Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 00h09min de 19 de novembro de 2020

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

O sinal $x (t)$ é contínuo no tempo, e o sinal $X (j Ω)$ é contínuo na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (t)$ de tempo continuo em uma variável complexa $X (j Ω)$ de frequência contínua.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (j Ω) \equiv ℱ {x (t)} \overset{d e f}{=} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j Ω t} d t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (j Ω)$ de frequência contínua em uma variável real $x (t)$ de tempo continuo.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (t) \equiv ℱ^{- 1} {X (j Ω)} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j Ω) e^{j Ω t} d Ω

A transformada de Fourier

X (j Ω)

, por simplificação é muitas vezes representada apenas por

X (Ω)

ou

X (ω)

, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.

Figura 1 - Sinal

x (t)

e sua transformada de Fourier

X (Ω)

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG

Introdução a Transformada de Fourier	Existência da Transformada Fourier	Transformada de Fourier: Propriedades 1	Transformada de Fourier: Propriedades 2	Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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2 Transformada Z

A transformada Z de um sinal de tempo discreto $x (n)$ é a função $X (z)$ definida como

X (z) = Z {x (n)} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) z^{- n}

onde

n

é um inteiro;

z = A e^{j ϕ}

é um número complexo, com

A

sendo sua magnitude, e

ϕ

sua frequência angular (em radianos por amostra).

A transformada Z inversa é

x (n) = Z^{- 1} {X (z)} = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} X (z) z^{n - 1} d z

onde $C$ é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de $X (z)$ .

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo, e o sinal $X (Ω)$ é contínuo e periódico em $2 π$ .

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (e^{j ω})$ frequência contínua periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j ω}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (e^{j ω})$ de frequência contínua periódica em uma variável real $x (n)$ continua.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j ω})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

Como a transformada de Fourier $X (e^{j ω})$ é periódica com período $2 π$ , pois $X (e^{j ω}) = X (e^{j (ω + 2 π k)})$ , para $k \in ℤ$ , ela pode ser calculada em qualquer faixa de $2 π$ , por exemplo $ω \in [- π, π)$ .

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j ω})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

Figura 2 - Sinal discreto

x (n)

e sua TFDT

X (e^{j ω})

Fonte: Elaborado pelo autor.

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

O sinal $x (t)$ é contínuo e periódico no tempo (com período $T$ ) , e o sinal $X (k)$ é discreto na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (t)$ de tempo continuo em uma variável complexa $X (k)$ de frequência discreta.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (k) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j (2 π / T) k t)} d t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (k)$ de frequência contínua em uma variável real $x (t)$ de tempo continuo.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (k) e^{j (2 π / T) k t)}

A série de Fourier

X (k)

, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas

e^{- j ω t}

, onde

ω = (2 π / T) k

. Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.

Figura 3 - Sinal

x (t)

periódico e sua série de Fourier

X (Ω)

Arquivo:SerieFourierPlot.png Fonte: Elaborado pelo autor.

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

Discrete Fourier Transform (DFT).

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $2 π$ de $ω$ :

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $ω$ em N amostras entre 0 e $2 π$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $ω_{k} = (2 π / N) k$ com $k \in ℤ$ , and $0 \leq k \leq N - 1$ , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

X^{'} (e^{j ω}) = X (e^{j ω}) \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - \frac{2 π}{N} k)

.

X^{'} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j \frac{2 π}{N} k n}

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

x^{'} (n) = ℱ^{- 1} {X^{'} (e^{j ω})} = x (n) * (\frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} δ (n - N p)) = \frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} x (n - N p)

.

O que mostra que o sinal Esse sinal $x^{'} (n)$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $x (n)$ original.

Note que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $X (e^{j ω})$ original.
Se o comprimento L o sinal do $x (n)$ for maior que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
Por outro lado, se $L \leq N$ então $x^{'} (n)$ é a repetição periódica exata de $x (n)$ .

x (n) = \frac{2 π}{N} x^{'} (n)

, para

0 \leq n \leq N - 1

ou

x (n) = \frac{2 π}{N} x^{'} (n) [u (n) - u (n - N)

.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $x (n)$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

5.2 TDF e TDFI

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $X (e^{j (2 π / N) k})$ ou $X (k)$ discreto e periódico em $2 π$ .

