I - Definição: mudanças entre as edições

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Consideremos uma função ''y = f(x)'' definida no plano ''xy'' e vamos admitir que uma reta intercepte ''y = f(x)'' em um ponto ''P[c, f(c)]'' fixo e em um ponto <math>Q = [c + \Delta x,  f(c + \Delta x)]</math>. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada ''reta secante''. A inclinação ou coeficiente angular ''m'' desta reta secante pode ser dada por
Consideremos uma funçã<math>Inserir fórmula aqui</math>o ''y = f(x)'' definida no plano ''xy'' e vamos admitir que uma reta intercepte ''y = f(x)'' em um ponto ''P[c, f(c)]'' fixo e em um ponto <math>Q = [c + \Delta x,  f(c + \Delta x)]</math>. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada ''reta secante''. A inclinação ou coeficiente angular ''m'' desta reta secante pode ser dada por


         <math>m = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{c + \Delta x - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}.</math>
         <math>m = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{c + \Delta x - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}.</math>
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         <math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0} [3x^2 + 3x(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2] = 3x^2 + 2.</math>
         <math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0} [3x^2 + 3x(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2] = 3x^2 + 2.</math>


<math>\int_0^\pi sin(\alpha)\,d\alpha=[-cos(\alpha)]\Bigg|_0^\pi=2</math>




         <math>\frac{1}{R}\left\int_0^R\right \frac{2mL}{\sqrt{(L^2+r^2)^3}}dr</math>
 
         <math>\frac{1}{R}\int_0^R\frac{2mL}{\sqrt{(L^2+r^2)^3}}dr</math>

Edição das 15h58min de 15 de agosto de 2008

Consideremos uma funçãFalhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Inserir fórmula aqui} o y = f(x) definida no plano xy e vamos admitir que uma reta intercepte y = f(x) em um ponto P[c, f(c)] fixo e em um ponto Q=[c+Δx,f(c+Δx)]. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada reta secante. A inclinação ou coeficiente angular m desta reta secante pode ser dada por

       m=f(c+Δx)f(c)c+Δxc=f(c+Δx)f(c)Δx.

Agora, admitindo o ponto P fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto P. Ao rotacionar a reta secante, os valores de (x,y) correspondentes ao ponto Q vão se aproximando dos valores de (x,y) correspondentes ao ponto P. Esta condição limite é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que Q se aproxima de P, o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.

Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção Δx vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, Δx tende a zero.

Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado Δx tende a zero, ou seja,

       m=limΔx0f(c+Δx)f(c)c+Δxc=f(c+Δx)f(c)Δx.

Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de f(x)=x2+1 nos pontos (0,1) e (-1,2).

Solução: Aplicando a definição recém obtida e admitindo x = c, temos:

* Para o ponto (0,1):

m=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx

       =limΔx0(x+Δx)2+1x21Δx
       =limΔx0x2+2x(Δx)+(Δx)2+1x21Δx
       =limΔx02x(Δx)+(Δx)2Δx
       =limΔx02x+Δx=2x=2(0)=0.

* Para o ponto (-1,2):

       m=2x=2(1)=2.

Obs.: Você deve ter notado que para o ponto (-1,2) não foi preciso desenvolver todo o cálculo do limite, visto que a expressão para o coeficiente angular já tinha sido obtida para calcular o valor no ponto (0,1) - m = 2x.

Este exemplo foi aplicado a uma função não-linear, mas nada impede de esta definição ser aplicada a outros tipos de funções.

Através do cálculo do limite no exemplo dado, foi obtida a função linear f(x) = 2x que tangencia a curva y=x2+1 em qualquer ponto no plano x,y. Dizemos que esta reta é uma função derivada da função y=x2+1, portanto, a definição de inclinação da reta tangente à curva em um ponto (x,y) arbitrário pode ser aplicada às funções derivadas.

       dydx=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx.

Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x3+2x

Solução:

dydx=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx

       =limΔx0(x+Δx)3+2(x+Δx)x32xΔx
       =limΔx03x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3+2ΔxΔx
       =limΔx0Δx[3x2+3xΔx+(Δx)2+2]Δx
       =limΔx0[3x2+3x(Δx)+(Δx)2+2]=3x2+2.



       1R0R2mL(L2+r2)3dr