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| {{fig|2|Sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} </math> e sua TFDT <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math>| TFDTPlot.png| 800 px |}} | | {{fig|2|Sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} </math> e sua TFDT <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math>| TFDTPlot.png| 800 px |}} |
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| + | ==Série de Fourier de tempo contínuo (SF)== |
| + | O sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> é contínuo e periódico no tempo, e o sinal <math> \mathrm{X(j\Omega)} </math> é discreto na frequência. |
| + | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo em uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> de frequência discreta. |
| + | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. |
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| + | :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. |
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| + | :<math> X(k)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j(2\pi/T)kt)}\mathrm{d}t</math> |
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| + | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(j \Omega)} </math> de frequência contínua em uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo. |
| + | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. |
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| + | :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. |
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| + | :<math>x(t)=\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(k)e^{j(2\pi/T)kt)}</math> |
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| + | :A transformada de Fourier <math> \mathrm{X(j \Omega)} </math>, por simplificação é muitas vezes representada apenas por <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> ou <math> \mathrm{X( \omega)} </math>, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano '''s'''. |
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| + | {{fig|1|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> e sua transformada de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| FourierPlot.png| 800 px |}} |
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| ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== | | ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== |
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Fonte: Elaborado pelo autor.
Série de Fourier de tempo contínuo (SF)
O sinal é contínuo e periódico no tempo, e o sinal é discreto na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência discreta.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
, para
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
, para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é frequente utilizar:
- para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
o qual representa um segmento do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
, para
, para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de .
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: