Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 19h51min de 1 de agosto de 2019

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (t)$ de tempo continuo em uma variável complexa $X (Ω)$ de frequência contínua.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (Ω) \equiv ℱ {x (t)} \overset{d e f}{=} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j Ω t} d t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (Ω)$ de frequência contínua em uma variável real $x (t)$ de tempo continuo.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (t) \equiv ℱ^{- 1} {X (Ω)} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j Ω) e^{j Ω t} d Ω

2 Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo, e o sinal $X (Ω)$ é contínuo e periódico em $2 π$ .

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (ω)$ frequência contínua periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j ω}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (ω)$ de frequência contínua periódica em uma variável real $x (n)$ continua.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j ω})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

3 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

3.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $2 π$ de $ω$ :

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $ω$ em N amostras entre 0 e $2 π$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $ω_{k} = (2 π / N) k$ com $k \in ℤ$ , and $0 \leq k \leq N - 1$ , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

X^{'} (e^{j ω}) = X (e^{j ω}) \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - \frac{2 π}{N} k)

.

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

x^{'} (n) = ℱ^{- 1} {X^{'} (e^{j ω})} = x (n) * (\frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} δ (n - N p)) = \frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} x (n - N p)

.

O que mostra que o sinal Esse sinal $x^{'} (n)$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $x (n)$ original.

Note que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $X (e^{j ω})$ original.
Se o comprimento L o sinal do $x (n)$ for maior que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
Por outro lado, se $L \leq N$ então $x^{'} (n)$ é a repetição periódica exata de $x (n)$ .

x (n) = \frac{2 π}{N} x^{'} (n)

, para

0 \leq n \leq N - 1

.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $x (n)$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

3.2 DFT e IDFT

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $X (e^{j (2 π / N) k})$ discreto e periódico em $2 π$ .

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $ω_{k} = (2 π / N) k$ em:

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

X (e^{j (2 π / N) k}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $0 \leq k \leq N - 1$ . Assim obtém-se

A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ frequência discreta periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j (2 π / N) k}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq k \leq N - 1

A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ de frequência discreta periódica em uma variável real $x (n)$ discreta.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j (2 π / N) k})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (e^{j (2 π / N) k}) e^{j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq n \leq N - 1

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $x (n)$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $x (n)$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

Simplificação da notação

Para simplificar a notação é frequente utilizar:

X (k) = X (e^{j (2 π / N) k})

para a frequência discreta periódica.

E ainda definir:

W_{N} = e^{- j 2 π / N}

o qual representa um segmento $1 / N$ do circulo unitário no plano complexo.

Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:

X (k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) W_{N}^{k n}

, para

0 \leq k \leq N - 1

x (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (k) W_{N}^{- k n}

, para

0 \leq n \leq N - 1

@@ Linha 65: / Linha 65: @@
 ===DFT e IDFT===
-*O sinal  <math> \mathrm{x(n)} </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(k)} </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} </math>.
+*O sinal  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>.
+Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em  <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math>   em:
+:<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math>
+:<math display="block">\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math>
+Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>.  Assim obtém-se
-;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> frequência discreta periódica.
+;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica.
 :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>.
@@ Linha 76: / Linha 80: @@
 e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
-;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\omega)} </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> discreta.
+;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta.
 :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>.
@@ Linha 85: / Linha 89: @@
 e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
-Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
+Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
 ;Simplificação da notação:
+Para simplificar a notação é frequente utilizar:
+:<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> para a frequência discreta periódica.
+E ainda definir:
+::<math> \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ </math>
+o qual representa um segmento <math> 1/N </math> do circulo unitário no plano complexo.
+Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
+:<math display="block">\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
+:<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) W_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>

Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 19h51min de 1 de agosto de 2019

Índice

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)

3 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

3.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

3.2 DFT e IDFT

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Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição das 19h51min de 1 de agosto de 2019

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)

3 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

3.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

3.2 DFT e IDFT

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