MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES
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Informações da disciplina
Diário de aula
Aulas
Apresentação da disciplina
- Nesta primeira aula, a disciplina foi apresentada. Foi falado sobre a ementa, avaliação, cronograma, etc.
Introdução à Sinais em Tempo Discreto
- Esta aula é a introdução da disciplina.
- Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).
- Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.
-
![{\displaystyle E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|x[n]\right|}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d7eac8aff3508de94d746317b7b84652ddee3a)
![{\displaystyle P_{x}=\lim _{N\to \infty }{1 \over {2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x[n]\right|}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb94307dc2736261d2ceb0cf05fdad4b1daafb5)
- Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência
- Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
- Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
- Alguns sinais não são nem de energia nem de potência
- É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:
- Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
- Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
- Alteração na taxa de amostragem
- Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
- Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
* u.m
* s.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.1, pg. 226
* Exemplo 3.2, pg. 227
* Exercício E3.1, ppg. 226
* Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230
Funções Úteis
- Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).
-
![{\displaystyle \delta [n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n=0\\0,&{\mbox{se }}n\neq 0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde09c5418f2c174d7ca7a9594c512065bc649ba)
- Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.
![{\displaystyle u[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n\geq 0\\0,&{\mbox{se }}n<0\end{matrix}}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b113bd05f7035be9628fa2610eb748072ab0d88)
- Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma
, onde
é o argumento da função e
é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base
e o argumento
são constantes:
![{\displaystyle e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^{n}=\gamma ^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6bef3f4d42a5928718ffb4925f0ec1353798be4)
- A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de
ou de
. Iniciemos nossa análise considerando que
, e por consequência
, é real.
- Se
,
, de forma que
é uma função crescente;
- Se
,
encontra-se entre 0 e 1, de forma que
é uma função decrescente;
- Se
,
, de forma que
é uma função constante igual a 1.
- Se
é complexo, ele pode ser escrito na forma
, e
. Desta forma,
também será complexo, ou
. A análise é feita então em função de
e
.
- Se
, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
- Se
,
e
, sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a
;
- Se
,
e
, sendo
então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a ![{\displaystyle b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
- Se
,
e
, sendo
então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a ![{\displaystyle b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do
Lathi).
- A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de
em
transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
* u.m
* d.m
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.3, pg. 232
* Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
* Exemplos de computador:
* C3.1 para o sinal
, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
* C3.2 para o sinal
, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33
Sistemas em tempo discreto
- Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.
Exemplo de sistema discreto.
- Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo
. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período
e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:
= depósito feito no instante ![{\displaystyle n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
= saldo na conta no instante
, calculado imediatamente após o recebimento do depósito
= taxa de juros
- O saldo
é a soma de:
- Saldo anterior
![{\displaystyle y[n-1]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9862a8ad5444b16db02655c12ae0a44a1871a00e)
- Juros obtidos em
durante o período
- Depósito
![{\displaystyle x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
- A equação que relaciona a saída
(saldo) com a entrada
(depósito) é:
![{\displaystyle y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1742209e98a42c01f99812b3097c579cfe98f5)
![{\displaystyle y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0159ed158e1201aafd3d9ea72e0c2ebcc940e394)
, onde ![{\displaystyle a=1+r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9708bd4d3f8492d9a4523245c2a27c348c73b)
- Ou, substituindo
por
, onde ![{\displaystyle a=1+r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9708bd4d3f8492d9a4523245c2a27c348c73b)
- As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:
, com ![{\displaystyle a_{0}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3873789cb6451e25f63b4d11572ac5c69d7873b)
- ou
![{\displaystyle \left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087ad17f0230e81b2968664c93a39b8cac74012b)
- As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo
por
, a equação fica na forma do operador de atraso:
, com ![{\displaystyle a_{0}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3873789cb6451e25f63b4d11572ac5c69d7873b)
- Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é
, e a entrada mais avançada no tempo é
. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que ![{\displaystyle \left.N\geq M\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db87f6a95dca2472247035fbe8766fb8c26bc1f1)
- Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.
Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247
- Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador
para representar um avanço de
amostras.
![{\displaystyle {\begin{matrix}Ex[n]&{}:={}&x[n+1]\\E^{2}x[n]&{}:={}&x[n+2]\\{}&\vdots &{}\\E^{N}x[n]&{}:={}&x[n+N]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff62ebe23b4dea33b5d635425074d80e3c0f801)
- Exemplo:
- Equação diferença de primeira ordem:
![{\displaystyle {\begin{matrix}y[n+1]-ay[n]&{}={}&x[n+1]\\Ey[n]-ay[n]&{}={}&Ex[n]\\(E-a)y[n]&{}={}&Ex[n]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf078b71b20b341b17ce7a9c5f33245646ee5cb)
- Equação diferença de segunda ordem:
![{\displaystyle {\begin{matrix}y[n+2]+{\frac {1}{4}}y[n+1]+{\frac {1}{16}}y[n]&{}={}&x[n+2]\\(E^{2}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})y[n]&{}={}&E^{2}x[n]\end{matrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83372ed4b9e3f717c6e41ba8ea47d58d65636c23)
- Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é
![{\displaystyle \left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5c2a6ca591349928c765d04dfe1943cd64f881)
- ou simplesmente
![{\displaystyle Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510732922035500fd4e01bd8619eb241868d1300)
- onde
![{\displaystyle Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e72d8d0c7c25ccd06f71a789715fa0ce292f24)
![{\displaystyle P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e848c908d06d7398df2ca479e6169208a23edd75)
- Slides da aula
- Códigos Matlab desenvolvidos
* Simulação.m
- Exercícios (Lathi)
* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
* Exemplo 3.8, pg. 247
* Exercício E3.10, pg. 249
* Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
* Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional
Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula
- Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais
- Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
- Referentes à entrada: Resposta de estado nulo
- A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).
