CEL18702 2016 2 AULA13

1 Teorema de Millman

O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A seguir, a partir de um exemplo este método é apresentado. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.

Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.

O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

$I=\frac{E_1}{R_1}+\frac{E_2}{R_2}+\frac{E_3}{R_3}$

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$

A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:

$E_M=I.R$

$R_M=R$

1.1 Exemplo

Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.

Solução
Teorema de Milman Corrente (I): $I=\frac{V_1}{10}+\frac{V_2}{2}$ $I=\frac{8}{10}+\frac{4}{2}=2,8A$ Resistência equivalente (R): $\frac{1}{R}=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}=1,667\mathrm{\Omega }$ $V_M=I.R=2,8.1,667=4,67V$ Logo: $i=\frac{V_M}{R+5}+\frac{4,67}{1,667+5}=0,7A$

2 Associação de Fontes

2.1 Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.

A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.

Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.

Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:

$V_5=\frac{G_1.V_1+G_2.V2}{G_1+G_2}$

e

$R_5=\frac{R_1.R_2}{R_1+R_2}$

respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.

2.2 Fonte de Corrente

http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/assocfon.htm

2.3 Exercícios

[1] Calcule, utilizando o teorema da superposição, o circuito equivalente ao circuito dado, visto de $R_L$ (A e B). Calcule tensão e corrente em $R_L$.

Solução
$V_{AB}=7,5V,I=0,125A$

[2] Calcule V_AB com o circuito em aberto e depois com R_c=3Ω ligada ao circuito.

Respostas
VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V

[3] Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω.

Respostas
V4Ω=6,9V

[4] Calcule a tensão sobre o resistor de 6Ω.

Respostas
V6Ω=-14,8V

3 Referências

[1] http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf

---

<<	<>	>>