Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições
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:<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | ||
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\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\ | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\ | ||
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:<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | ||
:<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(k)\}\ | :<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j(2 \pi /N)k})\}\ | ||
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(k)\ | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(e^{j(2 \pi /N)k})\ | ||
e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | ||
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | ||
;Simplificação da notação: |
Edição das 18h07min de 1 de agosto de 2019
1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
2 Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
3 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
3.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
3.2 DFT e IDFT
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação