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| ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | | ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== |
| Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : | | Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : |
− | :<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> | + | :<math>\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> |
| + | |
| Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente: | | Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente: |
− | :<math display="block">\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>. | + | |
| + | :<math>\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>. |
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| O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução: | | O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução: |
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− | :<math display="block">\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} = | + | :<math>\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} = |
| x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) = | | x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) = |
| \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)} | | \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)} |
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| *Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original. | | *Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original. |
| *Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>. | | *Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>. |
− | :<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> ou | + | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> ou |
− | :<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} [u(n)- u(n-N) \ </math>. | + | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} [u(n)- u(n-N) \ </math>. |
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| Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. | | Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. |
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
, para
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
, para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é frequente utilizar:
- para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
o qual representa um segmento do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
, para
, para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de .
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: