Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante

A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.

Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão. fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.

A partir de Kirchhoff para a malha temos:

$v(z,t)-v(z+\mathrm{\Delta }z,t)=i(z,t)R^{\prime }\mathrm{\Delta }z+L^{\prime }\mathrm{\Delta }z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$ (1)

E de Kirchhoff para o nó a :

$i(z,t)-i(z+\mathrm{\Delta }z,t)=v(z+\mathrm{\Delta }z,t)G^{\prime }\mathrm{\Delta }z+C^{\prime }\mathrm{\Delta }z\frac{\partial v(z+\mathrm{\Delta }z,t)}{\partial t}$ (2)

Dividindo as equações (1) E (2) por $\mathrm{\Delta }z$ e fazendo $\mathrm{\Delta }z⟶0$:

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_z\to 0}{\lim }\frac{v(z,t)-v(z+\mathrm{\Delta }z,t)}{\mathrm{\Delta }z}=i(z,t)R^{\prime }+L^{\prime }\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$ (3)

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_z\to 0}{\lim }\frac{i(z,t)-i(z+\mathrm{\Delta }z,t)}{\mathrm{\Delta }z}=v(z,t)G^{\prime }+C^{\prime }\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}$ (4)

Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:

$-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=i(z,t)R^{\prime }+L^{\prime }\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$ (5)

$-\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=v(z,t)G^{\prime }+C^{\prime }\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}$ (6)

1 Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)

Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.

A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:

$v(z,t)=v(z)\cos (wt+\psi (z))$ (7)

v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z.

Considerando a identidade de Euler [ $e^{j\psi }=cos\psi +jsen\psi$], podemos reescrever a equação (7) como:

$\mathrm{\Re }\left\{e^{j\psi }\right\}=cos\psi$ (8)

$v(z,t)=v(z)cos(wt+\psi (z))=\mathrm{\Re }\{v(z)e^{j(wt+\psi (z))}\}$

$=\mathrm{\Re }\{v(z)e^{+j\psi (z)}{e}^{jwt}\}$ (9)

Da representação de função complexa:

$V(z)=v(z)e^{-j\psi (z)}$ (10)

Portanto:

$v(z)=|V(z)|$ (11)

$\psi (z)=arg\{V(z)\}$ (12)

A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.

1.1 Equação da onda viajante

Lembrando que:

$\frac{\partial \mathrm{\Re }\left\{e^{jwt}\right\}}{\partial t}=\frac{\partial \mathrm{\Re }\{cos(wt)+jsen(wt)\}}{\partial t}$

$=\frac{\partial cos(wt)}{\partial t}=-wsen(wt)$

e

$\mathrm{\Re }\left\{jw{e}^{jwt}\right\}=\mathrm{\Re }\{jw(cos(wt)+jsen(wt))\}$

$=-wsen(wt)$

temos:

$\frac{\partial \mathrm{\Re }\left\{e^{jwt}\right\}}{\partial t}=\mathrm{\Re }\left\{jw{e}^{jwt}\right\}$

portanto:

$\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=\frac{\partial \mathrm{\Re }\{V(z)e^{jwt}\}}{\partial t}$

$\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=V(z)\frac{\partial \mathrm{\Re }\left\{e^{jwt}\right\}}{\partial t}=V(z)\mathrm{\Re }\left\{jw{e}^{jwt}\right\}$

$\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=jwV(z)$

Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):

$\frac{\partial V(z)}{\partial z}=-(R+jwL)I(z)$ (14)

$\frac{\partial I(z)}{\partial z}=-(G+jwC)V(z)$ (15)

Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:

$\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=-(R+jwL)\frac{\partial I(z)}{\partial z}$

e substituindo $\frac{\partial I(z)}{\partial z}$ pela segunda equação telegráfica (15) temos:

$\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=(R+jwL)(G+jwC)V(z)$ (16)

fazendo ${\gamma }^2=(R+jwL)(G+jwC)$ isto é $\gamma =\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}=\alpha +j\beta$

$\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}-{\gamma }^{2}V(z)=0$ (17)

A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:

$V(z)=A{e}^{\lambda z}$ (18)

onde A e $\lambda$ são constantes arbitrárias.

Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:

$\frac{{\partial }^{2}V(z)}{{\partial }^{2}z}={\lambda }^{2}A{e}^{\lambda z}$

e a equação (17) pode ser reescrita como:

${\lambda }^{2}A{e}^{\lambda z}-{\gamma }^{2}A{e}^{\lambda z}=0$

ou

${\lambda }^2-{\gamma }^2=0$ ou $(\lambda +\gamma )(\lambda -\gamma )=0$

Uma solução para essa equação é $\lambda =-\gamma$, portanto:

$V(z)=A{e}^{-\gamma z}$

Retornando para a representação no tempo:

$v(z,t)=A{e}^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)$

Substituindo A por uma constante mais significativa $V_o^{+}$

$v(z,t)=V_o^{+}{e}^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)$ (19)

A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de $V_o^{+}$

Da segunda solução $\lambda =\gamma$ temos:

$v(z,t)=V_o^{-}{e}^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (20)

A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de $V_o^{-}$

A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:

$v(z,t)=V_o^{+}{e}^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+V_o^{-}{e}^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (21)

Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:

$i(z,t)=I_o^{+}{e}^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+I_o^{-}{e}^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (22)