Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 15h58min de 19 de novembro de 2020

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

O sinal $x (t)$ é contínuo no tempo, e o sinal $X (j Ω)$ é contínuo na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (t)$ de tempo continuo em uma variável complexa $X (j Ω)$ de frequência contínua.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (j Ω) \equiv ℱ {x (t)} \overset{d e f}{=} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j Ω t} d t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (j Ω)$ de frequência contínua em uma variável real $x (t)$ de tempo continuo.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (t) \equiv ℱ^{- 1} {X (j Ω)} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j Ω) e^{j Ω t} d Ω

A transformada de Fourier

X (j Ω)

, por simplificação é muitas vezes representada apenas por

X (Ω)

ou

X (ω)

, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.

Figura 1 - Sinal

x (t)

e sua transformada de Fourier

X (Ω)

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG

Introdução a Transformada de Fourier	Existência da Transformada Fourier	Transformada de Fourier: Propriedades 1	Transformada de Fourier: Propriedades 2	Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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2 Transformada Z

A transformada Z de um sinal de tempo discreto $x (n)$ é a função $X (z)$ definida como

X (z) = Z {x (n)} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) z^{- n}

onde

n

é um inteiro;

z = A e^{j ϕ}

é um número complexo, com

A

sendo sua magnitude, e

ϕ

sua frequência angular (em radianos por amostra).

A transformada Z inversa é

x (n) = Z^{- 1} {X (z)} = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} X (z) z^{n - 1} d z

onde $C$ é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de $X (z)$ .

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo, e o sinal $X (Ω)$ é contínuo e periódico em $2 π$ .

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (e^{j ω})$ frequência contínua periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j ω}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (e^{j ω})$ de frequência contínua periódica em uma variável real $x (n)$ continua.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j ω})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

Como a transformada de Fourier $X (e^{j ω})$ é periódica com período $2 π$ , pois $X (e^{j ω}) = X (e^{j (ω + 2 π k)})$ , para $k \in ℤ$ , ela pode ser calculada em qualquer faixa de $2 π$ , por exemplo $ω \in [- π, π)$ .

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j ω})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

Figura 2 - Sinal discreto

x (n)

e sua TFDT

X (e^{j ω})

Fonte: Elaborado pelo autor.

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

O sinal $x (t)$ é contínuo e periódico no tempo (com período $T$ ) , e o sinal $X (k)$ é discreto na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (t)$ de tempo continuo em uma variável complexa $X (k)$ de frequência discreta.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (k) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j (2 π / T) k t)} d t

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (k)$ de frequência contínua em uma variável real $x (t)$ de tempo continuo.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (k) e^{j (2 π / T) k t)}

A série de Fourier

X (k)

, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas

e^{- j ω t}

, onde

ω = (2 π / T) k

. Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.

Figura 3 - Sinal

x (t)

periódico e sua série de Fourier

X (Ω)

Arquivo:SerieFourierPlot.png Fonte: Elaborado pelo autor.

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

Discrete Fourier Transform (DFT).

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $2 π$ de $ω$ :

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $ω$ em N amostras entre 0 e $2 π$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $ω_{k} = (2 π / N) k$ com $k \in ℤ$ , and $0 \leq k \leq N - 1$ , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

X^{'} (e^{j ω}) = X (e^{j ω}) \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - \frac{2 π}{N} k)

.

X^{'} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j \frac{2 π}{N} k n}

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

x^{'} (n) = ℱ^{- 1} {X^{'} (e^{j ω})} = x (n) * (\frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} δ (n - N p)) = \frac{N}{2 π} \sum_{p = - \infty}^{\infty} x (n - N p)

.

O que mostra que o sinal Esse sinal $x^{'} (n)$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $x (n)$ original.

Note que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $X (e^{j ω})$ original.
Se o comprimento L o sinal do $x (n)$ for maior que N o período de repetição do sinal $x^{'} (n)$ , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
Por outro lado, se $L \leq N$ então $x^{'} (n)$ é a repetição periódica exata de $x (n)$ .

x (n) = \frac{2 π}{N} x^{'} (n)

, para

0 \leq n \leq N - 1

ou

x (n) = \frac{2 π}{N} x^{'} (n) [u (n) - u (n - N)

.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $x (n)$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

5.2 TDF e TDFI

O sinal $x (n)$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $X (e^{j (2 π / N) k})$ ou $X (k)$ discreto e periódico em $2 π$ .

