Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(\Omega )}$ de frequência contínua.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(\Omega )}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega }$$

Transformada de Fourier no tempo discreto (DFTD)

• O sinal $\mathrm {x(n)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm {X(\Omega )}$ é contínuo e periódico em $\mathrm {2\pi }$.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(\omega )}$ frequência contínua periódica.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(\omega )}$ de frequência contínua periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)}$ continua.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }$$

Transformada de Discreta de Fourier (DFT)

• O sinal $\mathrm {x(n)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm {X(k)}$ é discreto e periódico em $\mathrm {2\pi }$.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(k)}$ frequência discreta periódica.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(k)\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{k=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(\omega )}$ de frequência discreta periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)}$ discreta.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(k)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)\ e^{j(2\pi /N)kn}}$$