Mudanças entre as edições de "Transformadas de Fourier"
(21 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas) | |||
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{{fig|1|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> e sua transformada de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| FourierPlot.png| 800 px |}} | {{fig|1|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> e sua transformada de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| FourierPlot.png| 800 px |}} | ||
+ | |||
+ | *Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG | ||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | ! Introdução a Transformada de Fourier | ||
+ | ! Existência da Transformada Fourier | ||
+ | ! Transformada de Fourier: Propriedades 1 | ||
+ | ! Transformada de Fourier: Propriedades 2 | ||
+ | ! Transformada de Fourier para Sinais Periodicos | ||
+ | |- | ||
+ | |{{#ev:youtube|vDSN2sLF3gM|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|9i3c1YkrDkI|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|EvnxPJKNOO4|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|AmeZHZRZTUw|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|2qsreRJgdaI|300}} | ||
+ | |} | ||
==Transformada Z == | ==Transformada Z == | ||
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onde <math> C \ </math> é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de <math>X(z)\, </math>. | onde <math> C \ </math> é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de <math>X(z)\, </math>. | ||
− | ==Transformada de Fourier | + | ==Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)== |
O sinal <math> \mathrm{x(n)} </math> é discreto no tempo, e o sinal <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> é contínuo e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} </math>. | O sinal <math> \mathrm{x(n)} </math> é discreto no tempo, e o sinal <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> é contínuo e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} </math>. | ||
− | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(\omega)} </math> frequência contínua periódica. | + | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math> frequência contínua periódica. |
:<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | ||
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e^{-j\omega n}}</math> | e^{-j\omega n}}</math> | ||
− | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\omega)} </math> de frequência contínua periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> continua. | + | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math> de frequência contínua periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> continua. |
:<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | ||
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e^{j\omega n} \operatorname{d} \omega}</math> | e^{j\omega n} \operatorname{d} \omega}</math> | ||
− | {{fig|2|Sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} </math> e sua TFDT <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| | + | Como a transformada de Fourier <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math> é periódica com período <math> \mathrm{2 \pi} </math>, pois <math> \mathrm{X(e^{j\omega}) = X(e^{j(\omega+2 \pi k)})} </math>, para <math>\mathrm{k \in \mathbb{Z}}</math>, ela pode ser calculada em qualquer faixa de <math> \mathrm{2 \pi} </math>, por exemplo <math> \mathrm{\omega \in [-\pi, \pi)} </math>. |
+ | |||
+ | :<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j\omega})\}\ | ||
+ | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})\ | ||
+ | e^{j\omega n} \operatorname{d} \omega}</math> | ||
+ | |||
+ | {{fig|2|Sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} </math> e sua TFDT <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math>| TFDTPlot.png| 800 px |}} | ||
+ | |||
+ | ==Série de Fourier de tempo contínuo (SF)== | ||
+ | O sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> é contínuo e periódico no tempo (com período <math> T </math>) , e o sinal <math> \mathrm{X(k)} </math> é discreto na frequência. | ||
+ | ;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo em uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> de frequência discreta. | ||
+ | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | ||
+ | |||
+ | :<math> X(k)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j(2\pi/T)kt)}\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> de frequência contínua em uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo. | ||
+ | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | ||
+ | |||
+ | :<math>x(t)=\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(k)e^{j(2\pi/T)kt)}</math> | ||
+ | |||
+ | :A série de Fourier <math> \mathrm{X(k)} </math>, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas <math> e^{-j \omega t} </math>, onde <math> \omega = (2\pi/T)k </math>. Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial. | ||
+ | |||
+ | {{fig|3|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> periódico e sua série de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| SerieFourierPlot.png| 800 px |}} | ||
==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== | ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== | ||
+ | ''Discrete Fourier Transform (DFT)''. | ||
===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | ||
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : | Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> : | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> |
+ | |||
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente: | Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform''). Assim se tomarmos N frequências <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente: | ||
− | :<math | + | |
+ | :<math>\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>. | ||
+ | :<math>\mathrm{X'(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\frac{2 \pi} {N} k n}}</math> | ||