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $ω_{k} = (2 π / N) k$ em:

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

X (e^{j (2 π / N) k}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $0 \leq k \leq N - 1$ . Assim obtém-se

A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real $x (n)$ de tempo discreto em uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ frequência discreta periódica.; $D T \to D F$ .

x : ℝ \to ℂ

.

X (e^{j (2 π / N) k}) \equiv ℱ {x (n)} \overset{d e f}{=} \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq k \leq N - 1

A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $X (e^{j (2 π / N) k})$ de frequência discreta periódica em uma variável real $x (n)$ discreta.; $D F \to D T$ .

X : ℂ \to ℝ

.

x (n) \equiv ℱ^{- 1} {X (e^{j (2 π / N) k})} \overset{d e f}{=} \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (e^{j (2 π / N) k}) e^{j (2 π / N) k n}

, para

0 \leq n \leq N - 1

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $x (n)$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $x (n)$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:

X (k) = X (e^{j (2 π / N) k})

,

definir a frequência fundamental $ω_{N}$ como:

ω_{N} = e^{- j 2 π / N}

então

e^{- j (2 π / N) k} = ω_{N}^{k}

Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo $z$ .

Alguns valores de $ω_{N}$ que ajudam a lembrar as simplificações:

ω_{1} = e^{- j 2 π} = + 1

ω_{- 1} = e^{j 2 π} = + 1

ω_{2} = e^{- j π} = - 1

ω_{- 2} = e^{j π} = - 1

ω_{4} = e^{- j π / 2} = - j

ω_{- 4} = e^{j π / 2} = + j

Também é importante lembrar que se $N$ é múltiplo de $k$ então:

ω_{N}^{k} = e^{- j (2 π / N) k} = e^{- j 2 π / (N / k)} = ω_{N / k}

Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:

Equação de análise: $X (k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) ω_{N}^{k n}$ , para $0 \leq k \leq N - 1$

Equação de síntese: $x (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (k) ω_{N}^{- k n}$ , para $0 \leq n \leq N - 1$

Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a $N^{2}$ multiplicações e $N (N - 1)$ somas, sendo portanto um algoritmo de $O (N^{2})$ .

5.4 Notação matricial de TDF e TDFI

Em notação matricial cada $X (k)$ na TDF e $x (k)$ na TDFI podem ser calculado como:

X (k) = [\begin{matrix} ω_{N}^{0} & ω_{N}^{k} & ω_{N}^{2 k} & . . . & ω_{N}^{(N - 1) k} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} x (0) \\ x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (N - 1) \end{matrix}]

x (k) = \frac{1}{N} [\begin{matrix} ω_{N}^{0} & ω_{N}^{- k} & ω_{N}^{- 2 k} & . . . & ω_{N}^{- (N - 1) k} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} X (0) \\ X (1) \\ X (2) \\ ⋮ \\ X (N - 1) \end{matrix}]

Porém como $ω_{N}^{0} = 1$ as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial:

Equação de análise: $[\begin{matrix} X (0) \\ X (1) \\ X (2) \\ ⋮ \\ X (N - 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω_{N}^{1} & ω_{N}^{2} & . . . & ω_{N}^{(N - 1)} \\ 1 & ω_{N}^{2} & ω_{N}^{4} & . . . & ω_{N}^{2 (N - 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω_{N}^{(N - 1)} & ω_{N}^{2 (N - 1)} & . . . & ω_{N}^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} x (0) \\ x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (N - 1) \end{matrix}]$

Equação de síntese: $[\begin{matrix} x (0) \\ x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (N - 1) \end{matrix}] = \frac{1}{N} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω_{N}^{- 1} & ω_{N}^{- 2} & . . . & ω_{N}^{- (N - 1)} \\ 1 & ω_{N}^{- 2} & ω_{N}^{- 4} & . . . & ω_{N}^{- 2 (N - 1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω_{N}^{- (N - 1)} & ω_{N}^{- 2 (N - 1)} & . . . & ω_{N}^{- (N - 1)^{2}} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} X (0) \\ X (1) \\ X (2) \\ ⋮ \\ X (N - 1) \end{matrix}]$

5.5 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento $N$ necessita de $N^{2}$ multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas. Em 1965, Cooley e Tukey propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de $O (N \times l o g_{2} N)$ . Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10. Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes.

Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo $x (n)$ ou as frequencia $X (k)$ .

Ver este e-book The DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis em OpenStax CNX, e também a wikipedia que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto.

Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington

The Discrete Fourier Transform (DFT)	Computing the DFT Matrix	The Fast Fourier Transform (FFT)	The Fast Fourier Transform Algorithm	What is a Fast Fourier Transform (FFT)?
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6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:

S_{n} = = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} a_{1} q^{i - 1}

Caso $q \neq 1$ , a soma pode ser descrita por:

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}

Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 15h58min de 19 de novembro de 2020

Índice

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada Z

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

5.2 TDF e TDFI

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

5.4 Notação matricial de TDF e TDFI

5.5 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

Menu de navegação

@@ Linha 22: / Linha 22: @@
 {{fig|1|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> e sua transformada de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| FourierPlot.png| 800 px |}}
+*Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG
+{| class="wikitable"
+|-
+! Introdução a Transformada de Fourier
+! Existência da Transformada Fourier
+! Transformada de Fourier: Propriedades 1
+! Transformada de Fourier: Propriedades 2
+! Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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 ==Transformada Z ==
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 onde <math> C \ </math> é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de <math>X(z)\, </math>.
-==Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)==
+==Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)==
 O sinal  <math> \mathrm{x(n)} </math> é discreto no tempo, e o sinal <math> \mathrm{X(\Omega)} </math> é contínuo e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} </math>.
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 {{fig|2|Sinal discreto <math> \mathrm{x(n)} </math> e sua TFDT <math> \mathrm{X(e^{j\omega})} </math>| TFDTPlot.png| 800 px |}}
+==Série de Fourier de tempo contínuo (SF)==
+O sinal  <math> \mathrm{x(t)} </math> é contínuo e periódico no tempo (com período <math> T </math>) , e o sinal <math> \mathrm{X(k)} </math> é discreto na frequência.
+;A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo em uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> de frequência discreta.
+:<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>.
+:<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>.
+:<math> X(k)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j(2\pi/T)kt)}\mathrm{d}t</math>
+;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> de frequência contínua em uma variável real <math> \mathrm{x(t)} </math> de tempo continuo.
+:<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>.
+:<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>.
+:<math>x(t)=\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(k)e^{j(2\pi/T)kt)}</math>
+:A série de Fourier <math> \mathrm{X(k)} </math>, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas <math> e^{-j \omega t} </math>, onde <math> \omega = (2\pi/T)k </math>.  Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.
+{{fig|3|Sinal <math> \mathrm{x(t)} </math> periódico e sua série de Fourier <math> \mathrm{X(\Omega)} </math>| SerieFourierPlot.png| 800 px |}}
 ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)==
+''Discrete Fourier Transform (DFT)''.
 ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD===
 Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em <math> \mathrm{2 \pi} </math> de <math> \mathrm{\omega} </math> :
-:<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math>
+:<math>\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math>
 Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência  <math> \mathrm{\omega} </math> em N amostras entre 0 e <math> \mathrm{2 \pi} </math> é possível obter a TDF (ou DFT - ''Discrete Fourier Transform'').  Assim se tomarmos N frequências  <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> com   <math> k \in\mathbb{Z} \ </math>, and <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>, obtemos o espectro amostrado uniformemente:
-:<math display="block">\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>.
+:<math>\mathrm{X'(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \sum_{k= -\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2 \pi} {N}k \right)}</math>.
+:<math>\mathrm{X'(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\frac{2 \pi} {N} k n}}</math>
 O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
