Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo continuo em uma variável complexa
de frequência contínua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939cd24caa77cf68d0c4d64c3887ced63ecfe63f)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua em uma variável real
de tempo continuo.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05eb3c4236020c24c03920199b132dfba5cc636d)
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal
é discreto no tempo, e o sinal
é contínuo e periódico em
.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência contínua periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead240740c78145db36922dc995013e104d99033)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua periódica em uma variável real
continua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d785cc49f67a3c4b49f32bf8a2b15585b819309f)
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em
de
:
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4de9a45e47a991d44a93387985800a43014ab1)
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência
em N amostras entre 0 e
é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências
com
, and
, obtemos o espectro amostrado uniformemente:
![{\displaystyle \mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34649cb0701d9270577923828c4f0498d2f27cc)
.
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
![{\displaystyle \mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32984501634fb57348df80435ecb090f3e741709)
.
O que mostra que o sinal Esse sinal
são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto
original.
- Note que N o período de repetição do sinal
é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD
original.
- Se o comprimento L o sinal do
for maior que N o período de repetição do sinal
, haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se
então
é a repetição periódica exata de
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bfe93c6cbb544f2ea384d233b13b86dde2fbab)
, para
.
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo
a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal
é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal
discreto e periódico em
.
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência discreta periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ca6656394455bd3e22d4d17b34a63138b3886c)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq k\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62546c1f2d40d8f67fd5811c6dc4c1026e4b932f)
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência discreta periódica em uma variável real
discreta.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j(2\pi /N)k})\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(2\pi /N)k})\ e^{j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e764e33bd609b364549b334ef77034aa0a40da)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq n\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3b6990577482ad48c8d10dc2961a3c7107f902)
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de
for menor que o período de repetição N, é necessário que
seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação