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MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES

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Semestre 2013-2

Informações da disciplina

• PROFESSOR: Diego da Silva de Medeiros
• PLANO DE ENSINO

Aulas

Introdução à Sinais em Tempo Discreto

Esta aula é a introdução da disciplina.

• Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).

• Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.

• Energia do sinal:

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Potência do sinal:

$P_{x}=\lim _{N\to \infty }{1 \over {2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência

• Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
• Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
• Alguns sinais não são nem de energia nem de potência

• É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:

• Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
• Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
• Alteração na taxa de amostragem

• Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
• Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  s.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.1, pg. 226
* Exemplo 3.2, pg. 227
* Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230

Funções Úteis

Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).

Função Impulso Unitário.

• Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:

$\delta [n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n=0\\0,&{\mbox{se }}n\neq 0\end{matrix}}\right.$

Função Degrau Unitário.

• Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.

$u[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n\geq 0\\0,&{\mbox{se }}n<0\end{matrix}}\right.$

• Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma $e^{\lambda n}$, onde $\lambda$ é o argumento da função e $n$ é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base $e$ e o argumento $\lambda$ são constantes:

$e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^{n}=\gamma ^{n}$

A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de $\lambda$ ou de $\gamma$. Iniciemos nossa análise considerando que $\lambda$, e por consequência $\gamma$, é real.

• Se $\lambda >0$, $e^{\lambda }=\gamma >1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função crescente;
• Se $\lambda <0$, $e^{\lambda }=\gamma$ encontra-se entre 0 e 1, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função decrescente;
• Se $\lambda =0$, $e^{\lambda }=\gamma =1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função constante igual a 1.

Se $\lambda$ é complexo, ele pode ser escrito na forma $a+jb$, e $e^{\lambda n}=e^{(a+jb)n}=e^{an}e^{jbn}$. Desta forma, $\gamma$ também será complexo, ou $\gamma =e^{a}e^{jb}$. A análise é feita então em função de $a$ e $b$.

• Se $b=0$, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
• Se $a=0$, $\lambda =jb$ e $\gamma =e^{jb}=cos(b)+jsen(b)$, sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a $b$;
• Se $a>0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a $b$
• Se $a<0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a $b$

Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do Lathi).

A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de $\lambda$ em $\gamma$ transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  d.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.3, pg. 232
* Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
* Exemplos de computador:
  * C3.1 para o sinal $x_{d}[n]=(0,7)^{-n}$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
  * C3.2 para o sinal $x[n]=3cos(2\pi 0,0909n)$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33

Sistemas em tempo discreto

Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.

Exemplo de sistema discreto.

Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo $T$. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período $T$ e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:

• $x[n]$ = depósito feito no instante $n$
• $y[n]$ = saldo na conta no instante $n$, calculado imediatamente após o recebimento do depósito
• $r$ = taxa de juros

O saldo $y[n]$ é a soma de:

• Saldo anterior $y[n-1]$
• Juros obtidos em $y[n-1]$ durante o período
• Depósito $x[n]$

A equação que relaciona a saída $y[n]$ (saldo) com a entrada $x[n]$ (depósito) é:

$y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]$

$y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]$

$y[n]-ay[n-1]=x[n]$, onde $a=1+r$

Ou, substituindo $n$ por $n+1$

$y[n+1]-ay[n]=x[n+1]$, onde $a=1+r$

As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n+N-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n+M-l]\right.$, com $a_{0}=1$

ou

$\left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.$

As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo $n$ por $n-N$, a equação fica na forma do operador de atraso:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n-l]\right.$, com $a_{0}=1$

Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é $y[n+N]$, e a entrada mais avançada no tempo é $x[n+M]$. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que $\left.N\geq M\right.$

Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.

Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247

Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador $E^{r}$ para representar um avanço de $r$ amostras.

${\begin{matrix}Ex[n]&{}:={}&x[n+1]\\E^{2}x[n]&{}:={}&x[n+2]\\{}&\vdots &{}\\E^{N}x[n]&{}:={}&x[n+N]\end{matrix}}$

Exemplo:

• Equação diferença de primeira ordem:

${\begin{matrix}y[n+1]-ay[n]&{}={}&x[n+1]\\Ey[n]-ay[n]&{}={}&Ex[n]\\(E-a)y[n]&{}={}&Ex[n]\end{matrix}}$

• Equação diferença de segunda ordem:

${\begin{matrix}y[n+2]+{\frac {1}{4}}y[n+1]+{\frac {1}{16}}y[n]&{}={}&x[n+2]\\(E^{2}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})y[n]&{}={}&E^{2}x[n]\end{matrix}}$

Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]$

ou simplesmente

$Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$

onde

$Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}$

$P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}$

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m

Exercícios (Lathi)

* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
* Exemplo 3.8, pg. 247
* Exercício E3.10, pg. 249
* Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
* Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional

Resposta do sistema às condições iniciais: A resposta de entrada nula

A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).

