Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
- Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG
Introdução a Transformada de Fourier
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Existência da Transformada Fourier
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Transformada de Fourier: Propriedades 1
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Transformada de Fourier: Propriedades 2
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Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Fonte: Elaborado pelo autor.
Série de Fourier de tempo contínuo (SF)
O sinal é contínuo e periódico no tempo (com período ) , e o sinal é discreto na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência discreta.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A série de Fourier , indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas , onde . Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.
Figura 3 - Sinal periódico e sua série de Fourier
800 px
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Discrete Fourier Transform (DFT).
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
TDF e TDFI
O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal ou discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (TDF)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (TDFI)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
Equação simplificada da TDF e TDFI
Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:
- ,
definir a frequência fundamental como:
então
Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo .
Alguns valores de que ajudam a lembrar as simplificações:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
- Equação de análise
- , para
- Equação de síntese
- , para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Notação matricial de TDF e TDFI
Em notação matricial cada na TDF e na TDFI podem ser calculado como:
Porém como as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial:
- Equação de análise
- Equação de síntese
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento necessita de multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas. Em 1965, Cooley e Tukey propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de . Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10. Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes.
Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo ou as frequencia .
Ver este e-book The DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis em OpenStax CNX, e também a wikipedia que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto.
- Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington
The Discrete Fourier Transform (DFT)
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Computing the DFT Matrix
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The Fast Fourier Transform (FFT)
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The Fast Fourier Transform Algorithm
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What is a Fast Fourier Transform (FFT)?
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Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: