Transformação Invariante ao Impulso

A função de transferência do filtro analógico

$H_{a}(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}}$ onde $m\leq n$

pode ser expandida em frações parciais, considerando $p_{k}$ os polos não múltiplos de $H_{a}(s)$:

$H_{a}(s)=\sum _{k=1}^{K}\left({\frac {r_{k}}{s-p_{k}}}\right)$

dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente

${1 \over s-\alpha }\longleftrightarrow e^{\alpha t}\cdot u(t)$

a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:

${\frac {r_{k}}{s-p_{k}}}\longleftrightarrow r_{k}e^{p_{k}t}\cdot u(t)$

e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por

$h_{a}(t)=\sum _{k=1}^{K}\left(r_{k}e^{p_{k}t}\cdot \right)u(t)$

Amostrando $h_{a}(t)\$ periodicamente em um período $T\$, é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.

$h_{d}(n)=h_{a}(nT)=\sum _{k=1}^{K}\left(r_{k}e^{p_{k}nT}\cdot \right)u(nT)$

Considerando o par de transformada Z

$a^{n}\cdot u[n]\longleftrightarrow {\frac {1}{1-az^{-1}}}$

ou

$a^{n}\cdot u[n]\longleftrightarrow {\frac {z}{z-a}}$

considerando

$a=e^{p_{k}T}$

obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :$z=e^{sT}\$

$H_{d}(z)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}{\frac {1}{1-e^{p_{k}T}z^{-1}}}$

ou

$H_{d}(z)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}{\frac {z}{z-e^{p_{k}T}}}$

Portanto cada polo $p_{k}\$ do filtro analógico é transformado em um polo $a=e^{p_{k}T}\$ no filtro digital

Método de transformação digital

O método de transformação do filtro analógico em digital consiste básica de:

1) fazer a expansão em frações parciais da função de transferência $H_{a}(s)\$

2) calcular os polos $e^{p_{k}T}\$ da função de transferência $H_{d}(z)\$

3) obter a divisão de polinômios para $H_{d}(z)={\frac {num(z)}{den(z)}}\$, para obter os coeficientes do filtro digital.

Importante

• Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.
• A dedução acima considerou apenas polos não múltiplos, e necessita de pequenos ajustes no caso da existência de polos múltiplos (situação raramente encontrada em filtros analógicos).