$\left.Q[E]y_{0}[n]=0\right.$

ou

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y_{0}[n]=0$

ou ainda

$\left.y_{0}[n+N]+a_{1}y_{0}[n+N-1]+...+a_{N}y_{0}[n]=0\right.$

O único sinal que respeita esta condição é a exponencial, já que uma exponencial deslocada é igual à uma constante multiplicada pela mesma exponencial:

$E_{}^{k}(\gamma ^{n})=\gamma ^{n+k}=\gamma ^{k}\gamma ^{n}$

A solução da resposta de entrada nula deve ser na forma $y_{0}[n]=c\gamma ^{n}$, que subsituindo:

$c\left(\gamma ^{N}+a_{1}\gamma ^{N-1}+...+a_{N-1}\gamma +a_{N}\right)\gamma ^{n}=0$

Para a igualdade, um dos três termos multiplicativos devem ser zero. No caso do segundo (solução não trivial):

$\left.\gamma ^{N}+a_{1}\gamma ^{N-1}+...+a_{N-1}\gamma +a_{N}=0\right.$

ou:

$\left.Q[\gamma ]=0\right.$

que é um polinômio de grau N, que pode ser expresso na forma de fatores

$\left.(\gamma -\gamma _{1})(\gamma -\gamma _{2})...(\gamma -\gamma _{N})=0\right.$

A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):

$y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}$

onde os $c_{i}^{}$'s são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais

Nomenclatura:

• $Q[\gamma ]$ = polinônio característico do sistema
• $Q[\gamma ]=0$ = equação característica do sistema
• $\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{N}$ = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
• $\gamma _{1}^{n},\gamma _{2}^{n},...,\gamma _{N}^{n}$ = modos característicos ou modos naturais do sistema
• $y_{0}[n]$ = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos

Para $r$ raízes repetidas:

$\left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.$

e a resposta de entrada nula será:

$y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}$

Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:

$\gamma _{}^{}=\alpha e^{j\beta }$ e $\gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }$

E a resposta de entrada nula será

$y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}$

Para um sistema real

$c_{1}={\frac {c}{2}}e^{j\theta }$ e $c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }$

E então:

$y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )$

Slides da aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios

Materiais PSD de semestres anteriores

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Listas de Exercício Pelo menos 3 exercícios diferentes de cada seção devem ser entregues resolvidos. Os desafios não precisam ser entregues, faça se quiser Faça os seguintes exercícios: a) Da Seção 3.1 (3 ex), b) 3.2-3, c) 3.3.1 (a||b||c||d) e (e) 3.3.2 (b||c||d||e); CAPÍTULO BACKGROUND B35, B36, B37 CAPÍTULO 3 Seção 3.1: 1, 2, 4, 5 Seção 3.2: 1, 2, 3, 4 Seção 3.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Seção 3.4: 1, 2, 3, 4, 7, 8 Seção 3.5: 1, 2, 3, 4, 5 Seção 3.6: 1, 2, 3, 4, 5, 7 Seção 3.7: 1, 2, 3 Seção 3.8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18 media:Ex3.5-5.pdf CAPÍTULO 5 Seção 5.1: 4, 5, 6, Seção 5.2: 1, 2, 3, 4, 5, 9 Seção 5.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 , [25*] FILTROS DIGITAIS Avaliações Avaliação P1 - Analise no tempo de LDIT (26/10/2011) Avaliação P2 - Transformada Z (08/12/2011) Avaliação P3 - Entrega do Projeto de Filtros Digitais (20/12/2011 - 20h00) em .pdf por email. Avaliação de recuperação P1 e P2 (22/12/2011) Nas avaliações o aluno tem direito a consulta ao livro texto e a 1 folha resumo manuscrita tamanho A4 (sem exercicios resolvidos). Grupos de Discussão em Telecomunicações Alguns assuntos correlatos Números Inteiros Aritmética de ponto fixo Representação de números com sinal ponto "decimal" Aritmética de ponto flutuante IEEE 754 Ciclo Limite Transformação Bilinear Invariância ao Impulso Links de auxílio MATLAB Wikipedia MATLAB Wikibook Curso de MATLAB da UFMS Matlab Tutorial - for beginers Alternativas ao MATLAB [1] Fragmentos de códigos em MATLAB UFTPR DSP Apostila de Filtros Digitais - UFTPR Apostila de DSP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto http://www.eas.asu.edu/~midle/jdsp/jdsp.html Recent Advances in Digital Processing of Images and Audio - Vídeo-conferência do MIT (September 29, 2006). Using Psychoacoustics to Explore Cochlear Function: Basic Mechanisms and Applications to Hearing Aids - Vídeo-conferência do MIT (November 17, 2006). Does Texas Instruments Have a 'D' or and 'I' in Signal Processing? - Vídeo-conferência do MIT (February 10, 2003). Convolução gráfica Discreta. Erratas e Códigos .m Errata de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Compilado pelos alunos e professores do CEFETSC. Códigos .m de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Fornecido pelo autor do livro

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