Transformadas de Fourier

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo

• Ambos sinais são não periódicos.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}$ continua em uma variável complexa $\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}$ contínua.

$\mathrm{x}\mathrm{:}\mathbb{ℝ}\mathrm{\to }\mathbb{ℂ}$.

$$\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}\mathrm{\equiv }{ℱ}\mathrm{\{}\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}\mathrm{\}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\mathrm{-}\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{j}\mathrm{\Omega }\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{t}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}$ contínua em uma variável real $\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}$ continua.

$\mathrm{X}\mathrm{:}\mathbb{ℂ}\mathrm{\to }\mathbb{ℝ}$.

$$\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}\mathrm{\equiv }{{ℱ}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\{}\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}\mathrm{\}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{2\pi }\underset{\mathrm{-}\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{j}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\Omega }\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$$

2 Transformada de Fourier no tempo discreto

• O sinais $\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}$ é contínuo e periódico em $\mathrm{2}\mathrm{\pi }$.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\omega }\mathrm{)}$ frequência contínua periódica.

$\mathrm{x}\mathrm{:}\mathbb{ℝ}\mathrm{\to }\mathbb{ℂ}$.

$$\mathrm{X}\mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\omega }}\mathrm{)}\mathrm{\equiv }{ℱ}\mathrm{\{}\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}\mathrm{\}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{\mathrm{n}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{j}\mathrm{\omega }\mathrm{n}}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm{X}\mathrm{(}\mathrm{\omega }\mathrm{)}$ de frequência contínua periódica em uma variável real $\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}$ continua.

$\mathrm{X}\mathrm{:}\mathbb{ℂ}\mathrm{\to }\mathbb{ℝ}$.

$$\mathrm{x}\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}\mathrm{\equiv }{{ℱ}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\{}\mathrm{X}\mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\omega }}\mathrm{)}\mathrm{\}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{2\pi }\underset{\mathrm{-}\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}\mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\omega }}\mathrm{)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\omega }\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{\omega }$$