','south'); hold off; xlabel('Frequencia (Hz)'); ylabel('Magnitude (linear)');

• Filtros Digitais (Experimento 2.3)

• Consulte a documentação do Matlab sobre

   fft, ifft, fftshift, randn
  

• Consulte a documentação do Matlab sobre

   plot, grid, subplot, hold, xlabel, ylabel, title, legend, xlim, ylim, log10, log
  

• Consulte a documentação do Matlab sobre text, zp2tf, tf2zp, fftfilt, awgn
• Ver pag. 141 a 145 e 230 a 235 de

Aula 4 - 5 (20 - 24 Fev)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Filtros Digitais

%% Experimento 2.3 - Filtros Digitais
% Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
% FILE: Exp2_3.m
 
%% 1º filtro
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 ]'; P = [p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 2º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.9*exp(1j*pi/4);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p1 p1' p1 p1']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);
 
%% 3º filtro
z1 = exp(1j*pi/8);
z2 = exp(1j*3*pi/8);
p1 = 0.99*exp(1j*pi/4);
p2 = 0.9*exp(1j*pi/4 - 1j*pi/30);
p3 = 0.9*exp(1j*pi/4 + 1j*pi/30);
Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']';
P = [p1 p1' p2 p2' p3 p3']';
[num,den] = zp2tf(Z,P,1);
[h,w] = freqz(num,den);
figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h)));
figure(2); zplane(num,den);

• Exercício - Sinal DTMF com ruído

• Verifique se o Matlab está reproduzindo corretamente o som.

%% Carregando o som
clear, close, clc
load handel;

%% Reproduzindo o som 
sound(y,Fs)
 
% Reproduzindo o som 
%soundsc(y,Fs)
 
% Reproduzindo o som 
%player = audioplayer(y, Fs);
%play(player);

• Usando o Matlab (ou Audacity) para gerar um sinal DTMF correspondente a um número N e adicionar um ruido ao sinal. Opcionalmente utilize um sinal DTMF gravado
• Utilizar uma frequência de amostragem de 8000Hz de fazer a duração do sinal igual a 2 segundos.
• Para adicionar o ruído utilize a função y = awgn(x,snr), ou y = x + nivel*randn(n).

• Observe este sinal no domínio do tempo (DT) e domínio da frequência (DF).

%% Carregando o som
clear, close, clc
[y,Fs] = audioread('DTMF_8kHz.ogg');

%% Reproduzindo o som 
sound(y,Fs)

%% Visualizando o som no DT
time = [0:length(y)-1]'/Fs;
plot(time',y'); xlabel('segundos');
xlim([0 time(end)]), ylim([-1 1]);

%% Visualizando o som no DF
Nfreq = length(y);
freq = linspace(0,2*pi,Nfreq)'*Fs/pi/2;
Y = fft(y,Nfreq)/Nfreq;
plot(freq,abs(Y)); xlabel('Hertz');
xlim([0 Fs/2]);

• Filtrar o sinal resultante mantendo apenas a frequência da linha (ou coluna)
• Mostrar os sinais no domínio do tempo e da frequência.

x1,X1 - soma das duas senoides.

x2,X1 - soma de x1 com o ruído branco (gaussiano)

y,Y - sinal filtrado.

• Para a filtragem:

• faça a filtragem no domínio do tempo, usando a função filter posicionando o polo sobre a frequência que deseja passar, e coloque um zero sobre a frequência que deseja rejeitar.
• faça a filtragem no domínio da frequência, convertendo o sinal x1 para DF usando X1 = fft(x1), Y = X1.*H, y = ifft(Y), onde H é um vetor de zeros e uns que indica as frequências que devem passar e quais devem ser rejeitadas.

VER (Experimento 3.1, Experimento 3.2, Experimento 2.3)

Aula (3 Mar)

• 1ª defesas de TCC do Curso de Engenharia de Telecomunicações.

• Alunos assistiram a defesa no auditório das 10:00 as 12:35

Unidade 2

Aula 6 (6 Mar)

• Filtros Analógicos:

• Função de transferência

$H(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}},m\leq n$

• Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar

$H(j\omega )=H(s)\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$

$H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{j\phi (\omega )}$

$\left|H(j\omega )\right|^{2}=H(j\omega )H(-j\omega )$

$e^{j\phi (\omega )}={\frac {H(j\omega )}{H(-j\omega )}}$

• O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:

1. projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado $H(p)$ com frequência de passagem $\Omega _{s}=1$
2. transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS)

$H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p=g(s)\end{matrix}}\right.$

Aula 7 e 8 (10 e 13 Mar)

• Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth

• A aproximação de magnitude de filtros analógicos pode ser realizado usando as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) e Cauer.

• Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{s}}-1}}$, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{s}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo.

• É necessário determinar a ordem $n$ do filtro:

$n\geq {\frac {\log[(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)]}{2\log \Omega _{s}}}$

• Em seguida obter os polos do filtro:

$p_{k}=\epsilon ^{(-1/n)}e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$

• Em seguida é necessário obter a função de transferência:

$H(p)={\frac {1}{D(p)}}$, onde $D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$

• No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado

$H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$

• Ver pag. 186 a 204 de

Aula 9 (17 Mar)

• Projeto de filtros analógicos do tipo Chebyshev I.

• Determine a ordem mínima necessária:

$n\geq {\frac {\cosh {-1}{\sqrt {(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)}}}{\cosh ^{-1}\Omega _{s}}}$

• Em seguida obter os polos do filtro:

$p_{k}=-\sinh(\varphi _{2})\sin(\theta _{k})+j\cosh(\varphi _{2})\cos(\theta _{k})\ \ \ \ \ k=1,2,3,...n$, onde

$\theta _{k}=\left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right)$

$\varphi _{2}={\frac {1}{n}}\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$

• Ver pag. 204 a 208 de

Aula 10 (20 Mar)

• Filtros Analógicos:

• Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro 's').
• Ler Comparison of Analog IIR Lowpass Filters em ellip
• Uso das funções freqs, "zplane", fvtool na análise da resposta em frequência de filtros analógicos.

• Exemplos de projeto de filtro passa-baixas com frequência de passagem de 16000 rad/s com atenuação máxima de 0.3 dB, frequência de rejeição de 20000 rad/s com atenuação mínima de 20 dB; e ganho em DC de 3 dB.

%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab  
%% Especificações do filtro 
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo
 
%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');

%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');

%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');

%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');

• Transformação de frequência de filtros analógicos

(passa-baixas -> passa-baixas, passa-baixas -> passa-altas, passa-baixas -> passa-faixa, passa-baixas -> rejeita-faixa)

$\Omega _{S}=\omega _{s}/\omega _{p}$

• Uso das funções semilogx, semilogy,logspace, linspace.
• Ver em IIR Filter Design,

• Funções para projeto do filtro protótipo analógico passa-baixas: besselap, buttap, cheb1ap, cheb2ap, ellipap
• Funções de transformação de frequencia: lp2bp, lp2bs, lp2hp, lp2lp

• Ver pag. 208 a 218 de

Aula 11 (27 Mar)

• Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto

• Transformação invariante ao impulso (pode ser usada apenas para filtros com forte atenuação em frequência altas, ex: passa-baixas e passa-faixa)
• Transformação bilinear (pode ser usada para todos tipos de filtro)
• Ver pag. 219 a 229 de
• Ver pag. 403 a 415 e 434 a 435 de

ATUAL

Aula 12 (31 Mar)

• Filtros Digitais: Filtros IIR: Uso do Matlab.

• Ver as funções de discretização usadas no Matlab: bilinear, impinvar