Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

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:<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>.  
:<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>.  


:<math display="block">\mathrm{X(k) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\  
:<math display="block">\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\  
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\  
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\  
e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
Linha 81: Linha 81:
:<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>.  
:<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>.  


:<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(k)\}\  
:<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j(2 \pi /N)k})\}\  
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(k)\  
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(e^{j(2 \pi /N)k})\  
e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>


Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
;Simplificação da notação:

Edição das 18h07min de 1 de agosto de 2019

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

A equação de análise
É uma transformação de um domínio de uma variável real x(t) de tempo continuo em uma variável complexa X(Ω) de frequência contínua.
 DTDF.
x:.
X(Ω){x(t)} =defx(t) ejΩtdt
A equação de síntese
É uma transformação de um domínio de uma variável complexa X(Ω) de frequência contínua em uma variável real x(t) de tempo continuo.
 DFDT.
X:.
x(t)1{X(Ω)} =def12πX(jΩ) ejΩtdΩ

2 Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)

  • O sinal x(n) é discreto no tempo, e o sinal X(Ω) é contínuo e periódico em 2π.
A equação de análise
É uma transformação de um domínio de uma variável real x(n) de tempo discreto em uma variável complexa X(ω) frequência contínua periódica.
 DTDF.
x:.
X(ejω){x(n)} =defn=x(n) ejωn
A equação de síntese
É uma transformação de um domínio de uma variável complexa X(ω) de frequência contínua periódica em uma variável real x(n) continua.
 DFDT.
X:.
x(n)1{X(ejω)} =def12πX(ejω) ejωndω

3 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

3.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em 2π de ω :

X(ejω)=n=x(n)ejωn

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência ω em N amostras entre 0 e 2π é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências ωk=(2π/N)k  com k , and 0kN1 , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

X(ejω)=X(ejω)k=δ(ω2πNk).

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

x(n)=1{X(ejω)}=x(n)*(N2πp=δ(nNp))=N2πp=x(nNp).

O que mostra que o sinal Esse sinal x(n)  são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto x(n)  original.

  • Note que N o período de repetição do sinal x(n)  é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD X(ejω)  original.
  • Se o comprimento L o sinal do x(n)  for maior que N o período de repetição do sinal x(n) , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
  • Por outro lado, se LN  então x(n)  é a repetição periódica exata de x(n) .
x(n)=2πNx(n) , para 0nN1 .

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo x(n)  a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

3.2 DFT e IDFT

  • O sinal x(n) é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal X(k) discreto e periódico em 2π.
A equação de análise (DFT)
É uma transformação de um domínio de uma variável real x(n) de tempo discreto em uma variável complexa X(k) frequência discreta periódica.
 DTDF.
x:.
X(ej(2π/N)k){x(n)} =defn=0N1x(n) ej(2π/N)kn , para 0kN1 
A equação de síntese (IDFT)
É uma transformação de um domínio de uma variável complexa X(ω) de frequência discreta periódica em uma variável real x(n) discreta.
 DFDT.
X:.
x(n)1{X(ej(2π/N)k)} =def1Nk=0N1X(ej(2π/N)k) ej(2π/N)kn , para 0nN1 

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de x(n) for menor que o período de repetição N, é necessário que x(n) seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

Simplificação da notação