![{\displaystyle \left.Q[E]y_{0}[n]=0\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bf422af648d3e9d5a05c72d54873ed425c3b96)
- ou
![{\displaystyle \left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y_{0}[n]=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf79b88547450699772fc77ccbbdc8a72ba6303)
- ou ainda
![{\displaystyle \left.y_{0}[n+N]+a_{1}y_{0}[n+N-1]+...+a_{N}y_{0}[n]=0\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f47806f0d4766ce1619bf8848caf505cb73291e)
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bdb5520d800bc410726f194382d9c6429beae0)
- onde os
's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Para
raízes repetidas:
![{\displaystyle \left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879292fd3efebd76fe3c7871843b05b7e6c6a5d4)
- e a resposta de entrada nula será:
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d6aa801c8bb09cc71c1ae146f1f684b270f1ed)
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
e ![{\displaystyle \gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56ac21e6e59ea7296b03d1aea30764219cd08be)
- E a resposta de entrada nula será
![{\displaystyle y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6530515453e6d5d8b2970bc32242862920643e)
- Para um sistema real
e ![{\displaystyle c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d55131818818a0ef57b18f4738f39183f77c55)
- E então:
![{\displaystyle y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4819fe9451c8938ca5714136f2be518b65be55)
- Nomenclatura:
= polinônio característico do sistema
= equação característica do sistema
= raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
= modos característicos ou modos naturais do sistema
= resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Slides da aula
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
Resposta ao Impulso
- Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema
é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso
.
- Ou:
![{\displaystyle Q\left[E\right]h[n]=P\left[E\right]\delta [n]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327be95aa42b8e6df877e9fe659b974c03d0465d)
- Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:
![{\displaystyle h[-1]=h[-2]=...=h[-N]=0_{}^{}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2922e98f1b5e667bf56f93e8469a7012fb2afc3)
- A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bdb5520d800bc410726f194382d9c6429beae0)
- onde os
's são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais
- Para
raízes repetidas:
![{\displaystyle \left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879292fd3efebd76fe3c7871843b05b7e6c6a5d4)
- e a resposta de entrada nula será:
![{\displaystyle y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d6aa801c8bb09cc71c1ae146f1f684b270f1ed)
- Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:
e ![{\displaystyle \gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56ac21e6e59ea7296b03d1aea30764219cd08be)
- E a resposta de entrada nula será
![{\displaystyle y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6530515453e6d5d8b2970bc32242862920643e)
- Para um sistema real
e ![{\displaystyle c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d55131818818a0ef57b18f4738f39183f77c55)
- E então:
![{\displaystyle y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4819fe9451c8938ca5714136f2be518b65be55)
- Nomenclatura:
= polinônio característico do sistema
= equação característica do sistema
= raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
= modos característicos ou modos naturais do sistema
= resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos
- Slides da aula
- Exercícios (Lathi)
* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios
teste
teste2
teste
Materiais PSD de semestres anteriores
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Listas de Exercício
- Pelo menos 3 exercícios diferentes de cada seção devem ser entregues resolvidos.
- Os desafios não precisam ser entregues, faça se quiser
- Faça os seguintes exercícios: a) Da Seção 3.1 (3 ex), b) 3.2-3, c) 3.3.1 (a||b||c||d) e (e) 3.3.2 (b||c||d||e);
- Seção 3.1: 1, 2, 4, 5
- Seção 3.2: 1, 2, 3, 4
- Seção 3.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Seção 3.4: 1, 2, 3, 4, 7, 8
- Seção 3.5: 1, 2, 3, 4, 5
- Seção 3.6: 1, 2, 3, 4, 5, 7
- Seção 3.7: 1, 2, 3
- Seção 3.8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18
- media:Ex3.5-5.pdf
- Seção 5.1: 4, 5, 6,
- Seção 5.2: 1, 2, 3, 4, 5, 9
- Seção 5.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 , [25*]
Avaliações
- Avaliação P1 - Analise no tempo de LDIT (26/10/2011)
- Avaliação P2 - Transformada Z (08/12/2011)
- Avaliação P3 - Entrega do Projeto de Filtros Digitais (20/12/2011 - 20h00) em .pdf por email.
- Avaliação de recuperação P1 e P2 (22/12/2011)
- Nas avaliações o aluno tem direito a consulta ao livro texto e a 1 folha resumo manuscrita tamanho A4 (sem exercicios resolvidos).
Alguns assuntos correlatos
Links de auxílio
Erratas e Códigos .m
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Grade do Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações
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