Transformação Invariante ao Impulso

A função de transferência do filtro analógico

$H_a(s)=\frac{c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+...+c_m{s}^m}{d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+...+d_n{s}^n}$ onde $m\le n$

pode ser expandida em frações parciais, considerando $p_k$ os polos não múltiplos de $H_a(s)$:

$H_a(s)=\sum _{k=1}^K\left(\frac{r_k}{s-p_k}\right)$

dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente

$\frac{1}{s-\alpha }⟷e^{\alpha t}\cdot u(t)$

a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:

$\frac{r_k}{s-p_k}⟷r_k{e}^{p_{k}t}\cdot u(t)$

e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por

$h_a(t)=\sum _{k=1}^K(r_k{e}^{p_{k}t}\cdot )u(t)$