I - Definição

Consideremos uma função y = f(x) definida no plano xy e vamos admitir que uma reta intercepte y = f(x) em um ponto P[c, f(c)] fixo e em um ponto $Q=[c+\Delta x,f(c+\Delta x)]$. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada reta secante. A inclinação ou coeficiente angular m desta reta secante pode ser dada por

       $m={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{c+\Delta x-c}}={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}}.$

Agora, admitindo o ponto P fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto P. Ao rotacionar a reta secante, os valores de (x,y) correspondentes ao ponto Q vão se aproximando dos valores de (x,y) correspondentes ao ponto P. Esta condição limite é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que Q se aproxima de P, o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.

Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção $\Delta x$ vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, $\Delta x$ tende a zero.

Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado $\Delta x$ tende a zero, ou seja,

       $m=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{c+\Delta x-c}}={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}}.$

Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de $f(x)=x^{2}+1$ nos pontos (0,1) e (-1,2).

Solução: Aplicando a definição recém obtida e admitindo x = c, temos:

* Para o ponto (0,1):

$m=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}+1-x^{2}-1}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x(\Delta x)+(\Delta x)^{2}+1-x^{2}-1}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {2x(\Delta x)+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x=2x=2(0)=0.$

* Para o ponto (-1,2):

       $m=2x=2(-1)=-2.$

Obs.: Você deve ter notado que para o ponto (-1,2) não foi preciso desenvolver todo o cálculo do limite, visto que a expressão para o coeficiente angular já tinha sido obtida para calcular o valor no ponto (0,1) - m = 2x.

Este exemplo foi aplicado a uma função não-linear, mas nada impede de esta definição ser aplicada a outros tipos de funções.

Através do cálculo do limite no exemplo dado, foi obtida a função linear f(x) = 2x que tangencia a curva $y=x^{2}+1$ em qualquer ponto no plano x,y. Dizemos que esta reta é uma função derivada da função $y=x^{2}+1$, portanto, a definição de inclinação da reta tangente à curva em um ponto (x,y) arbitrário pode ser aplicada às funções derivadas.

       ${\frac {dy}{dx}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.$

Exemplo: Encontre a derivada de $f(x)=x^{3}+2x$

Solução:

${\frac {dy}{dx}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{3}+2(x+\Delta x)-x^{3}-2x}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}+2\Delta x}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x[3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}+2]}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}[3x^{2}+3x(\Delta x)+(\Delta x)^{2}+2]=3x^{2}+2.$