II - Regras de derivação

Neste tópico, são apresentadas as regras de diferenciação básicas para funções elementares e suas demonstrações e também as demonstrações destes teoremas.

1ª - Derivada de um valor constante

       $\frac{d}{dx}[c]=0$

Demonstração - Admitindo a definição da derivada e considerando f(x) = c, temos

$\frac{dy}{dx}=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

       $\frac{d}{dx}[c]=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{c-c}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{0}{\mathrm{\Delta }x}=0$

2ª - Derivada da soma de duas funções

       $\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]+\frac{d}{dx}[g(x)]$

Demonstração - Aplicando a definição de limite, temos

$\frac{dy}{dx}=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

       $\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{[f(x+\mathrm{\Delta }x)+g(x+\mathrm{\Delta }x)]-[f(x)+g(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{[f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]+[g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}[\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}]$

       $=\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}+\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

       $=\frac{d}{dx}[f(x)]+\frac{d}{dx}[g(x)]$