Discretização de filtros analógicos
A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por
![{\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759a747bff8034f023e70ca80ce89c0a980c880c)
O mapeamento inverso
em
é feita por
é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência
![{\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9729501b26eb85764942cb112cc9885b1a6cca)
Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de
Demonstração
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![{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb3a0ef3b4b9ba5baa49d864f7242a1a39761f5)
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Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico)
em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital)
, e vice-versa.
O mapeamento da função
em
é feita por:
![{\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0d3abeae9336afda45d347615ed7fab41f35f1)
O mapeamento inverso
em
é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f02dc63b3c691dca9c8f6204ac90fbb858bacd)
Demonstração
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&z=e^{sT}\\{\text{foi visto que}}\\&s\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\{\text{então rearranjando z}}\\&sT/2(z+1)\approx (z-1)\\&(sT/2)z+sT/2\approx z-1\\&1+sT/2\approx z(1-sT/2)\\{\text{portanto}}\\&z\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab56e0a2494c4fe0afcff050ed321f0f215096f3)
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Empenamento de frequência (frequency warping)
Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência
é avaliada em
, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário
. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência
é avaliada em
, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois
possui magnitude constante
.
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado
deve ser projetada no filtro analógico
. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de
na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.
![{\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fee02dfd4c10d8935d63c49858c5c70b8724bc3)
![{\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)=H_{a}(j\omega _{a})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3e4297b0889123f7c39edb075b17cb1ab10df9)
Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:
![{\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdda3aac8dc9c3cf88bbcdb13864c316d0f5adf7)
Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico
![{\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391fc4b1552877c2db4ea5bfa3a9470fc55c735c)
é mapeada no filtro digital no intervalo limitado
![{\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a1900dc2079146b77786852a956ebc37b82e3f)
- Figura - Empenamento de frequencia resultado da transformada Bilinear, para T = 1
FONTES