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $ω_{k} = (2 π / N) k$ em:

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

X (e^{j (2 π / N) k}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $0 \leq k \leq N - 1$ . Assim obtém-se

A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ frequência discreta periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j (2 π / N) k}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq k \leq N - 1

A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ de frequência discreta periódica em uma variável real $x (n)$ discreta.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j (2 π / N) k})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (e^{j (2 π / N) k}) e^{j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq n \leq N - 1

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $x (n)$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $x (n)$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:

X (k) = X (e^{j (2 π / N) k})

,

definir a frequência fundamental $ω_{N}$ como:

ω_{N} = e^{- j 2 π / N}

então

e^{j (2 π / N) k} = ω_{N}^{k}

Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo $z$ .

Alguns valores de $ω_{N}$ que ajudam a lembrar as simplificações:

ω_{1} = e^{- j 2 π} = + 1

ω_{- 1} = e^{j 2 π} = + 1

ω_{2} = e^{- j π} = - 1

ω_{- 2} = e^{j π} = - 1

ω_{4} = e^{- j π / 2} = - j

ω_{- 4} = e^{j π / 2} = + j

Também é importante lembrar que se $N$ é múltiplo de $k$ então:

ω_{N}^{k} = e^{- j (2 π / N) k} = e^{- j 2 π / (N / k)} = ω_{N / k}

Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:

Equação de análise: $X (k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) ω_{N}^{k n}$ , para $0 \leq k \leq N - 1$

Equação de síntese: $x (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (k) ω_{N}^{- k n}$ , para $0 \leq n \leq N - 1$

Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a $N^{2}$ multiplicações e $N (N - 1)$ somas, sendo portanto um algoritmo de $O (N^{2})$ .

5.4 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da TDF, obtendo ordens de $O (l o g N \times N)$ .

Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington

The Discrete Fourier Transform (DFT)	Computing the DFT Matrix	The Fast Fourier Transform (FFT)	The Fast Fourier Transform Algorithm
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6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:

S_{n} = = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} a_{1} q^{i - 1}

Caso $q \neq 1$ , a soma pode ser descrita por:

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}

@@ Linha 159: / Linha 159: @@
 Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
-;Simplificação da notação:
+=== Equação simplificada da TDF e TDFI===
-Para simplificar a notação é podemos utilizar:
+Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:
-:<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> para a frequência discreta periódica.
+:<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math>,
-E ainda definir:
-:<math> \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ </math> como a frequência fundamental
-Essa  frequência pode ser representada como uma posição no circulo unitário do plano complexo :<math> z \ </math>.
+definir a frequência fundamental <math> \omega_N \ </math> como:
+:<math> \omega_N = e^{-j2 \pi /N} \ </math>
-Alguns valores de <math> \mathrm{W_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações:
+então
-:<math> \mathrm{W_1 = e^{-j2 \pi}} = +1 \ </math>
+:<math> e^{j(2 \pi /N)k} = \omega_N^k \ </math>
-:<math> \mathrm{W_{-1} = e^{j2 \pi}} = +1 \ </math>
-:<math> \mathrm{W_2 = e^{-j \pi}} = -1 \ </math>
+Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo <math> z \ </math>.
-:<math> \mathrm{W_{-2} = e^{j \pi}} = -1 \ </math>
-:<math> \mathrm{W_4 = e^{-j \pi/2}} = -j \ </math>
+Alguns valores de <math> \omega_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações:
-:<math> \mathrm{W_{-4} = e^{j \pi/2}} = +j \ </math>
+:<math> \omega_1 = e^{-j2 \pi} = +1 \ </math>
+:<math> \omega_{-1} = e^{j2 \pi} = +1 \ </math>
+:<math> \omega_2 = e^{-j \pi} = -1 \ </math>
+:<math> \omega_{-2} = e^{j \pi} = -1 \ </math>
+:<math> \omega_4 = e^{-j \pi/2} = -j \ </math>
+:<math> \omega_{-4} = e^{j \pi/2} = +j \ </math>
 Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de  <math> k \ </math> então:
-::<math> \mathrm{W_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = W_{N/k}} \ </math>
+::<math> \omega_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = \omega_{N/k} \ </math>
 Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
+;Equação de análise:
+:<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) \omega_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
-:<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
+;Equação de síntese:
+:<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) \omega_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
-:<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) W_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
-Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>.
+Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>.
 === Transformada Rápida de Fourier (FFT) ===

Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 00h09min de 19 de novembro de 2020

Índice

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada Z

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

5.2 TDF e TDFI

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

5.4 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

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Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 00h09min de 19 de novembro de 2020

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada Z

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

5.2 TDF e TDFI

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

5.4 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

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