VSWR, Linha sem perdas

1 Onda estacionária e VSWR

Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).

figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com ${\mathrm{\Gamma }}_L=0,5$

fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.

O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionária ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). Esse é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:

$VSWR=\frac{|V(z{)}_{max}|}{|V(z{)}_{min}|}$

$VSWR=\frac{|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}|}{|V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}$

$VSWR=\frac{|V_o^{+}+V_o^{-}|}{|V_o^{+}-V_o^{-}|}$ (1)

substituindo $V_o^{-}$ por ${\mathrm{\Gamma }}_L{V}_o^{+}$ temos:

$VSWR=\frac{|V_o^{+}+{\mathrm{\Gamma }}_L{V}_o^{+}|}{|V_o^{+}-{\mathrm{\Gamma }}_L{V}_o^{+}|}$

$VSWR=\frac{1+|{\mathrm{\Gamma }}_L|}{1-|{\mathrm{\Gamma }}_L|}$

A VSWR passa informação sobre a quantidade de potência enviada para a carga. Como o valor da VSWR é diretamente relacionado com ${\mathrm{\Gamma }}_L$ seu valor irá variar de:

VSWR= 1, quando $|{\mathrm{\Gamma }}_L|=0$ e não há potência de retorno, toda a potência que chega no final da linha é enviada para carga.

$VSWR=\mathrm{\infty }$, quando $|{\mathrm{\Gamma }}_L|=1$ e todo a potência retorna, nenhuma potência é entregue a carga.

2 Perda de Retorno (RL)

Um segundo parâmetro fornece informações sobre a potência entregue para a carga, é a Perda de Retorno, que é definida por:

$RL=10log(\frac{P_{refletida}}{P_{incidente}})$

Um valor de RL = 10 dB indica que 10% da potência foi refletida e 90% foi para a carga.

3 Linha sem perdas

Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:

$R<<jwL=>R+jwL=jwL$

$G<<jwC=>G+jwC=jwC$

Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)

$\gamma =\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}$

$\gamma =\sqrt{(jw{)}^{2}LC)}$

$\gamma =jw\sqrt{LC)}$ (2)

como $\gamma =\alpha +j\beta$ e a equação (2) não apresenta parte real $\alpha =0$.

3.1 Impedância característica de uma linha sem perdas

$Z_o=\sqrt{\frac{R+jwL}{G+jwC}}$

$Z_o=\sqrt{\frac{jwL}{jwC}}$

$Z_o=\sqrt{\frac{L}{C}}$ a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!

3.2 Potência incidente de uma linha sem perdas

Uma vez que $Z_o$ é resistiva e $\alpha =0$, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:

$P(z{)}^{+}=\frac{V_o^{+2}}{Z_o}{e}^{-2\alpha }cos\theta$

$P(z{)}^{+}=\frac{V_o^{+2}}{Z_o}$

3.3 Impedância de entrada, $Z_{i}n$ na linha sem perdas

Em relação a $Z_{in}$ temos:

$Z_{in(-l)}=Z_o\frac{Z_L(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})+Z_o(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l})}{Z_L(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l})+Z_o(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})}$

$Z_{in}=Z_o\frac{Z_L((e^{\alpha l}{e}^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}{e}^{-j\beta l}))+Z_o((e^{\alpha l}{e}^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}{e}^{-j\beta l}))}{Z_L((e^{\alpha l}{e}^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}{e}^{-j\beta l}))+Z_o((e^{\alpha l}{e}^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}{e}^{-j\beta l}))}$

como α = 0:

$Z_{in}=Z_o\frac{Z_L(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})+Z_o(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l})}{Z_L(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l})+Z_o(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})}$

e da identidade de Euler:

$e^{-j\beta l}=cos\beta l-jsen\beta l$

$e^{j\beta z}=cos\beta l+jsen\beta l$

$Z_{in(z)}=Z_o\frac{Z_L(cos\beta l+jsen\beta l+cos\beta l-jsen\beta l)+Z_o(cos\beta l+jsen\beta l-cos\beta l+jsen\beta l)}{Z_L(cos\beta l+jsen\beta l-cos\beta l+jsen\beta l)+Z_o(cos\beta l+jsen\beta l+cos\beta l-jsen\beta l)}$

$Z_{in}=Z_o\frac{Z_L(cos\beta l)+Z_o(jsen\beta l)}{Z_L(jsen\beta l)+Z_o(cos\beta l)}$

dividindo numerador e denominador por $cos\beta l$:

$Z_{in}=Z_o\frac{Z_L+j{Z}_o(tan\beta l)}{Z_o+j{Z}_L(tan\beta l)}$