A função de transferência do filtro analógico
onde ![{\displaystyle m\leq n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0017737947454c2911336b2d038c91f5a7a70bc0)
pode ser expandida em frações parciais, considerando
os polos não múltiplos de
:
![{\displaystyle H_{a}(s)=\sum _{k=1}^{K}\left({\frac {r_{k}}{s-p_{k}}}\right)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39141c42023a0a9acb24cfc19c50ec0ad372687a)
dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente
![{\displaystyle {1 \over s-\alpha }\longleftrightarrow e^{\alpha t}\cdot u(t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912952e451c7ca4932b82b24b4bd813d4b04d39c)
a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:
e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por
![{\displaystyle h_{a}(t)=\sum _{k=1}^{K}\left(r_{k}e^{p_{k}t}\cdot \right)u(t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d92a508319b837430e508531777d12059d9978)
Amostrando
periodicamente em um período
, é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.
![{\displaystyle h_{d}(n)=h_{a}(nT)=\sum _{k=1}^{K}\left(r_{k}e^{p_{k}nT}\cdot \right)u(nT)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f217ad226d962ae34375a170210137528966b86)
Considerando o par de transformada Z
![{\displaystyle a^{n}\cdot u[n]\longleftrightarrow {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf0b3396ec61a365fea5fe460c22c23b66f5198)
ou
![{\displaystyle a^{n}\cdot u[n]\longleftrightarrow {\frac {z}{z-a}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7929b73e9af273f9c238ffb9257ec448afa3d6d3)
considerando
![{\displaystyle a=e^{p_{k}T}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d93febef6024d0e6d1c75f5b6add89b1ca507c)
obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :
![{\displaystyle H_{d}(z)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}{\frac {1}{1-e^{p_{k}T}z^{-1}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8768a1828e6b088ab821d9547746ebb249bb8f1d)
ou
![{\displaystyle H_{d}(z)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}{\frac {z}{z-e^{p_{k}T}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb6c226fa60d3aa4921f176014b518164c8da09)
Portanto cada polo
do filtro analógico é transformado em um polo
no filtro digital.
- Importante
Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.