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução: | O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução: | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} = |
x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) = | x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) = | ||
\frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)} | \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)} | ||
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*Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original. | *Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original. | ||
*Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>. | *Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>. | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> ou |
− | :<math | + | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} [u(n)- u(n-N) \ </math>. |
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. | Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. | ||
− | === | + | ===TDF e TDFI=== |
− | + | O sinal <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> ou <math> X(k) \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>. | |
+ | |||
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> em: | Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> em: | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> |
− | :<math | + | :<math>\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> |
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>. Assim obtém-se | Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>. Assim obtém-se | ||
− | ;A equação de análise ( | + | ;A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica. |
:<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | ||
:<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>. | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\ |
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\ | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\ | ||
e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | ||
− | ;A equação de síntese ( | + | ;A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta. |
:<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | ||
:<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>. | ||
− | :<math | + | :<math>\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j(2 \pi /N)k})\}\ |
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(e^{j(2 \pi /N)k})\ | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(e^{j(2 \pi /N)k})\ | ||
e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | ||
Linha 112: | Linha 159: | ||
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | ||
− | + | === Equação simplificada da TDF e TDFI=== | |
− | Para simplificar a notação | + | Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta: |
− | :<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> | + | :<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math>, |
− | + | ||
− | :<math> \ | + | definir a frequência fundamental <math> \omega_N \ </math> como: |
− | + | :<math> \omega_N = e^{-j2 \pi /N} \ </math> | |
− | :<math> \ | + | |
− | :<math> \ | + | então |
− | :<math> \ | + | :<math> e^{-j(2 \pi /N)k} = \omega_N^k \ </math> |
− | :<math> \ | + | |
− | :<math> \ | + | Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo <math> z \ </math>. |
− | :<math> \ | + | |
+ | Alguns valores de <math> \omega_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações: | ||
+ | :<math> \omega_1 = e^{-j2 \pi} = +1 \ </math> | ||
+ | :<math> \omega_{-1} = e^{j2 \pi} = +1 \ </math> | ||
+ | :<math> \omega_2 = e^{-j \pi} = -1 \ </math> | ||
+ | :<math> \omega_{-2} = e^{j \pi} = -1 \ </math> | ||
+ | :<math> \omega_4 = e^{-j \pi/2} = -j \ </math> | ||
+ | :<math> \omega_{-4} = e^{j \pi/2} = +j \ </math> | ||
Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de <math> k \ </math> então: | Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de <math> k \ </math> então: | ||
− | ::<math> \ | + | ::<math> \omega_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = \omega_{N/k} \ </math> |
− | Dessa forma as equações da | + | Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como: |
+ | ;Equação de análise: | ||
+ | :<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) \omega_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | ||
− | :<math | + | ;Equação de síntese: |
+ | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) \omega_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | ||
− | + | Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>. | |
− | + | === Notação matricial de TDF e TDFI=== | |
+ | Em notação matricial cada <math> X(k) \ </math> na TDF e <math> x(k) \ </math> na TDFI podem ser calculado como: | ||
+ | :<math> X(k) | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \omega_N^0 & \omega_N^{k} & \omega_N^{2k} & ... & \omega_N^{(N-1)k}\\ | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \times | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | x(0)\\ | ||
+ | x(1)\\ | ||
+ | x(2)\\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | x(N-1)\end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | :<math> x(k) | ||
+ | =\frac{1}{N} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \omega_N^0 & \omega_N^{-k} & \omega_N^{-2k} & ... & \omega_N^{-(N-1)k}\\ | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \times | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | X(0)\\ | ||
+ | X(1)\\ | ||
+ | X(2)\\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | X(N-1)\end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Porém como <math> \omega_N^0 = 1 </math> as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial: | ||
+ | |||
+ | ;Equação de análise: | ||
+ | :<math> \begin{bmatrix} | ||
+ | X(0) \\ | ||
+ | X(1) \\ | ||
+ | X(2) \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | X(N-1) | ||
+ | \end{bmatrix} = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ | ||
+ | 1 & \omega_N^1 & \omega_N^2 & ... & \omega_N^{(N-1)} \\ | ||
