Transformação Bilinear: mudanças entre as edições

Edição das 16h39min de 12 de setembro de 2019

1 Discretização de filtros analógicos

A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por

s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} .

O mapeamento inverso $H_{d} (z)$ em $H_{a} (s)$ é feita por

é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência

\ln (z) = 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2 k + 1} {(\frac{z - 1}{z + 1})}^{2 k + 1} .

Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de $z = e^{s T}$

Demonstração
$\begin{aligned} s & = \frac{1}{T} \ln (z) \\ = \frac{2}{T} [\frac{z - 1}{z + 1} + \frac{1}{3} {(\frac{z - 1}{z + 1})}^{3} + \frac{1}{5} {(\frac{z - 1}{z + 1})}^{5} + \frac{1}{7} {(\frac{z - 1}{z + 1})}^{7} + \dots] \\ \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\ = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{- 1}}{1 + z^{- 1}} \end{aligned}$

Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) $H_{a} (s)$ em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) $H_{d} (z)$ , e vice-versa. O mapeamento da função $H_{a} (s)$ em $H_{d} (z)$ é feita por:

H_{d} (z) = H_{a} (s) |_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}} = H_{a} (\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}) .

O mapeamento inverso $H_{d} (z)$ em $H_{a} (s)$ é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição

\begin{aligned} z & = e^{s T} \\ = \frac{e^{s T / 2}}{e^{- s T / 2}} \\ \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \end{aligned}

2 Empenamento de frequência (frequency warping)

Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência $H_{a} (s)$ é avaliada em $s = j ω_{a} /$ , que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário $j ω$ . Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência $H_{d} (z)$ é avaliada em $z = e^{j ω_{d} T}$ , correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois $z = e^{j ω_{d} T}$ possui magnitude constante $| z | = 1$ .

A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado $ω_{d}$ deve ser projetada no filtro analógico $ω_{a}$ . Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de $z = e^{j ω_{d} T}$ na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.

H_{d} (z) = H_{a} (\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1})

H_{d} (e^{j ω_{d} T}) = H_{a} (j \frac{2}{T} \cdot \tan (ω_{d} T / 2)) = H_{a} (j ω_{a})

Demonstração

Considere que:

\begin{aligned} 2 \cos ω = e^{j ω} + e^{- j ω}, \\ 2 j \sin ω = e^{j ω} - e^{- j ω} . \end{aligned}

e que

\tan ω = \frac{\sin ω}{\cos ω}

, e

1 = e^{ω} e^{- ω}

É possível mostrar que:

$H_{d} (e^{j ω_{d} T})$	$= H_{a} (\frac{2}{T} \frac{e^{j ω_{d} T} - 1}{e^{j ω_{d} T} + 1})$
$H_{d} (e^{j ω_{d} T})$	$= H_{a} (\frac{2}{T} \frac{e^{j ω_{d} T / 2} e^{j ω_{d} T / 2} - e^{j ω_{d} T / 2} e^{- j ω_{d} T / 2}}{e^{j ω_{d} T / 2} e^{j ω_{d} T / 2} + e^{j ω_{d} T / 2} e^{- j ω_{d} T / 2}})$
	$= H_{a} (\frac{2}{T} \cdot \frac{e^{j ω_{d} T / 2} (e^{j ω_{d} T / 2} - e^{- j ω_{d} T / 2})}{e^{j ω_{d} T / 2} (e^{j ω_{d} T / 2} + e^{- j ω_{d} T / 2})})$
	$= H_{a} (\frac{2}{T} \cdot \frac{(e^{j ω_{d} T / 2} - e^{- j ω_{d} T / 2})}{(e^{j ω_{d} T / 2} + e^{- j ω_{d} T / 2})})$
	$= H_{a} (\frac{2}{T} \cdot \frac{2 j \sin (ω_{d} T / 2)}{2 \cos (ω_{d} T / 2)})$
	$= H_{a} (j \frac{2}{T} \cdot \tan (ω_{d} T / 2))$

Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:

ω_{a} = \frac{2}{T} \tan (ω_{d} \frac{T}{2})

Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico

- \infty < ω_{a} < + \infty

é mapeada no filtro digital no intervalo limitado

- \frac{π}{T} < ω_{d} < + \frac{π}{T} .

3 FONTES

Continuous-Discrete Conversion Methods Tustin Approximation Mathworks

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 == Empenamento de frequência (''frequency warping'') ==
-Determinar a resposta de frequencia em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em  <math>s = j \omega_a /  </math>, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário <math> j \omega </math>.  Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência <math> H_d(z) </math> é avaliada em <math>z = e^{ j \omega_d T} </math>, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário  pois <math>z = e^{ j \omega_d T} </math> possui magnitude constante <math> |z| = 1 </math>.
+Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em  <math>s = j \omega_a /  </math>, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário <math> j \omega </math>.  Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência <math> H_d(z) </math> é avaliada em <math>z = e^{ j \omega_d T} </math>, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário  pois <math>z = e^{ j \omega_d T} </math> possui magnitude constante <math> |z| = 1 </math>.
 A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado  <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>.  Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno].
@@ Linha 48: / Linha 48: @@
 Considere que:
 :<math>\begin{align}
-\cos \omega = \frac{e^{i\omega} + e^{-i\omega}}{2}, \\
+\cos \omega = e^{j\omega} + e^{-j\omega}, \\
-\sin \omega = \frac{e^{i\omega} - e^{-i\omega}}{2i}.
+j \sin \omega = e^{j\omega} - e^{-j\omega}.
 \end{align}</math>
 e que
-<math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math>, e
+:<math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math>, e
-<math> 1 = {e^{j \omega}e^{-j \omega} </math>
+:<math> 1 = e^{\omega}e^{-\omega}  \ </math>
@@ Linha 63: / Linha 64: @@
 |<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math>
 |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega_d T} - 1}{e^{ j \omega_d T} + 1}\right) </math>
+|-
+|<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math>
+|<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{j \omega_d T/2}e^{j \omega_d T/2} - e^{j \omega_d T/2}e^{-j \omega_d T/2}}{e^{j \omega_d T/2}e^{j \omega_d T/2} + e^{j \omega_d T/2}e^{-j \omega_d T/2}}\right) </math>
 |-
 |
@@ Linha 71: / Linha 75: @@
 |-
 |
-|<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right) /(2j)}{\left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right) / 2}\right) </math>
+|<math>= H_a \left(\frac{2}{T} \cdot \frac{2j \sin(\omega_d T/2) }{2 \cos(\omega_d T/2) }\right) </math>
-|-
-|
-|<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \sin(\omega_d T/2) }{ \cos(\omega_d T/2) }\right) </math>
 |-
 |
@@ Linha 82: / Linha 83: @@
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-Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano ''z'' é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano ''s''. E que as  frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas:
+Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano ''z'' é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano ''s''. E que as  frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:
 :<math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math>
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 : <math> -\infty < \omega_a < +\infty  \ </math>
-São mapeadas no filtro digital no intervalo
+é mapeada no filtro digital no intervalo limitado
 : <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math>

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1 Discretização de filtros analógicos

2 Empenamento de frequência (frequency warping)

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