-:<math display="block">\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} =
+:<math>\mathrm{x'(n) = \mathcal{F}^{-1}\{X'(e^{j\omega})\} =
 x(n) * \left( \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} \delta (n-N p) \right) =
 \frac{N}{2 \pi} \sum_{p= -\infty}^{\infty} x(n-N p)}
@@ Linha 86: / Linha 126: @@
 *Se o comprimento L o sinal do <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for maior que N o período de repetição do sinal <math> \mathrm{x'(n)} \ </math>, haverá sobreposição das amostras no tempo (''time aliasing''), e não será possível recuperar o sinal original.
 *Por outro lado, se <math> \mathrm{L \le N} \ </math> então <math> \mathrm{x'(n)} \ </math> é a repetição periódica  exata de <math> \mathrm{x(n)} \ </math>.
-:<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> ou
+:<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} </math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> ou
-:<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} [u(n)- u(n-N) \ </math>.
+:<math>\mathrm{x(n) = \frac{2 \pi}{N} x'(n)} [u(n)- u(n-N) \ </math>.
 Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
-===DFT e IDFT===
+===TDF e TDFI===
-*O sinal  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>.
+O sinal  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> ou <math> X(k) \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>.
 Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em  <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math>   em:
-:<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math>
+:<math>\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math>
-:<math display="block">\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math>
+:<math>\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math>
 Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>.  Assim obtém-se
-;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica.
+;A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica.
 :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>.
 :<math>\mathrm{x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}}</math>.
-:<math display="block">\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\
+:<math>\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\
 \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{n= 0}^{N-1} x(n)\
 e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
-;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta.
+;A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta.
 :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>.
 :<math>\mathrm{X: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}}</math>.
-:<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j(2 \pi /N)k})\}\
+:<math>\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j(2 \pi /N)k})\}\
 \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1}X(e^{j(2 \pi /N)k})\
 e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
@@ Linha 118: / Linha 159: @@
 Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de  <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math>  seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding'').
-;Simplificação da notação:
+=== Equação simplificada da TDF e TDFI===
-Para simplificar a notação é frequente utilizar:
+Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:
-:<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> para a frequência discreta periódica.
+:<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math>,
-E ainda definir:
-:<math> \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ </math>
+definir a frequência fundamental <math> \omega_N \ </math> como:
-o qual representa um segmento <math> 1/N </math> do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:
+:<math> \omega_N = e^{-j2 \pi /N} \ </math>
-:<math> \mathrm{W_1 = e^{-j2 \pi}} = +1 \ </math>
-:<math> \mathrm{W_{-1} = e^{j2 \pi}} = +1 \ </math>
+então
-:<math> \mathrm{W_2 = e^{-j \pi}} = -1 \ </math>
+:<math> e^{-j(2 \pi /N)k} = \omega_N^k \ </math>
-:<math> \mathrm{W_{-2} = e^{j \pi}} = -1 \ </math>
-:<math> \mathrm{W_4 = e^{-j \pi/2}} = -j \ </math>
+Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo <math> z \ </math>.
-:<math> \mathrm{W_{-4} = e^{j \pi/2}} = +j \ </math>
+Alguns valores de <math> \omega_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações:
+:<math> \omega_1 = e^{-j2 \pi} = +1 \ </math>
+:<math> \omega_{-1} = e^{j2 \pi} = +1 \ </math>
+:<math> \omega_2 = e^{-j \pi} = -1 \ </math>
+:<math> \omega_{-2} = e^{j \pi} = -1 \ </math>
+:<math> \omega_4 = e^{-j \pi/2} = -j \ </math>
+:<math> \omega_{-4} = e^{j \pi/2} = +j \ </math>
 Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de  <math> k \ </math> então:
-::<math> \mathrm{W_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = W_{N/k}} \ </math>
+::<math> \omega_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = \omega_{N/k} \ </math>
-Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
+Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
+;Equação de análise:
+:<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) \omega_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
-:<math display="block">\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>
+;Equação de síntese:
+:<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) \omega_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
-:<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) W_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math>
+Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>.
-Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>.
+=== Notação matricial de TDF e TDFI===
+Em notação matricial cada <math> X(k) \ </math> na TDF e <math> x(k) \ </math> na TDFI podem ser calculado como:
+:<math> X(k)
+=
+\begin{bmatrix}
+\omega_N^0 & \omega_N^{k} & \omega_N^{2k} & ... & \omega_N^{(N-1)k}\\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+x(0)\\
+x(1)\\
+x(2)\\
+\vdots \\
+x(N-1)\end{bmatrix}
+</math>
+:<math> x(k)
+=\frac{1}{N}
+\begin{bmatrix}
+\omega_N^0 & \omega_N^{-k} & \omega_N^{-2k} & ... & \omega_N^{-(N-1)k}\\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+X(0)\\
+X(1)\\
+X(2)\\
+\vdots \\
+X(N-1)\end{bmatrix}
+</math>
+Porém como <math> \omega_N^0 = 1 </math> as equações TDF e TDFI podem ser escritas em notação matricial:
+;Equação de análise:
+:<math> \begin{bmatrix}
+X(0) \\
+X(1) \\
+X(2) \\
+\vdots \\
+X(N-1)
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+& 1 & 1 & ... & 1 \\
+& \omega_N^1 & \omega_N^2 & ... & \omega_N^{(N-1)} \\
+& \omega_N^2 & \omega_N^4 & ... & \omega_N^{2(N-1)} \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+& \omega_N^{(N-1)} & \omega_N^{2(N-1)} & ... & \omega_N^{(N-1)^2} \\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+x(0) \\
+x(1) \\
+x(2) \\
+\vdots \\
+x(N-1)\end{bmatrix} </math>
+;Equação de síntese:
+:<math> \begin{bmatrix}
+x(0) \\
+x(1) \\
+x(2) \\
+\vdots \\
+x(N-1)
+\end{bmatrix}
+=\frac{1}{N}
+\begin{bmatrix}
+& 1 & 1 & ... & 1 \\
+& \omega_N^{-1} & \omega_N^{-2} & ... & \omega_N^{-(N-1)} \\
+& \omega_N^{-2} & \omega_N^{-4} & ... & \omega_N^{-2(N-1)} \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+& \omega_N^{-(N-1)} & \omega_N^{-2(N-1)} & ... & \omega_N^{-(N-1)^2} \\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+X(0) \\
+X(1) \\
+X(2) \\
+\vdots \\
+X(N-1)\end{bmatrix} </math>
 === Transformada Rápida de Fourier (FFT) ===
-As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de <math> \mathrm{ O(log N \times N)} \ </math>.
+O cálculo da TDF e TDFI para uma sequência de dados de comprimento <math> N \ </math> necessita de <math> N^2 \ </math> multiplicações complexas, limitando o seu uso em aplicações práticas.  Em 1965, [https://www.ams.org/journals/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdf Cooley e Tukey] propuseram um algoritmo rápido (FFT) para calcular a TDF com um número de multiplicações complexas na ordem de <math> \mathrm{ O(N \times log_2N)} \ </math>.  Esse mudança faz com que uma sequência de comprimento 1024, calculado com a TDF demanda 1024x1024 multiplicações, enquanto que com a FFT apenas 1024x10.  Isso representa neste caso uma redução de complexidade de 100 vezes.
+Atualmente existem diversos algoritmos de FFT, que obtêm exatamente o mesmo valor que o uso da TDF, mas eles podem ser classificados de forma geral em decimação no tempo, ou decimação na frequência, dependendo de qual vetor será decimado e reordenado, se o sinal no tempo <math> x(n) \ </math>  ou as frequencia <math> X(k) \ </math>.
+Ver este e-book [https://cnx.org/exports/d2c6d393-3590-403d-8a18-c892055b046b@2.2.pdf/the-dft-fft-and-practical-spectral-analysis-2.2.pdf  The  DFT, FFT, and Practical Spectral Analysis] em OpenStax CNX, e também a [https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm wikipedia] que tem esse artigo muito bem escrito sobre o assunto.
+*Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington
+{| class="wikitable"
+|-
+! The Discrete Fourier Transform (DFT)
+! Computing the DFT Matrix
+! The Fast Fourier Transform (FFT)
+! The Fast Fourier Transform Algorithm
+| What is a Fast Fourier Transform (FFT)?
+|-
+|{{#ev:youtube|nl9TZanwbBk|300}}
+|{{#ev:youtube|Xw4voABxU5c|300}}
+|{{#ev:youtube|E8HeD-MUrjY|300}}
+|{{#ev:youtube|toj_IoCQE-4|300}}
+|{{#ev:youtube|XtypWS8HZco|300}}
+|}
 == Soma dos termos de uma Progressão Geométrica ==

Transformadas de Fourier: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 15h58min de 19 de novembro de 2020

1 Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

2 Transformada Z

3 Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

4 Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

5 Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

5.1 Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

5.2 TDF e TDFI

5.3 Equação simplificada da TDF e TDFI

5.4 Notação matricial de TDF e TDFI

5.5 Transformada Rápida de Fourier (FFT)

6 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

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