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| ==Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)== | | ==Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)== |
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− | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo em uma variável complexa <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> de frequência contínua. | + | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo em uma variável complexa <math> \mathrm{X(j \Omega)} </math> de frequência contínua. |
| :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. |
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| :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | | :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. |
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− | :<math display="block">\mathrm{X(\Omega) \equiv \mathcal{F}\{x(t)\}\ | + | :<math display="block">\mathrm{X(j \Omega) \equiv \mathcal{F}\{x(t)\}\ |
| \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ | | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ |
| e^{-j\Omega t} \operatorname{d} \! t}</math> | | e^{-j\Omega t} \operatorname{d} \! t}</math> |
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− | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> de frequência contínua em uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo. | + | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(j \Omega)} </math> de frequência contínua em uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo. |
| :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. |
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| :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | | :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. |
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− | :<math display="block">\mathrm{x(t) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(\Omega)\}\ | + | :<math display="block">\mathrm{x(t) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(j \Omega)\}\ |
| \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j \Omega)\ | | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j \Omega)\ |
| e^{j\Omega t} \operatorname{d} \! \Omega}</math> | | e^{j\Omega t} \operatorname{d} \! \Omega}</math> |
| + | |
| + | :A transformada de Fourier <math> \mathrm{X(j \Omega)} </math>, por simplificação é muitas vezes representada apenas por <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> ou <math> \mathrm{X( \omega)} </math>, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano '''s'''. |
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| ==Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)== | | ==Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)== |
Edição das 08h51min de 17 de novembro de 2020
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo continuo em uma variável complexa
de frequência contínua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(j\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e853c598ef08c8c929a7d36a2d5edb86da8c3d)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua em uma variável real
de tempo continuo.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(j\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73403c5442554e3cca8a1a3d65aa90941923cd5)
- A transformada de Fourier
, por simplificação é muitas vezes representada apenas por
ou
, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal
é discreto no tempo, e o sinal
é contínuo e periódico em
.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência contínua periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead240740c78145db36922dc995013e104d99033)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua periódica em uma variável real
continua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d785cc49f67a3c4b49f32bf8a2b15585b819309f)
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em
de
:
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4de9a45e47a991d44a93387985800a43014ab1)
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência
em N amostras entre 0 e
é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências
com
, and
, obtemos o espectro amostrado uniformemente:
![{\displaystyle \mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34649cb0701d9270577923828c4f0498d2f27cc)
.
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
![{\displaystyle \mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32984501634fb57348df80435ecb090f3e741709)
.
O que mostra que o sinal Esse sinal
são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto
original.
- Note que N o período de repetição do sinal
é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD
original.
- Se o comprimento L o sinal do
for maior que N o período de repetição do sinal
, haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se
então
é a repetição periódica exata de
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bfe93c6cbb544f2ea384d233b13b86dde2fbab)
, para
ou
![{\displaystyle \mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} [u(n)-u(n-N)\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e203533086859898f4fb554afa4ce0c1ef46d3)
.
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo
a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal
é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal
discreto e periódico em
.
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em
em:
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4de9a45e47a991d44a93387985800a43014ab1)
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb4acc1db7873e79ddf191bbda97b620f6bac71)
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para
. Assim obtém-se
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência discreta periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ca6656394455bd3e22d4d17b34a63138b3886c)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq k\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62546c1f2d40d8f67fd5811c6dc4c1026e4b932f)
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência discreta periódica em uma variável real
discreta.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j(2\pi /N)k})\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(2\pi /N)k})\ e^{j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e764e33bd609b364549b334ef77034aa0a40da)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq n\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3b6990577482ad48c8d10dc2961a3c7107f902)
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de
for menor que o período de repetição N, é necessário que
seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é frequente utilizar:
para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
![{\displaystyle \mathrm {W_{N}=e^{-j2\pi /N}} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcdcf1c95585c2e687a62398592a367d2be8f8c)
o qual representa um segmento
do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:
![{\displaystyle \mathrm {W_{1}=e^{-j2\pi }} =+1\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0865593ba05efe16406ce0ea2cb0906e204f875)
![{\displaystyle \mathrm {W_{-1}=e^{j2\pi }} =+1\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c69b7a8773363e1fb805de8c9988bc576454575)
![{\displaystyle \mathrm {W_{2}=e^{-j\pi }} =-1\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d92c4ad866c8dd3cd50a2273a28c9fdc0b6e4e)
![{\displaystyle \mathrm {W_{-2}=e^{j\pi }} =-1\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288b5928d5413e4f53a83b984093ede2c2d216f2)
![{\displaystyle \mathrm {W_{4}=e^{-j\pi /2}} =-j\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d40261465e8455061205dafe681527cb6b7411d)
![{\displaystyle \mathrm {W_{-4}=e^{j\pi /2}} =+j\ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f937c4fd85a61309f87d26ae3847d2a67fce2e3)
Também é importante lembrar que se
é múltiplo de
então:
![{\displaystyle \mathrm {W_{N}^{k}=e^{-j(2\pi /N)k}=e^{-j2\pi /(N/k)}=W_{N/k}} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb33fa01ff5c58f8c3828e55ce95f4976b119d5c)
Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
![{\displaystyle \mathrm {X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc991e6960d3a4b71a6ca8f44adb1c9640a8b0)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq k\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62546c1f2d40d8f67fd5811c6dc4c1026e4b932f)
![{\displaystyle \mathrm {x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622192e649fb24ef174bc65057356f4d39a0bd)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq n\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3b6990577482ad48c8d10dc2961a3c7107f902)
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a
multiplicações e
somas, sendo portanto um algoritmo de
.
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de
.
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
![{\displaystyle S_{n}==a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3749a8a8cd2640813dd0a20148d3c56cd020e1d)
Caso
, a soma pode ser descrita por:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d0491382e2119527192147c5d8161d4dd2c2fc)