EDI18701 2016 2 AULA06

Álgebra Booleana - Introdução

O termo "álgebra booleana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A álgebra booleana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.

Leia mais em: https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana

Na Álgebra de Boole existem apenas três operadores AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO). Estas três funções são as únicas operações necessárias para efetuar comparações ou as quatro operações aritméticas base.

Em 1937, cerca de 75 anos após a morte de Boole, Claude Shannon, então estudante no MIT - Boston, USA - estabeleceu a relação entre a Álgebra de Boole e os circuitos eletrônicos transferindo os dois estados lógicos (SIM e NÃO) para diferentes diferenças de potencial no circuito.

Atualmente todos os computadores usam a Álgebra de Boole materializada em microchips que contêm milhares de interruptores miniaturizados combinados em portas (gates) lógicos que produzem os resultados das operações utilizando uma linguagem binária.

Descrição de Circuitos

Para descrever os circuitos que podem ser construídos pela combinação de portas lógicas, um novo tipo de álgebra é necessário, uma em que as variáveis e funções podem ter apenas valores 0 e 1. Tal álgebra é denominada álgebra booleana.

Do mesmo modo que existem funções em álgebra comum, também existem funções na álgebra booleana. Uma função booleana tem uma ou mais variáveis de entrada e fornece somente um resultado que depende apenas dos valores destas variáveis. Essas variáveis normalmente estão associadas a uma letra maiúscula, por exemplo: A,B,C,D,E....

Como uma função de n variáveis possui apenas $2^{N}$ conjuntos possíveis de valores de entrada, a função pode ser descrita completamente através de uma tabela de $2^{N}$ linhas, cada linha mostrando o valor da função para uma combinação diferente dos valores de entrada. Tal tabela é denominada tabela verdade.

Teoremas Booleanos

(1) $A.0=0\,$

(2) $A.1=A\,$

(3) $A.A=A\,$

(4) $A.{\bar {A}}=0\,$

(5) $A+0=A\,$

(6) $A+1=1\,$

(7) $A+A=A\,$

(8) $A+{\bar {A}}=1\,$

(9) $A+B=B+A\,$

(10) $A.B=B.A\,$

(11) $A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C\,$

(12) $A.(B.C)=(A.B).C=A.B.C\,$

(13a) $A.(B+C)=AB+AC\,$

(13b) $(A+B).(C+D)=AC+AD+BC+BD\,$

(14) $A+(AB)=A\,$

(15a) $A+({\bar {A}}B)=A+B\,$

(15b) ${\bar {A}}+(AB)={\bar {A}}+B\,$

DeMORGAN

(16) $({\overline {A+B}})={\bar {A}}.{\bar {B}}\,$

(17) $({\overline {A.B}})={\bar {A}}+{\bar {B}}\,$

Exemplos

$S_{1}=({\overline {({\bar {A}}.B)+(A.B)}})$

$S_{2}=({\overline {({\bar {B}}+C).({\overline {{\bar {B}}.{\bar {C}}}})}})$

$S_{3}=A{\bar {B}}{\bar {C}}+AB{\bar {C}}+A{\bar {B}}C=...\,$

$S_{4}={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}{\bar {D}}+{\bar {A}}{\bar {B}}C{\bar {D}}+{\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}D+A{\bar {B}}C{\bar {D}}=...\,$

$S_{5}=(A+B).(A+{\bar {B}})=...\,$

$S_{6}=({\bar {A}}+B+{\bar {C}}).(A+B+{\bar {C}})=...\,$

(realizar na sala)

Fatoração

Seja a expressão: $S=(A+B+C).({\bar {A}}+{\bar {B}}+C)$

Circuito antes da simplificação

Simplificação

(desenvolver em sala de aula)

Exercícios Propostos

$S_{1}=(A+B+C).({\bar {A}}+B+{\bar {C}})$

$S_{2}=({\overline {{\overline {AC}}+B+D}})+C({\overline {ACD}})$

$S_{3}=({\overline {(A+B).C}})+({\overline {D(C+B)}})$

$S_{4}=({\bar {A}}+{\bar {B}}+{\bar {C}}).(A+B+{\bar {C}})$

$S_{5}={\bar {A}}.{\bar {B}}.C+{\bar {A}}.B.C+{\bar {A}}.B.{\bar {C}}+A.B.C+A.B{\bar {C}}$

Exercícios de Fixação

$S_{1}={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}+AB{\bar {C}}\,$

$S_{2}=ABCD+A{\bar {B}}CD+A{\bar {B}}C{\bar {D}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}D\,$

$S_{3}=({\bar {A}}+B).(A+B)\,$

$S_{4}=(A+{\bar {B}}+{\bar {C}}).(A+B+{\bar {C}})\,$

$S_{5}={\bar {A}}{\bar {B}}C{\bar {D}}+{\bar {A}}BCD+A{\bar {B}}{\bar {C}}{\bar {D}}+A{\bar {B}}C{\bar {D}}+AB{\bar {C}}D+ABCD$

$S_{6}={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}{\bar {D}}+{\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}D+{\bar {A}}{\bar {B}}CD+{\bar {A}}B{\bar {C}}{\bar {D}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}D+{\bar {A}}BC{\bar {D}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}{\bar {D}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}D+A{\bar {B}}CD+AB{\bar {C}}{\bar {D}}+ABC{\bar {D}}$

Material de Apoio

Slides Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos

Lista de exercício álgebra booleana.

Referência

[1] Trabalho por Ricardo K. L. Ferreira - Estudante de Ciência da Computação – Mackenzie.

---

<<	<>	>>