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Grade do Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações
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: A '''resposta de entrada nula de um sistema''' é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada. | : A '''resposta de entrada nula de um sistema''' é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada. | ||
:: <math>\left. Q[E] y_0[n] = 0 \right.</math> | :: <math>\left. Q[E] y_0[n] = 0 \right.</math> | ||
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+ | :: <math>\left. \gamma^N + a_1 \gamma^{N-1} + ... + a_{N-1} \gamma + a_N = 0 \right.</math> | ||
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+ | :* <math>Q[\gamma]</math> = polinônio característico do sistema | ||
+ | :* <math>Q[\gamma] = 0</math> = equação característica do sistema | ||
+ | :* <math>\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_N</math> = raízes características, valores característicos ou '''autovalores do sistema''' | ||
+ | :* <math>\gamma_1^n, \gamma_2^n, ..., \gamma_N^n</math> = modos característicos ou modos naturais do sistema | ||
+ | :* <math>y_0[n]</math> = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos | ||
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+ | : Para <math>r</math> '''raízes repetidas''': | ||
+ | :: <math>\left. Q[\gamma] = (\gamma - \gamma_1)^r \right.</math> | ||
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+ | :: <math>y_0\left[ n \right] = (c_0 + c_1 n + c_2 n^2 ... + c_{r-1} n^{r-1}) \gamma_1^n </math> | ||
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+ | : Para '''raízes complexas''', expressamos as raízes na forma polar: | ||
+ | :: <math>\gamma_{}^{} = \alpha e^{j \beta}</math> e <math>\gamma_{}^{} = \alpha e^{-j \beta}</math> | ||
+ | : E a resposta de entrada nula será | ||
+ | :: <math>y_0^{}[n] = c_1 \gamma^n + c_2 (\gamma^*)^n</math> | ||
+ | : Para um sistema real | ||
+ | :: <math>c_1 = \frac{c}{2}e^{j \theta}</math> e <math>c_2 = \frac{c}{2}e^{-j \theta}</math> | ||
+ | : E então: | ||
+ | :: <math>y_0[n] = \frac{c}{2} \alpha^n cos(\beta n + \theta)</math> | ||
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+ | :; [[Media:PSD_Aula4_Slides.pdf | Slides da aula]] | ||
:; Códigos Matlab desenvolvidos | :; Códigos Matlab desenvolvidos | ||
− | * [[Media: | + | * [[Media:PSD_Aula4_Matlab1.m | Simulação.m]] |
:; Exercícios (Lathi): | :; Exercícios (Lathi): |
Edição das 01h51min de 26 de agosto de 2013
MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES
Link curto para esta página: http://bit.ly/PSDIFSC
Ementa e referências bibliográficas
Semestre 2013-2
Informações da disciplina
- PROFESSOR: Diego da Silva de Medeiros
- PLANO DE ENSINO
Aulas
Introdução à Sinais em Tempo Discreto
- Esta aula é a introdução da disciplina.
- Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).
- Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
- Energia do sinal:
- Potência do sinal:
- Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
- Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
- Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
- Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
- É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
- Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
- Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
- Alteração na taxa de amostragem
- Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
- Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * s.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.1, pg. 226 * Exemplo 3.2, pg. 227 * Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
Funções Úteis
- Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
- Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:
- Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
- Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma , onde é o argumento da função e é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base e o argumento são constantes:
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se , , de forma que é uma função crescente;
- Se , encontra-se entre 0 e 1, de forma que é uma função decrescente;
- Se , , de forma que é uma função constante igual a 1.
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de ou de . Iniciemos nossa análise considerando que , e por consequência , é real.
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- Se , a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a ;
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a
- Se , e , sendo então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a
- Se é complexo, ele pode ser escrito na forma , e . Desta forma, também será complexo, ou . A análise é feita então em função de e .
- A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de em transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m * u.m * d.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232 * Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234 * Exemplos de computador: * C3.1 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10 * C3.2 para o sinal , mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
Sistemas em tempo discreto
- Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- = depósito feito no instante
- = saldo na conta no instante , calculado imediatamente após o recebimento do depósito
- = taxa de juros
- O saldo é a soma de:
- Saldo anterior
- Juros obtidos em durante o período
- Depósito
- A equação que relaciona a saída (saldo) com a entrada (depósito) é:
- , onde
- Ou, substituindo por
- , onde
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo . O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
- As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:
- , com
- ou
- As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo por , a equação fica na forma do operador de atraso:
- , com
- Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é , e a entrada mais avançada no tempo é . Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que
- Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
- Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador para representar um avanço de amostras.
- Exemplo:
- Equação diferença de primeira ordem:
- Equação diferença de segunda ordem:
- Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é
- ou simplesmente
- onde
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
- Exercícios (Lathi)
* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295 * Exemplo 3.8, pg. 247 * Exercício E3.10, pg. 249 * Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10 * Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
Resposta do sistema às condições iniciais: A resposta de entrada nula
- A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada.
- ou
- ou ainda
- O único sinal que respeita esta condição é a exponencial, já que uma exponencial deslocada é igual à uma constante multiplicada pela mesma exponencial:
- A solução da resposta de entrada nula deve ser na forma , que subsituindo:
- Para a igualdade, um dos três termos multiplicativos devem ser zero. No caso do segundo (solução não trivial):
- ou:
- que é um polinômio de grau N, que pode ser expresso na forma de fatores
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
- onde os c's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Nomenclatura:
- = polinônio característico do sistema
- = equação característica do sistema
- = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
- = modos característicos ou modos naturais do sistema
- = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Para raízes repetidas:
- e a resposta de entrada nula será:
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
- e
- E a resposta de entrada nula será
- Para um sistema real
- e
- E então:
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232
Aula
- Atenção alunos, este tópico é só um código utilizado como exemplo para que eu possa criar novas aulas. Não é uma aula propriamente dita.
- Exemplo, de tópico
- Equação com recuo
- Texto com recuo
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232
Materiais PSD de semestres anteriores
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Listas de Exercício
Avaliações
Grupos de Discussão em TelecomunicaçõesAlguns assuntos correlatos
Links de auxílio
Erratas e Códigos .m
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