I - Definição

Consideremos uma função y = f(x) definida no plano xy e vamos admitir que uma reta intercepte y = f(x) em um ponto P[c, f(c)] fixo e em um ponto $Q=[c+\mathrm{\Delta }x,f(c+\mathrm{\Delta }x)]$. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada reta secante. A inclinação ou coeficiente angular m desta reta secante pode ser dada por

       $m=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{c+\mathrm{\Delta }x-c}=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Agora, admitindo o ponto P fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto P. Ao rotacionar a reta secante, os valores de (x,y) correspondentes ao ponto Q vão se aproximando dos valores de (x,y) correspondentes ao ponto P. Esta condição limite é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que Q se aproxima de P, o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.

Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção $\mathrm{\Delta }x$ vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, $\mathrm{\Delta }x$ tende a zero.

Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado $\mathrm{\Delta }x$ tende a zero, ou seja,

       $m=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{c+\mathrm{\Delta }x-c}=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de $f(x)=x^2+1$ nos pontos (0,1) e (-1,2).

Solução: Aplicando a definição recém obtida e admitindo x = c, temos:

* Para o ponto (0,1):

$m=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2+1-x^2-1}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{x^2+2x(\mathrm{\Delta }x)+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+1-x^2-1}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{2x(\mathrm{\Delta }x)+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}2x+\mathrm{\Delta }x=2x=2(0)=0.$

* Para o ponto (0,1):

       $m=2x=2(-1)=-2.$

Obs.: Você deve ter notado que para o ponto (-1,2) não foi preciso desenvolver todo o cálculo do limite, visto que a expressão para o coeficiente angular já tinha sido obtida para calcular o valor no ponto (0,1) - m = 2x.

Este exemplo foi aplicado a uma função não-linear, mas nada impede de esta definição ser aplicada a outros tipos de funções.

Através do cálculo do limite no exemplo dado, foi obtida a função linear f(x) = 2x que tangencia a curva $y=x^2+1$ em qualquer ponto no plano x,y. Dizemos que esta reta é uma função derivada da função $y=x^2+1$, portanto, a definição de inclinação da reta tangente à curva em um ponto (x,y) arbitrário pode ser aplicada às funções derivadas.

       $\frac{dy}{dx}=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Exemplo: Encontre a derivada de $f(x)=x^3+2x$

Solução:

$\frac{dy}{dx}=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^3+2(x+\mathrm{\Delta }x)-x^3-2x}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{3x^2\mathrm{\Delta }x+3x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3+2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }x[3x^2+3x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2]}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}[3x^2+3x(\mathrm{\Delta }x)+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2]=3x^2+2.$