+ | 1 & \omega_N^2 & \omega_N^4 & ... & \omega_N^{2(N-1)} \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ | ||
+ | 1 & \omega_N^{(N-1)} & \omega_N^{2(N-1)} & ... & \omega_N^{(N-1)^2} \\ | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \times | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | x(0) \\ | ||
+ | x(1) \\ | ||
+ | x(2) \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | x(N-1)\end{bmatrix} </math> | ||
+ | |||
+ | ;Equação de síntese: | ||
+ | :<math> \begin{bmatrix} | ||
+ | x(0) \\ | ||
+ | x(1) \\ | ||
+ | x(2) \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | x(N-1) | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | =\frac{1}{N} | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ | ||
+ | 1 & \omega_N^{-1} & \omega_N^{-2} & ... & \omega_N^{-(N-1)} \\ | ||
+ | 1 & \omega_N^{-2} & \omega_N^{-4} & ... & \omega_N^{-2(N-1)} \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ | ||
+ | 1 & \omega_N^{-(N-1)} & \omega_N^{-2(N-1)} & ... & \omega_N^{-(N-1)^2} \\ | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \times | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | X(0) \\ | ||
+ | X(1) \\ | ||
+ | X(2) \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | X(N-1)\end{bmatrix} </math> | ||
=== Transformada Rápida de Fourier (FFT) === | === Transformada Rápida de Fourier (FFT) === | ||
− | + | O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento <math> N \ </math> necessita de <math> N^2 \ </math> multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas. Em 1965, [https://www.ams.org/journals/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdf Cooley e Tukey] propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de <math> \mathrm{ O(N \times log_2N)} \ </math>. Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10. Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes. | |
+ | |||
+ | Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo <math> x(n) \ </math> ou as frequencia <math> X(k) \ </math>. | ||
+ | |||
+ | Ver este e-book [https://cnx.org/exports/d2c6d393-3590-403d-8a18-c892055b046b@2.2.pdf/the-dft-fft-and-practical-spectral-analysis-2.2.pdf The DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis] em OpenStax CNX, e também a [https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm wikipedia] que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto. | ||
+ | |||
+ | *Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington | ||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | ! The Discrete Fourier Transform (DFT) | ||
+ | ! Computing the DFT Matrix | ||
+ | ! The Fast Fourier Transform (FFT) | ||
+ | ! The Fast Fourier Transform Algorithm | ||
+ | | What is a Fast Fourier Transform (FFT)? | ||
+ | |- | ||
+ | |{{#ev:youtube|nl9TZanwbBk|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|Xw4voABxU5c|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|E8HeD-MUrjY|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|toj_IoCQE-4|300}} | ||
+ | |{{#ev:youtube|XtypWS8HZco|300}} | ||
+ | |} | ||
== Soma dos termos de uma Progressão Geométrica == | == Soma dos termos de uma Progressão Geométrica == |
Edição atual tal como às 15h58min de 19 de novembro de 2020
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
- Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG
Introdução a Transformada de Fourier | Existência da Transformada Fourier | Transformada de Fourier: Propriedades 1 | Transformada de Fourier: Propriedades 2 | Transformada de Fourier para Sinais Periodicos |
---|---|---|---|---|
Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Série de Fourier de tempo contínuo (SF)
O sinal é contínuo e periódico no tempo (com período ) , e o sinal é discreto na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência discreta.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A série de Fourier , indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas , onde . Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.
Figura 3 - Sinal periódico e sua série de Fourier
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Discrete Fourier Transform (DFT).
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
TDF e TDFI
O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal ou discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (TDF)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (TDFI)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
Equação simplificada da TDF e TDFI
Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:
- ,
definir a frequência fundamental como:
então
Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo .
Alguns valores de que ajudam a lembrar as simplificações:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
- Equação de análise
- , para
- Equação de síntese
- , para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Notação matricial de TDF e TDFI
Em notação matricial cada na TDF e na TDFI podem ser calculado como:
Porém como as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial:
- Equação de análise
- Equação de síntese
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento necessita de multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas. Em 1965, Cooley e Tukey propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de . Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10. Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes.
Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo ou as frequencia .
Ver este e-book The DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis em OpenStax CNX, e também a wikipedia que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto.
- Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington
The Discrete Fourier Transform (DFT) | Computing the DFT Matrix | The Fast Fourier Transform (FFT) | The Fast Fourier Transform Algorithm | What is a Fast Fourier Transform (FFT)? |
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Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: