Transformação Invariante ao Impulso

A função de transferência do filtro analógico

$H_a(s)=\frac{c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+...+c_m{s}^m}{d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+...+d_n{s}^n}$ onde $m\le n$

pode ser expandida em frações parciais, considerando $p_k$ os polos não múltiplos de $H_a(s)$:

$H_a(s)=\sum _{k=1}^K\left(\frac{r_k}{s-p_k}\right)$

dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente

$\frac{1}{s-\alpha }⟷e^{\alpha t}\cdot u(t)$

a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:

$\frac{r_k}{s-p_k}⟷r_k{e}^{p_{k}t}\cdot u(t)$

e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por

$h_a(t)=\sum _{k=1}^K(r_k{e}^{p_{k}t}\cdot )u(t)$

Amostrando $h_a(t)$ periodicamente em um período $T$, é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.

$h_d(n)=h_a(nT)=\sum _{k=1}^K(r_k{e}^{p_{k}nT}\cdot )u(nT)$

Considerando o par de transformada Z

$a^n\cdot u[n]⟷\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$

ou

$a^n\cdot u[n]⟷\frac{z}{z-a}$

considerando

$a=e^{p_{k}T}$

obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :$z=e^{sT}$

$H_d(z)=\sum _{k=1}^K{r}_k\frac{1}{1-e^{p_{k}T}{z}^{-1}}$

ou

$H_d(z)=\sum _{k=1}^K{r}_k\frac{z}{z-e^{p_{k}T}}$

Portanto cada polo $p_k$ do filtro analógico é transformado em um polo $a=-e^{p_{k}T}$ no filtro digital.

Importante

Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.