Mudanças entre as edições de "Transformadas de Fourier"
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===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | ||
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : | Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : | ||
− | :<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) | + | :<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> |
− | + | Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente: | |
− | e^{-j\omega n}}</math> | + | :<math display="block">\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>. |
− | Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k} \ </math> com <math> \mathrm{0 \le | + | |
+ | O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução: | ||
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+ | :<math display="block">\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} = | ||
+ | x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) = | ||
+ | \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)} | ||
+ | </math>. | ||
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+ | O que mostra que o sinal Esse sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} \ </math> original. | ||
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+ | *Note que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} \ </math> original. | ||
+ | *Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original. | ||
+ | *Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>. | ||
+ | :<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>. |
Edição das 17h18min de 1 de agosto de 2019
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
- O sinal é discreto no tempo, e o sinal é discreto e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para .