CEL18702 2017 2 AULA07

Teorema de Millman

O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.

Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.

O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

$I={\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+{\frac {E_{3}}{R_{3}}}$

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}$

A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:

$E_{M}=I.R\,$

$R_{M}=R\,$

Exemplo

Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.

Solução
Teorema de Milman Corrente (I): $I={\frac {V_{1}}{10}}+{\frac {V_{2}}{2}}\,$ $I={\frac {8}{10}}+{\frac {4}{2}}=2,8A\,$ Resistência equivalente (R): ${\frac {1}{R}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2}}=1,667\Omega \,$ $V_{M}=I.R=2,8.1,667=4,67V\,$ Logo: $i={\frac {V_{M}}{R+5//4}}+{\frac {4,67}{1,667+2,22}}=1,2A\,$ $i_{5\Omega }={\frac {i.4}{5+4}}+{\frac {1,2.4}{9}}=0,533A\,$

Associação de Fontes

Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.

A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.

Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.

Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:

$V_{5}={\frac {G_{1}.V_{1}+G_{2}.V2}{G_{1}+G_{2}}}\,$

e

$R_{5}={\frac {R_{1}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\,$

respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.

Fonte de Corrente

http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/assocfon.htm

Exercícios

[1] Calcule, utilizando o teorema de Millman, o circuito equivalente ao circuito dado, visto de $R_{L}$ (A e B). Calcule tensão e corrente em $R_{L}$.

Solução
$V_{AB}=7,5V\,,I=0,125A$

[2] Calcule V_AB com o circuito em aberto e depois com R_c=3Ω ligada ao circuito.

Respostas
VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V

[3] Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω.

Respostas
V4Ω=6,9V

[4] Calcule a tensão sobre o resistor de 6Ω.

Respostas
V6Ω=-14,8V

[5] Utilizando o método dos nós calcular a corrente I₀ para o circuito abaixo.

Respostas
I0=0,33uA

[6] Utilizando análise de nós, determine o valor de V_X para o circuito abaixo.

Respostas
VX=26,3mV

[7] Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito abaixo. Calcule V_AB com R_c=3Ω ligada ao circuito.

Respostas
VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V

[8] Calcule os equivalentes de Thévenin e de Norton para o circuito abaixo. Calcule V_AB com R_L ligada ao circuito.

Solução

Thevenin Só existe uma malha de corrente no circuito e é a de 2mA. Lembre-se que entre A e B está aberto.Como não há corrente circulando pelo R2, a tensão VAB é a soma da queda de tensão no resistor R1 mais a fonte de 4V. Sabendo que a corrente de malha é 2mA fica: $V_{AB}=R_{1}.2.10^{-3}+4\,$ $V_{AB}=2.10^{3}.2.10^{-3}+4\,$ $V_{AB}=V_{Th}=8V\,$ Para calcular a resistência equivalente a fonte de corrente fica em aberto enquanto a fonte de tensão fica em curto, logo: $R_{eq}=2k+3k=5k\Omega \,$ $R_{eq}=R_{Th}=5k\Omega \,$ Para calcular o IN fazemos: $I_{N}={\frac {V_{Th}}{R_{Th}}}={\frac {8}{5.10^{3}}}=1,6mA\,$ Colocando de volta o resistor da carga RL, o VAB que é a tensão sobre a carga fica: $I_{L}={\frac {V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}}}={\frac {8}{5.10^{3}+1.10^{3}}}=1,33mA\,$ então, o novo VAB é $V_{AB}=R_{L}.I_{L}=1.10^{3}.1,33.10^{-3}=1,33V\,$ Confirmando todos os resutados: VTh=8V; RTh=RN=5kΩ; IN=1,60mA; VAB=-1,33V Norton Pessoal, como não gosto de deixar coisas mal resolvidas, vejam como fica a análise principal do circuito, com Norton, utilizando a Lei de Kirchoff (foi aí que "erramos"). O sentido da corrente i1 é entrando no nó, juntamente com a corrente de 2mA. Logo, a corrente i2 que sai do nó é soma de i1 mais 2mA. Vejam como fica: Equação 1: $i_{2}=i_{1}+2.10^{-3}\,$ Logo, $-i_{1}+i_{2}=2.10^{-3}\,$ Equação 2: (passando pela malha de fora) $-4+2.10^{3}i_{1}+3.10^{3}i_{2}=0\,$ $2.10^{3}i_{1}+3.10^{3}i_{2}=4\,$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}-1&1\\2.10^{3}&3.10^{3}\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}2.10^{-3}\\4\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}-1&1\\2.10^{3}&3.10^{3}\end{vmatrix}}\,=-3.10^{3}-2.10^{3}\qquad \Delta =-5.10^{3}$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}-1&2.10^{-3}\\2.10^{3}&4\end{vmatrix}}\,=-4-4\qquad \Delta i_{2}=-8$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {-8}{-5.10^{3}}}\qquad i_{2}=1,6mA\,$ Daí é só fazer os outros cálculos. Prof. Douglas A.

Referências

[1] http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf

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